Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 2: Góc (Có đáp án)

 CHƯƠNG 3: VECTO TRONG KHÔNG GIAN- 
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 BÀI 2. GÓC
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa 
 hai mặt phẳng.
 + Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.
 ❖ Kĩ năng
 + Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc 
 giữa hai mặt phẳng.
 + Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng
 Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một 
điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b. 
Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ 
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) d  P d· , P 90o ;
b) d  P d· , P d· ,d ·AIH.
(với d' là hình chiếu của d lên (P)).
Chú ý: 0o d· , P 90o.
 Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
 Trang 2 a   ·
  ,  a¶,b .
b    
Chú ý: / /  · ,  0o ;
   · ,  0o.
 Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng P ; S' là diện tích 
hình chiếu H' của H trên mặt phẳng P và là góc giữa hai mặt phẳng 
 P và P thì S S.cos .
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 GÓC
 Góc giữa hai Góc giữa đường thẳng Góc giữa hai 
 đường thẳng a, b d và mặt phẳng (P) mặt phẳng
 Góc giữa hai đường thẳng a a  
 d  P d· , P 90o ; 
 và b là góc giữa hai đường b    
 · ¶
 thẳng a' và b' cùng đi qua ,  a,b .
 một điểm và lần lượt song 
 song hoặc trùng với a và b. 
 d  P 
 d· , P d· , d ·AIH .
 (với d' là hình chiếu 
 của d lên (P)).
 a  b ·a,b 90o.
 Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng
 Phương pháp giải
 Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong không gian ta có thể thực hiện như sau
 Bước 1. Chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
 Bước 2. Từ O dựng các đường thẳng d1 ,d2 lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một 
trong hai đường thẳng) với d 1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1 ,d2 chính là góc giữa hai đường thẳng 
d1, d2.
 b2 c2 a2
 Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác: cos A .
 2bc
   
 Cách khác: Tìm hai vec tơ chỉ phương u1,u2 của hai đường thẳng d1, d2.
   
 u1.u2
 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos d1,d2   .
 u1 u2
Ví dụ: 
 Góc giữa d1, d2 là góc giữa d1,d2
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' 
bằng
 A. 30°.B. 90°.C. 60°.D. 45°.
 Hướng dẫn giải
 Ta thấy A C / / AC C·D , A C C·D , AC .
 Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.
 Trang 4 Ta có AC CD AD a 2.
 Suy ra ACD' đều nên ·CD , AC 60o.
 Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC 
và BC. Số đo của góc ·IJ,CD bằng
 A. 30°.B. 45°.C. 60°.D. 90°.
 Hướng dẫn giải
 Từ giả thiết ta có IJ / /SB (do IJ là đường trung bình của SCB) và AB / /CD I·J,CD S·B, AB .
 Mặt khác, ta lại có SAB đều nên S· BA 60o.
 Suy ra ·SB, AB 60o ·IJ,CD 60o.
 Chọn C.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB a, SA a 3 và SA vuông góc 
với (ABCD). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD là
 A. 60°.B. 30°.C. 45°.D. 90°. 
 Hướng dẫn giải
 Ta có ABCD là hình bình hành nên AB / /CD.
 Do đó ·SB,CD ·SB, AB S· BA.
 Vì SA  ABCD SA  AB SAB vuông tại A
 SA a 3
 Xét tam giác vuông SAB ta có tan S· BA 3 S· BA 60o.
 AB a
 Trang 5 Vậy ·SB,CD 60o.
 Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 
SA  ABCD , SA a, AB a, BC a 3. Côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD bằng
 3 5 3 3
 A. . B. . C. . D. .
 10 5 5 10
 Hướng dẫn giải
 Kẻ OM / /SC ·SC, BD ·OM , BD .
 Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC a 3 AC BD 2a.
 BD SC SA2 AC 2 a 5 a 5
 BO a,OM ; BM MA2 AB2 .
 2 2 2 2 2
 OM 2 BO2 BM 2 5 5
 cos M· OB cos S·C, BD .
 2OM.BO 5 5
 Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C'D'. 
Góc giữa hai đường thẳng MN và AP là
 A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°. 
 Hướng dẫn giải
 Giả sử hình lập phương có cạnh bằng a.
 Do MN / / AC nên ·MN, AP ·AC, AP .
 Trang 6 Ta cần tính góc P· AC.
 2
 2 2 2 a a 5
 Vì A'D'P vuông tại D' nên A P A D D P a .
 2 2
 2
 a 5 3a
 2 2 2
 AA'P vuông tại A' nên AP A A A P a .
 2 2
 a2 a 5
 CC'P vuông tại C' nên CP CC 2 C P2 a2 .
 4 2
 Ta có AC là đường chéo của hỉnh vuông ABCD nên AC a 2.
 Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ACP ta có:
 1
 CP2 AC 2 AP2 2AC.AP.cosC· AP cosC· AP C· AP 45o 90o.
 2
 Suy ra ·AC, AP C· AP 45o hay ·MN, AP 45o.
 Chọn A.
Lưu ý:
Cách khác: tính trực tiếp
   
 ·  MN.AP
Áp dụng công thức cos MN, AP   
 MN . AP
Ta tính được
  3a2
MN.AP 
 4
  3 2a2
MN . AP .
 4
   1
Suy ra cos MN, AP ·MN, AP 45o
 2
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Cosin của góc tạo bởi hai 
đường thẳng AC và BF là 
 5 3 5 3
 A. . B. . C. . D. .
 10 5 5 10
 Hướng dẫn giải
 Trang 7 Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF, AB.
 MN / /BF · ·
 Khi đó AC, BF MN, MK .
 MK / / AC
 Xét tam giác MNK, ta có:
 1 1 1 a 5
 MN BF BC 2 CF 2 a2 4a2 ;
 2 2 2 2
 1 a a 3
 MK AC ,CK ;
 2 2 2
 3a2 a 7
 NK KC 2 NC 2 a2 .
 4 2
 a2 5a2 7a2
 2 2 2 
 ME MN EN 1
 Suy ra cos E· MN 4 4 4 .
 2ME.MN a a 5 2 5
 2. .
 2 2
 5
 Vậy cos ·AC, BF cos E· MN .
 10
 Chọn A.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, biết AB CD a, 
 a 3
MN . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
 2
 Hướng dẫn giải
 Gọi I là trung điểm của AC.
 IM / / AB · ·
 Ta có AB,CD IM , IN .
 IN / /CD
 Đặt M· IN .
 AB a CD a a 3
 Xét tam giác IMN có IM , IN , MN .
 2 2 2 2 2
 Theo định lí côsin, ta có:
 Trang 8 2 2 2
 a a a 3 
 IM 2 IN 2 MN 2 2 2 2 1
 cos 0 M· IN 120o.
 a a
 2IM.IN 2. . 2
 2 2
 Vậy ·AB,CD 60o.
Cách khác:
 ·  
Ta có AB,CD IM , IN nên ta tính cos IM , IN .
   
MN IN IM
  2   2
 MN IN IM 
   
 IM 2 IN 2 2IN.IM.
   IM 2 IN 2 MN 2 a2
Suy ra IN.IM .
 2 8
 1
Vậy cos ·AB,CD .
 2
Do đó ·AB,CD 60o.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên). Góc 
giữa đường thẳng AD và BB1 bằng
 A. 30°.B. 60°.
 C. 45°.D. 90°.
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và B'D' bằng 
 A. 45°.B. 90°.C. 30°.D. 60°.
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB'. Góc giữa hai 
đường thẳng AC và IJ bằng
 A. 45°.B. 60°.C. 30°.D. 120°.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC vuông tại B, SA a, AB a, BC a 2. 
Gọi I là trung điểm BC. Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là
 2 2 2 2
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 8
Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA OB OC a;OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi I là 
trung điểm BC. Góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng
 A. 45°.B. 30° .C. 90°.D. 60°.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Biết AB CD a và 
 a 3
MN . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
 2
 Trang 9 A. 30°.B. 90°.C. 120°.D. 60°.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Biết 
MN a 3, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
 A. 45°.B. 90°.C. 60°.D. 30°.
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa hai đường thẳng 
AB và DM bằng
 3 3 3 1
 A. . B. . C. . D. .
 2 6 3 2
Câu 9. Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC AB AC a; BC a 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và 
SC bằng 
 A. 0°.B. 120°.C. 60°.D. 90°.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và 
CD. Góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC bằng
 A. 30°.B. 45°.C. 60°.D. 90°. 
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài toán 1. Bài tập củng cố lý thuyết
 Phương pháp giải
 Nắm vững lý thuyết để xác định đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường 
thẳng CD và mặt phẳng (ADB) là góc
 A. C· DA. B. C· AB. C. B· DA. D. C· DB.
 Hướng dẫn giải
 CB  BD
 Ta có CB  ABD .
 CB  BA
 Do đó BD là hình chiếu của CD trên (ABD).
 Suy ra góc giữa CD và (ABD) bằng C· DB. 
 Chọn D.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc (ABC). Góc giữa SC với (ABC) là góc giữa
 A. SC và AC. B. SC và AB. C. SC và BC. D. SC và SB. 
 Hướng dẫn giải
 Trang 10