Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 3: Quan hệ song song trong không gian - Phần 1 (Có lời giải)

 Chương 2: 
 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: 
 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 
 VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
 Tính chất:
 Định lí 1:
 Trong không gian, qua một điểm M d'
không nằm trên đường thẳng cho trước, d
có một và chỉ một đường thẳng song 
song với đường thẳng đã cho.
 Định lí 2:
 Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân 
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
 c
 β β
 α
 α a b
 a b
 c
 γ
 Hệ quả:
 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì 
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc 
trùng với một trong hai đường thẳng đó.
 β β β
 d d
 α d α α
 d" d"
 d' d'
 d" d'
 Định lí 3:
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song β
 α
với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. a b c
144
 γ BÀI 2:
 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
 Định lí 1: β d
 Nếu đường thẳng d không nằm 
trong mặt phẳng và d song song d'
với đường thẳng d' nằm trong thì 
 α
d song song với .
 β a
Định lí 2:
 Cho đường thẳng a song song với 
 b
mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  
 α
chứa a và cắt theo giao tuyến b 
thì b song song với a .
 Hệ quả:
 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng d'
song song với một đường thẳng thì giao β
tuyến của chúng ( nếu có ) cũng song d
song với đường thẳng đó. α
 Định lí 3: b
 Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có 
duy nhất một mặt phẳng chứa đường M b'
thẳng này và song song với đường thẳng 
kia. a
 α
 DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, 
đường thẳng song song với một mặt phẳng ...
 145 Chứng minh hai đường thẳng song song thì dựa vào hình học phẳng: 
Định lý Talet đảo, đường trung bình...
 Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta phải 
chứng minh đường thẳng d song song với một đường thẳng thuộc mp (P).
 Tìm giao tuyến cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm 
trong hai mặt phẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao 
tuyến cần tìm đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng song 
song vừa tìm.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; (SAD) và (SBC) .
b) Gọi M SC , tìm giao tuyến của (ABM) và (SCD) .
c) Gọi N SB , tìm giao tuyến của (S AB) và (NCD) .
 LỜI GIẢI
 Hướng dẫn: y
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Có S là S x
điểm chung, có AB PCD tính chất hình bình 
hành, mà AB nằm trong mp(SAB) và CD nằm 
trong mp(SCD). Suy ra giao tuyến của hai mặt N z
phẳng này đi qua điểm S và song song với AB, M t
CD.
 A B
Tương tự giao tuyến của (SAD) và (SBC) qua 
S và song song với AD, BC.
b) Vì M thuộc SC suy ra M thuộc mp(SCD). Do 
đó M là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) D C
và (SCD), trong hai mặt phẳng này lần lượt 
chứa hai đường thẳng AB và CD song song với 
nhau. Nên giao tuyến của chúng qua M và song 
song với AB, CD.
c) Tương tự câu b
 Ta trình bày cụ thể như sau:
 S (SAB) (SCD)
a) Có AB PCD (SAB) (SCD) Sx PAB PCD .
 AB  (SAB);CD  (SCD)
 S (SAD) (SBC)
b) Có AD PBC (SAD) (SBC) Sy PAD PBC .
 AD  (SAD); BC  (SBC)
c) Vì M SC,SC  (SCD) M (SCD) 
146 M (M AB) (SCD)
 Có AB PCD (SAB) (SCD) Mt PAB PCD .
 AB  (M AB);CD  (SCD)
d) Vì N SB,SB  (SAB) N (SAB) 
 N (SAB) (NCD)
 Có AB PCD (SAB) (NCD) Nz PAB PCD .
 AB  (SAB);CD  (NCD)
 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình bình hành 
 tâm O. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SB và SD.
 a) Tìm giao tuyến của SAC và SBD . b) Tìm giao điểm J của SA với 
 CKB .
 c) Tìm giao tuyến của OIA và SCD d) Chứng minh DC P IJK .
 LỜI GIẢI S
a) Có O và S là hai điểm chung của hai mặt 
phẳng (SAC) và (SBD). Vậy 
(SAC) (SBD) SO 
 y K x
 K (BKC) (S AD) J
b) Có BC PAD I
 BC  (BKC); AD  (S AD)
 (BKC) (S AD) Kx PBC PAD . A D
 Trong mp(SAD) gọi J Kx  SA , 
 O
 J SA
 có J SA (BKC) B C
 J Kx  (BKC)
c) Có OI là đường trung bình của SBD OI PSD 
 C (OIA) (SC D)
 Có OI PSD (OIA) (SC D) Cy POI PSD .
 OI  (OIA);SD  (SC D)
d) Dễ thấy J là trung điểm của SA nên có IJ là đường trung bình của 
 SAB IJ PAB mà AB PCD CD PIJ ngoài ra IJ  (IJK) CD P(IJK) .
 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H 
 và K lần lượt là trung điểm của SA và SC, G là trọng tâm của tam giác 
 ABC.
 a) Tìm giao tuyến của (GHK) và (ABCD).
 b) Tìm giao điểm M của SD và (GHK).
 c) Gọi E trung điểm của HK. Chứng minh G, E, M thẳng hàng.
 147 LỜI GIẢI
 S
 G (GHK) (ABCD)
 M
a) Có HK PAC
  
 HK (GHK); AC (ABCD) H
 (GHK) (ABCD) Gx PHK PAC . E
b) Gọi O AC  BD . Suy ra K
 A D
 (SAC) (SBD) SO
 Trong mp(SAC) gọi E HK  SO . Có
 E HK  (GHK) O
 E (GHK) (SBD) (1). G
 E SO  (SBD) x
 B C
 Ngoài ra G (GHK) (SBD) (2)
 Từ (1) và (2) suy ra (GHK) (SBD) GE . 
 Suy ra điểm M cần tìm là giao điểm của GE và SD.
c). Từ cách tìm giao tuyến của câu b) suy ra 3 điểm G, E, M thẳng hàng.
 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi 
 M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SB.
 a) Chứng minh BD P(MNP) 
 b) Tìm giao điểm của mp(MNP) với BC.
 c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).
 d) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP).
 LỜI GIẢI S
a) Có MN PBD (Vì MN là đường 
trung bình của ABD ), mà 
 
MN (MNP) K x
 BD P(MNP) . J
b) Trong mp(ABCD) gọi P
I MN  BC , có A D
 N
 I BC
 I BC (MNP) .
 I MN  (MNP) M
 P (SBD) (MNP)
 I B C
c) Có BD PMN
 BD  (SBD);MN  (MNP)
 (SBD) (MNP) Px PBD PMN .
d) Trong mp(SAB) gọi J SA  IP . Trong mp(SBD) gọi K SD  Px .
 Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNKJP.
148 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, 
 N, P lần lượt là trung điểm của SD, CD, BC.
 a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBCD); (AMN) và (SBC).
 b) Tìm giao điểm I của (PMN) và AC; K của (PMN) và SA.
 c) Gọi F là trung điểm của PM, chứng minh ba điểm K, F, I thẳng hàng.
 LỜI GIẢI
a) Có S (SAC) (SBD) (1). S
 Trong mp(ABCD) gọi 
 K
 O AC  BD O (SAC) (SBD) (2).
 x
 M
 Từ (1) và (2) suy ra
 y
 (SAC) (SBD) SO .
 Trong mp(ABCD) gọi
 F
 E AN  BC E (AMN) (SBC) . A D
 E (AMN) (SBC)
 O N
 Có MN PSC I E
 B P C
 MN  (AMN);SC  (SBC)
 (AMN) (SBC) Ex PMN PSC .
 I AC
b) Trong mp(ABCD) gọi I PN  AC I AC (MNP) .
 I PM  (MNP)
 I (PMN) (SAC)
 Có MN PSC (PMN) (SAC) Iy PMN PSC .
 MN  (P MN);SC  (SCC)
 K SA
 Trong mp(SAC) gọi K SA  Iy K SA (MNP) .
 K Iy  (MNP)
c) Dễ thấy I trung điểm của NP. Trong PMN có IF là đường trung bình, do 
đó IF PMN , ngoài ra IK PMN 3 điểm I, K, F thẳng hàng.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là 
giao điểm hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E trên cạnh SC sao cho
EC 2ES .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
b) Tìm giao điểm M của đường thẳng AE và mặt phẳng SBD . Chứng 
minh M là trung điểm của đoạn thẳng SO.
 LỜI GIẢI x
 S
 149
 E
 I M
 A D
 O
 B C S (SAB) (SCD)
a) Có 
 AB PCD; AB  (SAB),CD  (SCD)
 (SAB) (SCD) Sx PAB PCD .
b) Chọn mp(SAC) chứa AM. Tìm giao 
tuyến của mp(SAC) và mp(SBD):
 Có S và O là 2 điểm chung của hai mặt 
phẳng (SAC) và (SBD), nên giao tuyến của 
chúng là đường thẳng SO. Điểm M cần tìm 
là giao điểm của SO và AM.
 Trong mp(SAC) dựng OI PSC,I AM , từ đó suy ra OI là đường trung 
 1 1
bình của tam giác ACE OI CE , ngoài ra có SE CE OI SE . Như 
 2 2
vậy tứ giác SEOI là hình bình hành M trung điểm của SO.
 Câu 7: Cho tứ diện ABCD, gọi M là điểm thuộc BC sao cho MC 2MB . 
 Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD.
 a) Chứng minh NP P ABC .
 QA
 b) Tìm giao điểm Q của AC với MNP và tính . Suy ra thiết diện 
 QC
 của hình chóp bị cắt bởi mp(MNP).
 c) Chứng minh MG P ABD , với G là trọng tâm của tam giác ACD.
 LỜI GIẢI A
a) Có NP là đường trung bình của 
 ACD NP PAB , mà AB  (ABC)
 NP P(ABC) .
 P
 Q
b) Có P MNP  ACD (1) J
 Trong mp(BCD) gọi J MN  CD , G
có B
 N D
 J MN  (MNP)
 M
 J CD  (ACD)
 J (MNP) (ACD) (2).
 C
 Từ (1) và (2) : MNP  ACD JP
 Q AC
 Trong mp(ACD) gọi Q JP  AC , có Q AC (MNP) .
 Q JP  (MNP)
 MQ (MNP) (ABC)
 Có MQ PNP PAB . Theo Ta lét có 
 NP PAB; NP  (MNP),AB  (ABC)
150 CQ CM 2 QA 1
 . Kết luận .
 CA CB 3 QC 2
 Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ với MQ PNP .
 CM CG 2
c) Trong BCP có MG PBP (định lý đảo Ta lét), mà 
 CB CP 3
BP  (ABD) nên MG P(ABD) . 
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của SAC và SBD ; SAB và SCD .
b) Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E( E khác S, 
A), cắt SD tại F( F khác S, D). Tứ giác BEFC là hình gì?
 1
c) M thuộc đoạn AD sao cho AM AD . G là trọng tâm tam giác SAB, I 
 3
là trung điểm AB. Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tại N. 
Chứng minh NG P SCD , MG P SCD .
 LỜI GIẢI
 S
a) Có
 S (SAB) (SCD)
 x
 E F y L
 AB PCD; AB  (SAB),CD  (SCD)
 (SAB) (SCD) Sx PAB PCD .
 G
b) Có M
 A D
 EF ( ) (SAD)
 BC PAD; BC  ( ),AD  (SAD) I
 N
 EF PBC PAD . 
 B C
 Vậy tứ giác EFCB là hình thang.
 IN AM 1
c) Do tính chất của hình bình hành, có . Trong ICS có 
 IC AD 3
IN IG 1
 NG PSC (Định lý đảo Ta lét), mà SC  (SCD) NG P(SCD) .
IC IS 3
 Trong mp(ABCD) gọi L IM  CD , có 
 MI MA 1
 MAI ~ MDL g.g .
 ML MD 2
 IM IG 1
Trong ISL có MG PSL (Định lý đảo Ta lét), mà SL  (SCD) 
 IL IS 3
 MG P(SCD) .
 151 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. 
 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD.
 a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
 b) Tìm giao điểm E của SB và (MNP).
 c) Chứng minh NE P(SAP) .
 LỜI GIẢI S
a) Có SO (SAC) (SBD) 
 S (SAB) (SCD) x
 Có AB PCD M
 AB  (SAB);CD  (SCD)
 L
 (SAB) (SCD) Sx PAB PCD . A D
b) Có M (MNP) (SAB) (1). E
 Trong mp(ABCD) gọi O P
 K NP  (MNP) B N C
 E NP  AB 
 K AB  (SAB)
 K
 K (MNP) (SAB) (2).
 Từ (1) và (2) suy ra (MNP) (SAB) MK .
 E SB
 Trong mp(SAB) gọi E MK  SB E SB (MNP) .
 E MK  (MNP)
c) Có NBK NCP g.c.g NK NP & KB CP ( ) 
  1   1  
 Ngoài ra PC AB BK AB (3)
 2 2
  1  
 Trong mp(SAB) dựng ML PAB,L SB ML AB ( đường trung bình) ( 
 2
4)
   
 Từ (3) và (4) suy ra BK ML tứ giác BKLM là hình bình hành E 
trung điểm của KM ( ) .
 Từ ( ) và ( ) suy ra EN là đường trung bình của KMP EN PMP , mà 
MP  (SAP) EN P(SAP) . 
 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD đáy 
 lớn và AD 2BC . Gọi M, N, P lần lượt thuộc các đoạn SA, AD, BC sao 
 cho MA 2MS, NA 2ND, PC 2PB .
 a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC); (SAC) và (SBD).
 b) Xác định giao điểm Q của SB với mp(MNP).
152 c) Gọi K trung điểm của SD. Chứng minh CK là giao tuyến của hai mặt 
 phẳng (MQK) và (SCD).
 LỜI GIẢI S x
 S (SAD) (SBC)
 M
a) Có AD PBC L K
 AD  (SAD); BC  (SBC)
 N
 (SAD) (SBC) Sx PAD PBC . A D
 Q
 Có S (SAC) (SBD) (1). y
 Trong mp(ABCD) gọi O
 O AC  BD O (SAC) (SBD) (2). B P C
 Từ (1) và (2) suy ra (SAC) (SBD) SO .
b) Trong mp(ABCD) gọi E AB  CD . 
  1  E
 Trong EAD có BC AD BC là đường trung bình của tam giác này
 2
 O là trọng tâm của EAD .
 AN AO 2
 Trong ACD có NO PCD (3).
 AD AC 3
 BP BO 1
 Trong BCD có PO PCD (4).
 BC BD 3
 Từ (3) và (4) suy ra 3 điểm N, O, P thẳng hàng.
 AN AM 2
 Trong SAD có MN PSD 
 AD AS 3
 O (MNP) (SBD)
 Có MN PSD (MNP) (SBD) Oy PMN PSD .
 MN  (MNP);SD  (SBD)
 Q SB
 Trong mp(SBD) gọi Q Oy  SB Q SB (MNP) .
 Q Oy  (MNP)
 BQ BO 1 QS
 Trong SBD có OQ PSD 2 .
 BS BD 3 QB
 1
 SA
 SM 2 SM SQ 2
c) Gọi L trung điểm của SA, có 3 MQ PBL 
 SL 1 3 SL SB 3
 SA
 2
  1   1    
 Có LK AD (đường trung bình) BC AD (giả thuyết) LK BC 
 2 2
tứ giác BCKL là hình bình hành BL PCK MQ PCK .
 153