Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 4 - Bài 1: Vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian - Phần 1 (Có lời giải)

 Chương 4: 
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BAØI 1: VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
A) CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I) CÁC ĐỊNH NGHĨA
1) Vectơ, giá và độ dài của vectơ
 Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
  
 Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu là A điểm cuối là B. Vectơ còn được 
     
kí hiệu a, b, x, y, u, v,... 
 Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 
Hai vec tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng 
nhau. Ngược lại hai vec tơ có giá cắt nhau được gọi là hai vec tơ không 
cùng phương. Hai vec tơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc khác hướng.
 Độ dài của vec tơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và 
điểm cuối của vec tơ đó. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. 
    
Ta kí hiệu độ dài vec tơ là a , x , u , AB . Như vậy AB AB .
2) Hai vec tơ bằng nhau, vec tơ – không 
  
 Hai vec tơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và 
  
cùng hướng. Khi đó ta kí hiệu a b .
 Vectơ – không là một vec tơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối trùng 
  
nhau, nghĩa là với mọi điểm A tùy ý ta có AA 0 và khi đó mọi đường 
  
thẳng đi qua điểm A đều chứa vectơ AA . Do đó ta quy ước mọi vec tơ 0 
đều bằng nhau, có độ dài bằng 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vec 
   
tơ. Do đó ta viết AA BB với mọi điểm A, B tùy ý.
II) PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ
1) Định nghĩa:
  
 Cho hai vec tơ a và b . Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ 
     
AB a, BC b . Véc tơ AC được gọi là tổng của hai vec tơ a và b , đồng 
     
thời được kí hiệu AC AB BC a b .
    
 Vec tơ b là vec tơ đối của a nếu a b và a , b ngược hướng nhau, kí 
  
hiệu b a .
   
 a b a b 
2) Tính chất
 237   
 a b b a (tính chất giao hoán).
   
 a b c a b c (tính chất kết hợp).
 a 0 0 a a 
 a a a a 0 
3) Các quy tắc cần nhớ khi tính toán
a) Quy tắc ba điểm
 A
 Với ba điểm A, B, C bất kì ta có:
    
 AB BC AC b
    a
 BC AC AB a+b
 B C
 B
b) Quy tắc hình bình hành C
    a+b
 Với ABCD là hình bình hành ta có: AC AB AD a
 A b D
c) Quy tắc hình hộp D C
 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, b
 a
AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC’ là A
     B
đường chéo, ta có: AC' AB AD AA' 
 a+b+c
 c
d) Mở rộng quy tắc ba điểm D' C'
 Cho n điểm A1 ,A2 ,A3 ,...,An bất kì, ta có:
     A' B'
 A1A2 A2 A3  An 1An A1An .
III). PHÉP NHÂN VEC TƠ VỚI MỘT SỐ 
1) Định nghĩa
 Cho số k 0 và vectơ a 0 . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí 
hiệu là ka , cùng hướng với vectơ a khi k 0 , ngược hướng với vectơ a khi 
k 0 và có độ dài bằng k . a 
2). Tính chất
  
 Với mọi vec tơ a,b với mọi số m, n ta có:
   
 m a b ma mb 
 m n a ma na 
 m na mn a 
 1.a a ; 1 a a .
 0.a 0 ; k.0 0 .
238 IV). ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VEC TƠ
1). Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vec tơ trong không gian
  
 Cho ba vectơ a, b, c đều khác 0 trong không gian. Từ một điểm O bất kì 
     
ta vẽ OA a, OB b, OC c . Khi đó xảy ra hai trường hợp:
 Trường hợp các đường thẳng OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt 
  
phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c không đồng phẳng.
 Trường hợp các đường thẳng OA,OB,OC cùng nằm trong một mặt 
  
phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
2). Định nghĩa
 Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của 
chúng cùng song song với một mặt phẳng.
3). Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
  
 Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương a và b 
  
và một vectơ c . Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số 
  
m, n sao cho c ma nb , ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
4). Phân tích (biểu thị) một vectơ theo ba vec tơ không đồng phẳng.
 Định lí 2:
  
 Cho a, b, c là ba vectơ không đồng phẳng. Với mọi vectơ x trong không 
  
gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x ma nb pc . Ngoài ra 
bộ ba số m, n, p là duy nhất.
          
 Cụ thể OX x, OA a, OB b, OC c và OX OA' OB' OC' với 
     
OA' ma,OB' nb,OC' pc . Khi đó x ma nb pc
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
 VẤN ĐỀ 1:Chứng minh đẳng thức vectơ
 PHƯƠNG PHÁP
 Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để 
biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
 Sử dụng các tính chất của phép toán về vec tơ và các tính chất hình học 
của hình đã cho.
     
Câu 1: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh AB AD AE AG 
LỜI GIẢI
 Theo tính chất hình hộp:
        
 AB AD AE AB BC CG AG 
 Dựa vào quy tắc hình hộp ta có thể viết ngay kết quả:
     
 AB AD AE AG
 239 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng 
     
 minh rằng SA SC SB SD 
LỜI GIẢI
 Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
       
 Ta có SA SC 2SO (1) và SB SD 2SO (2).
     
 Từ (1) và (2) suy ra SA SC SB SD
 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng 
 minh:
  2  2  2  2
 SA SC SB SD 
LỜI GIẢI
 Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD.
     
 Ta có OA OB OC OD 
  2   2  2  2   
 SA SO OA SO OA 2SO.OA 
  2   2  2  2   
 SC SO OC SO OC 2SO.OC 
  2  2  2  2  2    
 SA SC 2SO OA OC 2SO. OA OC 
    2  2  2  2  2
 Mà OA OC 0 nên SA SC 2SO OA OC
  2  2  2  2  2
 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: SB SD 2SO OA OC
  2  2  2  2
 Từ đó suy ra SA SC SB SD
 Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và 
 CD. Chứng minh:
  1   1   
 a). MN AD BC AC BD 
 2 2 
     
 b). Điểm G là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi: GA GB GC GD 0 
 LỜI GIẢI
a). Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
         
 MN MA AD DN (1) và MN MB BC CN (2).
 Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có:
         1   
 2MN MA MB AD BC DN CN MN AD BC .
 2 
 0 0
  1   
 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: MN AC BD .
 2 
b). Theo tính chất trung điểm có:
240       
 GA GB 2GM và GC GD 2GN
         
 Do đó GA GB GC GD 0 2GM 2GN 0 GM GN 0 G là 
trung điểm MN G là trọng tâm tứ diện ABCD.
 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD 
     
 a). Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SA SC SB SD . 
 Điều ngược lại có đúng không?
 b). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình 
      
 hành khi và chỉ khi SA SC SB SD 4SO .
 LỜI GIẢI
           
a). Ta có SA SC SB SD SA SB SD SC BA CD .
 Vậy với hình chóp S.ABCD thì đáy ABCD là hình bình hành khi và chỉ 
     
khi SA SC SB SD .
b). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì:
       
 OA OC 2OM và OB OD 2ON
      
 Theo đề bài có SA SC SB SD 4SO
          
 SO OA SO OB SO OC SO OD 4SO
         
 OA OB OC OD 0 2 OM ON 0 OM ON 0 . Điều này 
chứng tỏ ba điểm O, M, N thẳng hàng và O trung điểm của MN. Mặt khác 
 M AC, N BD, O AC  BD O  M  N , có nghĩa O trung điểm của AC 
và BD, hay ABCD là hình bình hành.
 Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O. Chứng minh:
     
 a). AC' AB AD AA' 
        
 b). AB B'C' D' D AD D'C' B' B A'C 
         
 c). OA OB OC OD OA' OB' OC' OD' 0 
 LỜI GIẢI
a). Ta có ABCD và A’B’C’D’ là các hình bình hành, nên:
       
 AC' AC AA' AB AD AA' 
b). Ta có:
            
 AB B'C' D' D AB BC C'C AC C'C A'C' C'C A'C
       
 Vì AD B'C'; D'C' AB; B' B D' D nên:
        
 AB B'C' D' D AD D'C' B' B A'C
c). Vì O là tâm nên O là trung điểm của các đường chéo AC’, BD’, CA’, do 
đó:
         
 OA OB OC OD OA' OB' OC' OD'
 241         
 OA OC' OB OD' OC OA' OD OB' 0
        
 0 0 0 0
 Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của 
 các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh:
 AB2 CD2 AC2 BD2 BC2 AD2 4 IJ2 HK2 EF2 .
 LỜI GIẢI
 A
 Ta có: 
          ≠
 AD BC AI IJ JD BI IJ JC 2IJ K
   °
 2 2 2 I
 4IJ AD BC 2AD.BC (1) ≠
          
 D
 AB CD AE EF FB CE EF FD 2EF E F
   
 B
 4EF2 AB2 CD2 2AB.CD (2)
          
 ° J
 AC DB AK KH HC DK KH HB 2KH 
   H
 4KH2 AC2 DB2 2AC.DB (3)
 C
 Lấy (1), (2), (3) vế cộng theo vế được: 4 IJ2 HK2 EF2 
       
 AB2 CD2 AC2 BD2 BC2 AD2 2 AD.BC AB.CD AC.DB 
              
 Mà: AD.BC AB.CD AC.DB AB BD BC AB.CD AC.DB 
              
 AB BC CD BD BC CA AB.BD BD.BA BD AB BA 0
 Do đó: AB2 CD2 AC2 BD2 BC2 AD2 4 IJ2 HK2 EF2 
 Câu 8: Chứng minh rằng tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm 
     
 khi và chỉ khi AA' BB' CC' DD' 0 
 LỜI GIẢI
 Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện ABCD và A’B’C’D’. 
Theo tính chất trọng tâm có:
         
 GA GB GC GD 0 và G'A' G' B' G'C' G' D' 0
     
 Sử dụng quy tắc ba điểm: AA' BB' CC' DD' 0
             
 AG GG' G'A' BG GG' G'B' CG GG' G'C' DG GG' G'D' 0 
          
 AG BG CG DG G'A' G'A' G'C' G' D' 4GG' 0
    
 0 0
  
 GG' 0 G  G' (đpcm).
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E và F thỏa:
         
a). AE AB AC AD b). AF AB AC AD 
 LỜI GIẢI
242 a) Gọi G trọng tâm tam giác BCD. Theo tính chất trọng tâm có
       
 AB AC AD 3AG AE 3AG .
b). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Thì:
           
 AB AC AD 2AI 2AJ 2 AI AJ 2JI AF 2JI .
 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh:
     
 DA DB DC 3DG 
 LỜI GIẢI
              
 Ta có: DA DB DC DG GA DG GB DG GC 3DG GA GB GC
  
 0
     
 Vậy DA DB DC 3DG .
 Câu 10: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ 
 diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN, và P là một điểm 
 bất kỳ trong không gian. Chứng minh:
     
 a). IA IB IC ID 0 
  1     
 b). PI PA PB PC PD .
 4 
 LỜI GIẢI
       
a). Theo tính chất trung điểm có: MA MC 0 , NB ND 0 , IM IN 0 
 Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
             
 IA IB IC ID IM MA IN NB IM MC IN ND
       
 2 IM IN MA MC NB ND 0 .
      
 0 0 0
     
b). Theo câu a), ta chứng minh được: IA IB IC ID 0 . Áp dụng quy tắc 
ba điểm, ta có:
             
 IA IB IC ID IP PA IP PB IP PC IP PD
      
 4IP PA PB PC PD 0
  1     
 PI PA PB PC PD .
 4 
DẠNG 2: TÍNH TOÁN VÀ BIỂU DIỄN
     
 Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt AA' a; AB b; AC c .
    
 a). Hãy biểu diễn các véc tơ B'C,BC' theo các véc tơ a, b, c .
  
 b). Gọi G’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Biểu thị véc tơ AG' qua 
  
 a, b, c .
 LỜI GIẢI
 A' C'
 G' 243
 a B'
 c
 A C
 b
 B a). Ta có:
        
 B'C B' B B'C' AA' A'C' A'B' a b c .
        
 BC' BB' BC AA' AC AB a b c 
b). Vì G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’, nên có:
 1    1      
AG' AA' AB' AC' AA' AA' AB AA' AC 
 3 3 
 1  
 3a b c
 3 
     
 Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đặt AB a; AD b; AA' c . 
       
 Hãy biểu thị các véctơ AC', BD', CA', DB', BC', A' D theo các véc tơ 
  
 a, b, c .
 LỜI GIẢI
        A' D'
 AC' AA' AC AA' AB AD a b c 
         
 BD' BA AD DD' AB AD DD' a b c C'
         B'
 CA' CC' CA AA' AC AA' AB AD c
  b
 a b c . D
        A
 DB' DA AB' AD AA' AB a b c . a
       
 BC' BB' BC AA' AD b c B C
       
 A' D A'A A' D' AA' AD b c . 
DẠNG 3: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
  
 Dựa vào định nghĩa, chứng tỏ các vectơ a, b, c có giá song song với một 
mặt phẳng.
  
 Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có cặp số m, n duy nhất sao cho 
   
c ma nb , trong đó a,b là hai vectơ không cùng phương.
 Câu 1: a). Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho 
     
 AM 3MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho NB 3NC . Chứng 
    
 minh rằng ba véc tơ AB, DC, MN đồng phẳng. 
 b). Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo 
 của hình bình hành ABFE và K là giao điểm của hai đường chéo của 
    
 hình bình bình hành BCGF. Chứng minh ba véc tơ BD, IK, GF đồng 
 phẳng.
 LỜI GIẢI
     
a). Theo giả thuyết có AM 3MD và NB 3NC
244     
 Mặt khác MN MA AB BN (1).
         
 Và MN MD DC CN 3MN 3MD 3DC 3CN (2).
 Cộng đẳng thức (1) và (2) vế theo vế ta có:
         1  3  
 4MN MA 3MD AB 3DC BN 3CN MN AB DC . Từ hệ thức 
 4 4
 0    0
này chứng tỏ ba véc tơ AB,DC,MN đồng phẳng.
            
 b). Ta có BD BC CD GF AD AC GF GF 2IK (Vì AC 2IK ).
       
 Vậy BD 2GF 2IK . Từ hệ thức này chứng tỏ ba véc tơ BD, IK, GF 
đồng phẳng.
Câu 2: Trong không gian cho tam giác ABC.
a). Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà 
     
x y z 1 sao cho OM xOA yOB zOC với mọi O.
b). Ngược lại có một điểm O trong không gian sao cho: 
    
OM xOA yOB zOC , trong đó x y z 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).
 LỜI GIẢI
   
a). Vì ABC là tam giác nên hai véc tơ AB, AC không cùng phương. Điểm M 
    
thuộc (ABC) suy ra ba véc tơ AB, AC, AM đồng phẳng, tức là có một cặp số 
y, z thỏa:
          
 AM yAB zAC OM OA y OB OA z OC OA 
     
 OM 1 y z OA yOB zOC 
 Đặt x 1 y z x y z 1 
     
 Khi đó ta có OM xOA yOB zOC (1) với x y z 1 (2).
b). Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho:
     
 OM xOA yOB zOC , trong đó x y z 1 thì M (ABC) 
 Thật vậy từ (2) suy ra x 1 y z thay vào (1) được:
     
 OM 1 y z OA yOB zOC
       
 OM OA y OB OA y OC OA 
       
 OM OA y OB OA y OC OA 
    
 AM yAB zAC (3).
    
 Hệ thức (3) chứng tỏ ba véc tơ AB, AC, AM đồng phẳng và có cùng gốc 
A suy ra M (ABC) .
 245 Câu 3: Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các 
 điểm A’, B’, C’ thỏa SA aSA', SB bSB', SC cSC' , trong đó a, b, c là 
 các số thay đổi. Chứng minh rằng mp(A’B’C’) đi qua trọng tâm của của 
 tam giác ABC khi và chỉ khi a b c 3 .
 LỜI GIẢI
 Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho 
       
SA aSA', SB bSB', SC cSC' , nên: SA aSA', SB bSB', SC cSC' .
 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, theo tính chất trọng tâm có:
 1     a  b  c  
SG SA SB SC SG SA' SB' SC' .
 3 3 3 3
 Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua điểm G khi và chỉ khi bốn điểm G, A’, B’, C’ 
đồng phẳng, nên theo ví dụ trên, điều đó xảy ra khi và chỉ khi 
a b c
 1 a b c 3 .
3 3 3
 Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và 
 CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho 
  2   2  
 AP AD và BQ BC . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng 
 3 3
 thuộc một mặt phẳng.
 LỜI GIẢI
              
 Có AD BC AM MN NB BM MN NC 2MN AM BM NB NC 
    
 0 0
     1   
 AD BC 2MN MN AD BC (1).
 2 
  2   3   2   3  
 Vì AP AD AD AP và BQ BC BC BQ , từ đó (1) suy ra:
 3 2 3 2
  3   3     3     
 MN AP BQ AM MP BM MQ MP MQ do AM BM 0 
 4 4 4 
  3      
 Vậy MN MP MQ chứng tỏ ba véc tơ MN, MP, MQ đồng phẳng, 
 4 
nên bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
 Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và 
 CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho 
     
 PA kPD và QB kQC, k 1 . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q 
 cùng thuộc một mặt phẳng.
 LỜI GIẢI
246