Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 4: Khoảng cách (Có đáp án)

 BÀI 4. KHOẢNG CÁCH
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng 
 và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
 + Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
 + Nắm vững các tính chất về khoảng cách.
 ❖ Kĩ năng
 + Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.
 + Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của O trên . Khi đó khoảng cách 
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến .
 d O, OH.
 Nhận xét: OH OM ,M 
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng và một điểm O. Gọi H là hình 
chiếu của O trên mặt phẳng . Khi đó khoảng 
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến 
mặt phẳng .
 d O, OH.
 Nhận xét: OH OM ,M 
 Trang 1 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt 
phẳng
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song 
với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì 
trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng 
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .
 d , d M , với M 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
Cho hai mặt phẳng và  song song với nhau. 
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này 
đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa 
hai mặt phẳng và  .
 d ,  d M ,  d N, với 
 M , N  .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn 
vuông góc chung MN của a và b được gọi là 
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
 d a,b MN.
 Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Khoảng cách từ điểm đến 
 d O, OH
 đường thẳng 
 Khoảng cách từ điểm đến mặt d O, OH
 phẳng
 d , d M , 
 Khoảng cách từ đường thẳng 
 đến mặt phẳng 
 Khoảng cách giữa hai mặt d ;  d M ;  
 phẳng song song M 
 Khoảng cách giữa hai đường d a,b MN
 thẳng chéo nhau
 Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
 Phương pháp giải
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông 
mặt phẳng P . cân tại B và AB a, SA  ABC . Góc giữa cạnh 
 bên SB và mặt phẳng ABC bằng 60O . Tính 
 khoảng cách từ A đến SBC .
 Hướng dẫn giải
 Ta có AH  SB; AH  BC AH  SBC 
Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên .
 AH d A. SBC .
+) Dựng mặt phẳng P chứa O và vuông góc với 
 .
+) Tìm giao tuyến của P và .
+) Kẻ OH  H . Khi đó d O; OH.
Bước 2. Tính OH. Tam giác SAB vuông tại A nên
 1 1 1 a 3
Lưu ý: Tính chất của tứ diện vuông. AH 
 AH 2 SA2 AB2 2
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.
 OA  OB;OB  OC;OC  OA và H là hình chiếu 
của O trên mặt phẳng ABC .
 1 1 1 1
Khi đó ta có .
 OH 2 OA2 OB2 OC 2
 Trang 4 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết 
khối chóp S.ABC có thể tích bằng a3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC .
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và SI.
Ta có AI  BC;SA  BC AK  SBC 
 AK d A, SBC . 
 a2 3
Ta có V a3;S SA 4a 3.
 ABC 4
Trong tam giác vuông SAI, ta có 
 1 1 1 4a 195
 AK . 
AK 2 SA2 AI 2 65
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD a 3 . Tam giác A' AC 
vuông cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng A' A a 2 . Tính khoảng cách từ D’ 
đến mặt phẳng A' ACC ' 
Hướng dẫn giải
Trong A' AC , kẻ A' I  AC.
Vì A' AC  ABCD và A' AC  ABCD AC nên A' I  ABCD .
Vì DD ' AA' nên DD '  A' ACC ' d D ', A' AC d D, A' AC 
Kẻ DH  AC.
Ta có AC A' A 2 2a CD a.
 a 3
Suy ra d D, A' AC DH .
 2
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
 Trang 5 A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất 
kì trên mặt phẳng P . 
 B. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với AH  P .
 C. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
 D. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu 
vuông góc của A trên P .
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh a, 
SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
 57a 57a 2 57a 57a
 A. B. C. D. 
 3 6 3 12
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh 
bằng a, SA 2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng
 3a 3a
 A. aB. 2a C. D. 
 3 2
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh 
bằng a, SA 2a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB bằng
 a 3a 3a
 A. B. a C. D. 
 2 4 2
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ·ABC B· AD 90o , BA BC a; AD 2a . 
Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và SAD bằng 30o . Khoảng cách từ A đến 
 SCD bằng 
 a
 A. a B. a 2 C. D. a 3
 2
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh 
bằng a, SA 2a . Gọi G là trọng tâm ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng
 57a 57a 2 57a 57a
 A. B. C. D. 
 3 6 9 18
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC a 2, ·ABC 60o . Tam giác SAB 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB bằng
 a 6 a 2 2a 6
 A. B. C. a 2 D. 
 2 2 3
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B, 
BC 2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng
 Trang 6 3a 3a
 A. a B. C. 2a D. 
 2 4
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B, 
AB a, BC 2a . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 45o . Khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng SBC bằng
 a 2 a 3 a 3 a 6
 A. B. C. D. 
 2 2 3 3
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B, 
AB a, BC 2a, SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SAC 
bằng 
 2 5a 2 5a 4 5a 6 5a
 A. B. C. D. 
 5 15 15 5
Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng 
 a 6 a 3 2a 6 a 6
 A. B. C. D. 
 2 3 3 3
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng BCD bằng a 6 . Diện tích tam 
giác ABC bằng
 9 3a2 3 3a2 7 3a2 9 3a2
 A. B. C. D. 
 4 4 4 2
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vuông cạnh 
a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
 SCD bằng
 3a 3a 3a
 A. B. C. a D. 
 4 2 6
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vuông cạnh 
a, SA a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng
 3a 2a 21a 21a
 A. B. C. D. 
 4 2 3 7
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình chữ nhật với 
AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng
 6a 3 21a 5a 21a
 A. B. C. D. 
 7 7 7 7
 Trang 7 Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , 
ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng
 3a 2a 21a 21a
 A. B. C. D. 
 4 2 3 7
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vuông tâm 
O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ O đến mặt 
phẳng SBC bằng
 3a 3a 3a
 A. B. C. a D. 
 4 2 6
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD 
là hình thoi cạnh a, B· AD 120o , biết SC hợp với đáy một góc 45o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
 SCD bằng
 3a 2a 21a 21a
 A. B. C. D. 
 4 2 3 7
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a, ABCD là hình thoi 
cạnh a, ·ABC 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD bằng
 3 21a 2 21a 21a 21a
 A. B. C. D. 
 7 7 21 7
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA  ABCD và 
SA a 3 . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng
 a 3 a 3 a 2
 A. B. C. D. a
 2 4 2
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA  ABCD và 
SA a 3 . Khoảng cách từ trong tâm G của SAB đến mặt phẳng SAC bằng 
 a a 2 a 2 a 2
A. B. C. D. 
 2 4 6 3
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA  ABCD , AC a và 
AB a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng
 a 3 a 6
A. a 2 B. a C. D. 
 2 3
Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB a, AC b, AD c . 
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng
 Trang 8 1 1 1 1 1
A. B. C. a2 b2 c2 D. 
 1 1 1 a2 b2 c2 2 2 2
 a b c
 a2 b2 c2
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, BC a 3, SA  ABCD . Góc 
giữa SC và mặt đáy bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng 
 a 21 2a 21
A. a 2 B. C. D. a 3
 6 7
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vuông góc mặt 
phẳng ABC và SB 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 
 SAM bằng
 a 5 a 2a 17
A. B. C. a 5 D. 
 5 2 17
Câu 26: Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB AC 3a . Hình chiếu 
vuông góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC 2HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng B ' AC bằng 
 2a 3a 3 a
A. B. a 3 C. D. 
 3 2 2
Câu 27: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 
 A'CD bằng
 a 3 a a 2
A. a 2 B. C. D. 
 2 2 2
Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB a, BC 2a, BB ' a 3 . Khoảng cách từ 
điểm B đến mặt phẳng ACC ' A' bằng
 a 5 2a 5
A. B. a C. D. 2a
 2 5
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 
a, B· AD 60o , SO  ABCD , SO a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng 
 a a 3 a 3 a 39
A. B. C. D. 
 2 4 2 13
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 
a, B· AD 60o , SO  ABCD , SO a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC bằng
 a a 3 a 3 a 39
A. B. C. D. 
 2 4 2 13
 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-C 9-A 10-B
11-D 12-A 13-B 14-D 15-A 16-D 17-A 18-D 19-C 20-B
 Trang 9 21-C 22-D 23-A 24-C 25-D 26-B 27-D 28-C 29-B 30-C
Lời giải chi tiết 
Câu 2. 
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM 
 BC  AM
Ta có: BC  SAM SBC  SAM .
 BC  SA
 AH  SBC d A; SBC AH.
 a 3
Ta có AM .
 2
Xét SAM vuông tại A có
 1 1 1 1 4 19 a 57
 AH .
AH 2 AS 2 AM 2 4a2 3a2 12a2 6
Câu 3.
Do SA  ABC SAB  ABC .
Dựng CN  AB CN  SAB d C; SAB CN.
 a 3
Do ABC đều cạnh a nên CN .
 2
 a 3
Vậy d C; SAB .
 2
Câu 4.
Do SA  ABC SAB  ABC .
Dựng CN  AB CN  SAB d C; SAB CN.
 a 3
Do ABC đều cạnh bằng a nên CN .
 2
Do M là trung điểm BC nên
 1 a 3
d M ; SAB d C; SAB .
 2 4
Câu 5.
Gọi E là trung điểm AD.
Khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Suy ra CE  AD .
Lại có CE  SA .
Do đó CE  SAD C· SE ·SC, SAD 30o.
Lại có: SC.sin 30o CE a SC 2a.
 ABC vuông cân tại B nên AC a 2.
 Trang 10