Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc (Có đáp án)

 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm vững điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng 
 vuông góc.
 + Nắm được định lý ba đường vuông góc. 
 + Phát biểu và vận dụng được cách tìm thiết diện bằng quan hệ vuông góc.
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
 + Chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc.
 + Xác định được thiết diện và giải được các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích của thiết 
 diện.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu d 
vuông góc với mọi đường thằng a thuộc mặt phẳng .
 d  d  a,a  
Kí hiệu: d  hay  d.
 Định lí
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc 
với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng ấy.
 d  a
 d  b
 a  .
 a  ,b  
 a b M
 Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì 
nó cũng vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.
 Tính chất
 Có duy nhất đường thẳng d đi qua B 
Tính chất 1: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho 
 và vuông góc với .
trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Tính chất 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho Có duy nhất mặt phẳng đi qua A 
trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. và vuông góc với d.
 Trang 1 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung 
điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.
Tính chất 3:
 Một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì nó cũng 
vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song đường thẳng ấy.
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì 
song song với nhau. 
Tính chất 4: 
 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng 
vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì 
song song với nhau.
Tính chất 5:
Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông 
góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng 
đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song 
với nhau.
 Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng d  .
Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng được gọi 
là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng 
 M là hình chiếu của M lên .
 Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng và b là đường thẳng 
không thuộc đồng thời không vuông góc với . Gọi b là 
hình chiếu của b trên .
Khi đó a  b a  b .
 Trang 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng .
 Nếu d vuông góc với mặt phẳng thì ta nói góc giữa đường 
thẳng d và mặt phẳng bằng 90.
 Nếu d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa d với 
hình chiếu d của nó trên được gọi là góc giữa đường thẳng d 
vả mặt phẳng .
2. Hai mặt phẳng vuông góc
 Định nghĩa
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90.
 P  Q ¼ P , Q 90 
 Tính chất
 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt 
phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
 a  P 
 P  Q .
 a  Q 
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng 
nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng 
vuông góc với mặt phẳng kia.
 P  Q 
 a  P 
 a  Q .
 b P  Q 
 a  b
 Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau. Nếu từ một 
điểm thuộc mặt phẳng P dựng một đường thẳng vuông góc với 
mặt phẳng Q thì đường thẳng này nằm trong P .
 A P 
 P  Q a  P .
 A a  Q 
 Trang 3  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng 
thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
 P  R 
 Q  R  R .
 P  Q 
3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật
 Hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với 
hai mặt đáy.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật.
- Các mặt bên vuông góc với hai đáy.
Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.
 Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. 
Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật.
Đường chéo d a 2 b2 c2 với a,b,c là 3 kích thước.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có đáy và các mặt bên đều là 
hình vuông.
4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
 Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường 
cao trùng với tâm của đa giác đáy.
+) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
+) Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.
+) Các mặt bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song 
với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp được gọi là hình chóp 
cụt đều.
Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đồng dạng.
 Trang 4 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Định nghĩa 
 d  d  a,a  
Định lí ba đường Hai đường thẳng 
 a2
 vuông góc vuông góc
 Định lí Hệ quả 
 d  a;d  b ABC :
 a  a  ,b  d  d  AB d  ABC 
 b  ,b  a b M d  AC
 b laø hình chieáu cuûa b treân 
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho 
 a  b a  b 
 trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho 
 trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì 
 nó cũng vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song 
 song mặt phẳng ấy.
 Tính chất
 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một 
 đường thẳng thì song song với nhau.
 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì 
 nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào 
 song song mặt phẳng ấy.
 Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không 
 chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một 
 đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
 Trang 5 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Phương pháp giải
 Cách 1. Chứng minh đường thẳng d vuông Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam 
góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với dáy.
mặt phẳng P . Chứng minh BC  SAB .
 Hướng dẫn giải
 Ta có tam giác ABC vuông tại B nên BC  AB.
 Do SA  ABC nên BC  SA.
 BC  AB
 BC  SA
 Ta có: BC  SAB .
 AB  SA A
 AB, SA  SAB 
 Cách 2. Chứng minh d song song với a mà 
a  P .
 Cách 3. Chứng minh d  Q và Q // P .
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông 
góc của O trên mặt phẳng ABC . Chứng minh
 a) BC  OAH . b) H là trực tâm của ABC.
 Hướng dẫn giải
 OA  OB
 a) Ta có OA  OBC OA  BC.
 OA  OC
 OH  ABC 
 Mà nên OH  BC.
 BC  ABC 
 Trang 6 Vậy BC  OAH .
 b) Do OH  ABC nên OH  AC 1 .
 OB  OA
 Ta có nên OB  OAC OB  AC 2 .
 OB  OC
 Từ 1 và 2 suy ra AC  OBH AC  BH.
 Mặt khác BC  OAH AH  BC.
 Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD.
 a) Chứng minh AK  SCD .
 b) Chứng minh AH  SBC .
 c) Chứng minh SC  AHK .
 Hướng dẫn giải
 a) Ta có SA  ABCD CD  SA.
 ABCD là hình chữ nhật nên CD  AD.
 Suy ra CD  SAD CD  AK.
 Ta lại có AK  SD. Suy ra AK  SCD .
 b) Ta có CB  SA (do SA vuông góc với đáy)
 CB  AB (do ABCD là hình chữ nhật).
 Suy ra CB  SAB .
 Mà AH  SAB nên CB  AH.
 Ta lại có AH  SB. Suy ra AH  SBC .
 c) Ta có AK  SCD suy ra AK  SC.
 AH  SCB suy ra AH  SC.
 Suy ra SC  AHK .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, có SA vuông góc ABCD . Gọi H và K lần lượt 
là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD. Chứng minh rằng HK  SAC .
 Hướng dẫn giải
 Xét SAB vuông tại A, đường cao AH.
 Trang 7 SH SA2
 Ta có SA2 SH.SB 1 .
 SB SB2
 Xét SAD vuông tại A, đường cao AK.
 SK SA2
 Ta có SA2 SK.SD 2 .
 SD SD2
 SB2 SA2 AB2
 2 2 2
 Mà SD SA AD SB SD 3 .
 AB AD
 SH SK
 Từ 1 , 2 và 3 suy ra HK //BD.
 SB SD
 Lại có BD  AC (tính chất hình thoi)
 mà SA  ABCD , BD  ABCD BD  SA.
 Suy ra BD  SAC mà HK //BD nên HK  SAC .
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D .
 a) Chứng minh AC  A BD .
 b) Chứng minh AC  CB D .
 Hướng dẫn giải
 a) Gọi O, I lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, AA B B.
 BD  AC
 Ta có BD  ACC A BD  AC 1 .
 BD  AA 
 BA  AB 
 BA  AB C D BA  AC 2 .
 BA  B C 
 Từ 1 và 2 , ta có AC  A BD .
 BD//B D BD// CB D 
 b) Ta có A BD // CB D .
 A B//CD A B// CB D 
 Trang 8 Mà AC  A BD nên AC  CB D .
 Bài toán 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
 Phương pháp giải
 Chọn mặt phẳng P chứa đường thẳng b, sau đó Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
 hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi 
 chứng minh a  P .
 H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. 
 Từ đó suy ra a  b.
 Chứng minh HK  SC.
 Hướng dẫn giải
 Ta có CD  AD,CD  SA
 Suy ra CD  SAD CD  AK.
 Mà AK  SD nên AK  SDC AK  SC.
 Mặt khác AH  SC nên SC  AHK .
 Suy ra HK  SC.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 
 SA  ACBD , AD 2a, AB BC a. Chứng minh rằng CD  SC.
Hướng dẫn giải
 SA  ABCD 
Ta có:  SA  CD 1 .
 CD  ABCD  
Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác 
 ABCI là hình vuông. Do đó ·ACI 45.
Mặt khác, CID là tam giác vuông cân tại 
 I nên D· CI 45.
Suy ra ·ACD 90 hay AC  CD 2 .
Từ 1 và 2 suy ra CD  SAC CD  SC.
 Trang 9 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình tam giác vuông tại A và có Chú ý:
 SA  ABC . Chứng minh rằng AC  SB. Cách khác để chứng 
 minh hai đường 
Hướng dẫn giải
 thẳng vuông góc: Sử 
Vì SA  ABC nên AB là hình chiếu vuông góc 
 dụng định lý ba 
của SB trên ABC .
 đường vuông góc.
Mặt khác theo giả thiết AC  AB.
Suy ra AC  SB (theo định lý ba đường vuông góc).
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB AC, DB DC. Chứng minh AD  BC.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC cân tại A và DBC cân tại D nên ta có
 AH  BC; DH  BC BC  ADH AD  BC.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng P cho BCD đều. Gọi M là trung điểm của CD,G 
là một điểm thuộc đoạn thẳng BM. Lấy điểm A nằm ngoài P sao cho G là 
hình chiếu vuông góc của A trên P . Chứng mình rằng AB  CD.
Hướng dẫn giải
Vì AG  BCD nên BG là hình chiếu vuông 
góc của AB trên BCD .
Mặt khác theo giả thiết BG  CD suy ra 
 AB  CD (theo định lý ba đường vuông góc).
 Bài tập tự luyện dạng 1
 Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 
 B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. 
 C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
 Trang 10