Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 4 - Bài 2: Quan hệ vuông góc trong không gian đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Có lời giải)

 Bài 2: 
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
 d
I. Định nghĩa:
 Một đường thẳng được gọi là vuông 
góc với một mặt phẳng nếu nó vuông 
góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt a
phẳng đó: α
 d  mp( ) d  a,a  ( )
II. Các định lý:
 Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông 
 d
góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b 
cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d 
vuông góc với mp(P):
 a
 d  a ,d  b
 b
 a ,b  (P) d  (P) P
 a ,b ccắtaét nhau nhau
 d
 Định lý 2: (Ba đường vuông góc) 
 Cho đường thẳng a không vuông góc 
với mp(P) và đường thẳng b nằm trong 
(P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b a
vuông góc với a là b vuông góc với hình α
chiếu a’ của a trên (P).
 PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH HAI ÑÖÔØNG THAÚNG 
 VUOÂNG GOÙC
 Để chứng minh a  b ta thường sử dụng những phương pháp chứng minh 
sau:
1. Sử dụng các phương pháp Hình học phẳng: Góc nội tiếp, Định lí Pitago 
đảo, . . .
  
3. Sử dụng phương pháp tích vô hướng của hai véctơ: nếu  (
  a.b 0 a b
a,b là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b).
 255 c  b
4. Sử dụng tính chất bắc cầu: a  b
 c // a
5. Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường 
thẳng b. Chứng minh đường thẳng a a
vuông góc với mặt phẳng (P), thì a  b : 
 a  (P) b
 a  b P
 b  (P)
 b
6. Chứng minh đường thẳng a song song a
với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông 
góc với mặt phẳng (P), thì suy ra a  b :
 a / / (P) P
 a  b
 b  (P)
7. Áp dụng định lí 3 đường vuông góc: 
 a’ là hình chiếu vuông góc của a trên a
mặt phẳng (P) ,b  (P) . Đường thẳng a 
 b
vuông góc với đường thẳng b khi và chỉ 
khi b vuông góc với a'. Nói ngắn gọn b a'
vuông góc với hình chiếu thì b vuông góc P
với đường xiên.
 ĐÂY LÀ PHƯƠNG PHÁP RẤT HAY SỬ DỤNG! Các bạn phải thành 
thạo phương pháp này.
PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG 
 GOÙC VÔÙI MAËT PHAÚNG
 Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử 
dụng các phương pháp sau:
1). Muốn chứng minh đường thẳng a vuông a
góc với mặt phẳng (P). Ta phải chứng minh 
 b
đường thẳng a vuông góc với hai đường c
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P). I
 a  b vaø a c P
 b  c I a  (P)
 b; c  (P)
2). Hai mặt phẳng (Q) và (R) có giao tuyến Q
 a
a cùng vuông góc với mặt phẳng (P), thì a R
vuông góc với (P).
256
 P (Q)  (P)
 (R)  (P) a  (P)
 (Q)  (R) a
3). Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với 
 P
nhau theo giao tuyến b. Một đường thẳng a 
thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với b, thì a 
vuông góc với mặt phẳng (P). b
 (P)  (Q) a
 (P)(Q) b Q
 a  (P)
 a  (Q)
 a  b
4). Chứng minh đường thẳng b vuông góc 
 b a
với mặt phẳng (P) , đường thẳng a song 
song với b ,suy ra a vuông góc với (P).
 a / / b P
 a  (P)
 b  (P)
5). Chứng minh đường thẳng a song song với a
mặt phẳng (Q), mặt phẳng (P) song song với Q
(Q), nên a vuông góc với (P).
 a  (Q) P
 a  (P)
 (Q)/ / (P)
 Hai trụ cột để giải toán của dạng này :
 Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta 
phải chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau 
thuộc mặt phẳng (P).
 Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d 
vuông góc với mọi đường thuộc mặt phẳng (P).
 BÀI TẬP
 Câu 1: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo 
 nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC.
 a). Chứng minh BC  AD.
 b). Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH  (BCD).
 LỜI GIẢI
a). Chứng minh BC  AD.
 Vì tam giác ABC cân tại A nên AI  BC ,và tam giác DBC cân tại D nên 
DI  BC . A
 257
 D B
 H
 I
 C Ta có: 
 BC  AI
 BC  DI
 AI,DI  ADI ,AI  DI I
 BC  mp ADI BC  AD
b). Chứng minh AH  (BCD). 
 AH  DI gt 
 Có AH  BC vì BC  (ADI)  AH AH  mp BCD .
 BC,DI  BCD ,BC  DI I
 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác 
 ABC vuông cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là 
 điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh: 
 a) BC  (SAB). b) NG  (SAC).
 LỜI GIẢI
 BC  AB gt S
a). Có BC  SA vì SA  (ABC)  BC 
 AB,SA  (SAB)& AB  SA A
 BC  SAB .
b). Gọi H trung điểm của AC . Tam giác G
ABC vuông cân tại B nên BH  AC
 H
 C
 BH  AC A N
 Có BH  SA vì SA  (ABC)  BH 
 SA,AC  (SAC)& SA  AC A
 BH  SAC .
 B
 SN SG 2
 Xét tam giác SBH có NG PBH (Định lý đảo Talét). 
 SB SH 3
 Mà BH  SAC NG  SAC .
 Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD . Gọi H là hình chiếu 
 vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) . Chứng minh rằng H là trực 
 tâm của tam giác BCD và AD  BC .
 LỜI GIẢI
 A
258
 B D
 H
 C CD  AB gt 
 Có CD  AH do AH  ABC CD  ABH 
 AB,AH  (ABH) 
 CD  BH do BH  (ABH) (1)
 Chứng minh tương tự BD  mp ACH 
 BD  AH 2 
 Từ (1) và (2) suy ra H trực tâm của tam giác ABC.
 BC  DH
 Vì BC  AH gt BC  mp ADH BC  AD do AD  ADH 
 AH,DH  (ADH)
 Cho tứ diện SABC có đáy ABC vuông tại A, biết SB  (ABC),SB AB . 
 Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, AB, BC. Chứng minh rằng:
 a). AC  (SAB) b). BH  (SAC) c). KI  SA d). 
 AB  IH 
 LỜI GIẢI
 AC  AB S
a). Có AC  SB AC  (SAB) 
 AB,SB  (SAB)
b). Vì SB AB SAB cân tại B BH  SA 
 H
 BH  SA I
 B C
 Có BH  AC do AC  (SAB)  BH BH  (SAC) 
 SA,AC  (SAC) K
c). KI là đường trung bình của ABC KI PAC , 
 A
 mà AC  (SAB) KI  (SAB) KI  SA do SA  (SAB) .
d). Có HK là đường trung bình của SAB HK PSB , mà 
SB  AB HK  AB .
 AB  HK
 Vậy AB  KI AB  (HIK) AB  IH 
 HK,KI  (HIK)
 Câu 4: Cho tứ diện ABCD có DA (ABC) , ABC là tam giác cân tại A. 
 Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH  MD tại H .
 a). Chứng minh AH  (BCD).
 259 b). Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng 
 minh 
 GK  (ABC).
 LỜI GIẢI D
a). Chứng minh AH  (BCD).
 Vì ABC cân tại A nên BC  AM,
 và BC  AD BC  mp DAM .
 AH  BC BC  DAM H
 K
 Ta có: AH  DM gt 
 BC,DM  BCD , BC  DM M A C
 G
 AH  BCD . M
b). Chứng minh GK  (ABC). B
 Vì G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Theo tính chất 
trọng tâm:
 AG 2
 AM 3 AG DK
 AD PKG (theo định lý Talet đảo).
 DK 2 AM DM
 DM 3
 Mà AD  ABC KG  ABC (đpcm)
 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy là hình vuông tâm O. SA  
 (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, 
 SC, SD.
 a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).
 b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng 
 AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
 c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI.
 LỜI GIẢI
a) CMR: BC  (SAB) , CD  (SAD) , BD  (SAC).
 Chứng minh BC  SAB . Có S
 BC  SA SA  ABCD 
 BC  AB gt 
 SA,AB  SAB , SA  AB A K
 I
 BC  SAB 
 Chứng minh CD  SAD . H
 D
 A
260 O
 B C CD  SA SA  ABCD 
 Vì CD  AD gt 
 SA,AD  SAD , SA  AD A
 CD  SAD 
 DB  SA SA  ABCD 
 Chứng minh BD  SAC . Vì BD  AC gt 
 SA,AC  SAC , SA  AC A
 BD  SAC 
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC
 AH  SB gt 
 Có AH  BC BC  SAB AH  SBC AH  SC
 SB,BC  SBC & SB  BC B
 AK  SD gt 
 Có AK  CD CD  SAD AK  SCD AK  SC
 SD,CD  SCD , SD  CD D
 Vì AH, AK, AI có chung điểm A và cùng vuông góc với SC. Nên ba 
đường thẳng AH, AK, AI đồng phẳng.
c). Ta có tam giác SAB SAD c.g.c . Nên 2 đường cao xuất phát từ đỉnh A 
bằng nhau AH AK , như vậy SHA SKA (cạnh huyền cạnh góc vuông ) 
 SH SK .
 SH SK
 Từ đó có: HK PBD (theo định lý đảo Talet).
 SB SD
 Mà BD  SAC HK  SAC HK  AI AI  SAC .
 Cho đường tròn (C) đường kính AB nằm trong mp(P). Gọi (d) là đường 
 vuông góc với (P) tại A. Gọi S là một điểm trên (d), M C) 
 a). Chứng minh rằng MB  SAM 
 b). Dựng AH  SB,AK  SM lần lượt tại H và K. Chứng minh 
 AK  (SMB) và SB  (AHK) .
 c). Gọi J là giao điểm của HK và MB. Chứng minh AJ là tiếp tuyến của 
 (C).
 LỜI GIẢI
 261 a). Do tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (C) đường kính AB, nên 
 ABM vuông tại M.
 S
 BM  AM
 Có BM  SA BM  SAM 
 H
 AM,SA  (SAM)
 AK  SM
b). Có AK  BM do BM  (SAM)  AK 
  K
 SM,BM (SBM) A B
 AK  (SBM) .
 SB  AH
 Có SB  AK do AK  (SBM)  SB 
 M
 AH,AK  (AHK)
 SB  AHK J
c). Có SA  (ABM) mà AJ  (ABM) SA  AJ (1). Ngoài ra có SB  (AHK) 
mà AJ  (AHK) SB  AJ (2).
Từ (1) và (2) suy ra AJ  (SAB) AJ  AB . Trong mp(P) có AJ vuông góc 
với AB là đường kính của đường tròn (C). Suy ra AJ là tiếp tuyến của (C).
 Câu 6: Cho tứ diện O.ABC có 3 cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc 
 với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh :
 a. OA  BC, OB  CA, OC  AB . b. H là trực tâm của tam giác 
 ABC.
 1 1 1 1
 c. . d. S2 S2 S2 S2 .
 OH2 OA2 OB2 OC2 ABC OAB OBC OAC
 e. Các góc của tam giác ABC đều là góc nhọn.
 LỜI GIẢI
 A
 OA  OB 
a). Ta có OA  OC OA  OBC F
 OB,OC  OBC 
 H
 OA  BC . O C
 OB  OA 
 E
 Ta có OB  OC OB  OAC 
 B
 OA,OC  OAC 
 OB  AC .
 Chứng minh tương tự ta được OC  AB .
262 b). H là trực tâm của tam giác ABC.
 Gọi E AH  BC , F = BH  AC .
 BC  OA OA  OBC 
 Ta có BC  OH OH  ABC BC  OAE BC  AE (1) .
 OA , OH  OAE
 AC  OB , AC  OH
 Ta có AC  OBF AC  BF (2) .
 OB , OH  OBF 
 Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC .
 1 1 1 1
c). Chứng minh . 
 OH2 OA2 OB2 OC2
 1 1 1
 Trong OAE vuông tại O có OH là đường cao : (3) .
 OH2 OA2 OE2
 1 1 1
 Trong OBC vuông tại O có OE là đường cao : (4) .
 OE2 OB2 OC2
 1 1 1 1
 Thay (4) vào (3) được (đpcm )
 OH2 OA2 OB2 OC2
 Công thức này được sử dụng trực tiếp để tính khoảng cách , các bạn nhớ 
công thức này nhé!
 2 2 2 2
d). Chứng minh : S ABC S OAB S OBC S OAC .
 Trong OAE vuông tại O có OH là đường cao 
 2
 2 2 2 1 1 1
 OE EH.EA OE .BC EH.BC.EA.BC OE.BC .EH.BC. EA.BC
 2 2 2
 2
 S OBC S HBC .S ABC (*)
 2
 Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được: S OAC S HAC .S ABC (**) 
 2
 S OAC S HAC .S ABC (***)
 Cộng từng vế (*) ,(**) , (***) : 
 2 2 2
 S OBC S OAC S OAC S HBC .S ABC S HAC .S ABC S HAC .S ABC
 2 2 2
 S OBC S OAC S OAC S ABC . S HBC S HAC S HAC 
 2 2 2
 S OBC S OAC S OAC S ABC .S ABC
 2 2 2 2
 S OBC S OAC S OAC S ABC .
 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2
 Cách 2 : S ABC AE BC OA OE BC OA .BC OE .BC
 4 4 4 4
 1 1
 OA2 OB2 OC2 OE2 .BC2
 4 4
 1 1 1
 OA2 .OB2 OA2 .OC2 OE2 .BC2
 4 4 4
 263 2 2 2 2
 S OBC S OAC S OAC S ABC
e). Các góc của tam giác ABC đều là góc nhọn.
 Gọi độ dài ba cạnh OA a, OB = b, OC = c .
 Trong tam giác ABC áp dụng định lý cosin có
 2 2 2 2 2 2
 AB2 AC2 BC2 a b a c b c a2
 cos Aµ 0 . 
 2.AB.AC 2.AB.AC AB.AC
 Kết luận A là góc nhọn 
 Chứng minh tương tự góc B và góc C nhọn .
 Câu 7: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi 
 H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC . Chứng minh rằng :
 a). AH , SK , BC đồng quy. 
 b). SC vuông góc với mặt phẳng (BHK).
 c). HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 LỜI GIẢI S
a). Gọi E AH  BC
 BC  AE
 Ta có BC  SA BC  SAE 
 AE,SA  (SAE)
 K
 BC  SE SE  SAE . A C
 H
 SK  BC E
 Vì , suy ra ba điểm S, K, E thẳng hàng. 
 SE  BC B
 Kết luận ba đường thẳng AH, BC, SK đồng qui tại điểm E .
b). SC vuông góc với mặt phẳng (BHK).
 BH  AC
 Có BH  SAC BH  SC SC  SAC .
 BH  SA
 SC  BH BH  SAC 
 Có SC  BHK 
 SC  BK
c). HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 Có BC  SAE BC  HK KH  SAE (1) . 
 Có SC  BHK SC  HK (2) .
 Từ (1) và (2) suy ra HK  SBC 
 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam 
 giác đều và SC = a 2 . Gọi H, K là trung điểm của AB, AD.
264