Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Bài 1: Vectơ trong không gian. Hai đường thẳng vuông góc (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ 
 VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – 
 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
 + Phát biểu được tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng. 
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ không trùng 
 phương với nó.
 + Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba 
 vectơ đồng phẳng. 
 + Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ để giải các 
 bài toán. 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 Các định nghĩa
 a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt 
 điểm đầu và điểm cuối).
  
+) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay 
  
a, x, y,...
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm 
cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm 
cuối của vectơ đó.
 Sự cùng phương của hai vectơ
 b) Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối 
 trùng nhau. • a và b 0 cùng phương 
 c) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của k ¡ : a k.b
 chúng song song hoặc trùng nhau. • a và b 0 cùng hướng 
 d) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược k ¡ : a k.b
 hướng. 
 • a và b 0 ngược hướng 
 e) Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có 
 k ¡ : a k.b
 cùng độ dài.
 • Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
 f) Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng   
 nhưng có cùng độ dài. k ¡ : AB k.AC
 Các quy tắc tính toán với vectơ
 g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng) Quy tắc ba điểm (mở rộng).
       
    AX X X X X ... X X X B AB .
 AB BC AC 1 1 2 2 3 n 1 n n
 h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)
    
 OB OA AB
 i) Quy tắc hình bình hành
    
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB AD AC .
 j) Quy tắc hình hộp. Nếu ABCD.A B C D là hình 
 hộp thì 
     
 AC AB AD AA 
 k) Phép nhân một số k với một vectơ a .
Ta có ka là một vectơ được xác định như sau.
+ cùng hướng với a nếu k 0 .
 Trang 2 
+ ngược hướng với a nếu k 0 .
+ có độ dài ka k . a
 Một số hệ thức vectơ hay dùng
 l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng
   
I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA IB 0
   
OA OB 2OI (với O là một điểm bất kỳ).
 m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác
    
G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0
     
 OA OB OC 3OG (với O là một điểm bất kỳ)
  2  
 AG AM (với M là trung điểm cạnh BC).
 3
 n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
     
 GA GB GC GD 0
      
 OA OB OC OD 4OG (với điểm O bất kỳ)
  3  
 AG AA (với A là trọng tâm của BCD )
 4
   
 GM GN 0 (với M, N là trung điểm một cặp cạnh 
đối diện).
 Hệ quả
 Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng 
 o) Định nghĩa
 thời song song với giá của hai vectơ kia thì 
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu 
 ba vectơ đó đồng phẳng.
giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
 Ứng dụng:
 p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng 
Trong không gian cho hai vectơ a,b không cùng phương    
 AB, AC, AD
và vectơ c .    
 đồng phẳng AB m.AC n.AD
Khi đó, a,b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số 
 m;n sao cho c ma nb (cặp số m;n nêu trên là duy 
nhất)
 q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng 
 phẳng
Cho ba vectơ a,b và c không đồng phẳng.
Với mọi vectơ x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số 
 Chú ý:
 Trang 3 
 m;n; p sao cho x m.a n.b p.c Bình phương vô hướng của một vectơ:
 2 2
 Tích vô hướng của hai vectơ a a
 a) Nếu a 0 và b 0 thì a.b a . b .cos(a,b)
 b) Nếu a 0 và b 0 thì a.b 0
 Một số ứng dụng của tích vô hướng
 a) Nếu a 0 và b 0 ta có a  b a.b 0
 b) Công thức tính côsin của góc hợp bởi hai 
 vectơ khác 0 .
 a.b
 cos a,b 
 a . b
 c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng
   2
 AB AB AB
B. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Nhận xét:
 Góc giữa hai vectơ trong không gian 
 a) Nếu a là vectơ chỉ phương của đường 
Định nghĩa: Trong không gian, cho u và v là hai vectơ 
 thẳng d thì vectơ ka với k 0 cũng là 
khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao vectơ chỉ phương của d.
   
cho AB u, AC v . Khi đó ta gọi b) Một đường thẳng trong không gian hoàn 
B· AC 0 B· AC 180 là góc giữa hai vectơ u và v toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d 
 và một vectơ chỉ phương a của nó.
trong không gian, kí hiệu là u,v
 c) Hai đường thẳng song song với nhau khi 
 Vectơ chỉ phương của đường thẳng và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân 
Vectơ a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng 
thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với phương.
đường thẳng d. Chú ý. Giả sử u,v lần lượt là vectơ chỉ 
 phương của đường thẳng a và b.
 Đặt u,v .
 · khi 0 90
 Khi đó a,b 
 180 khi 90 180
 +) Nếu a//b hoặc a  b thì ·a,b 0 .
 +) 0 ·a,b 90 .
 Góc giữa hai đường thẳng
 Trang 4 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc 
giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và Nhận xét
lần lượt song song với a và b. a) Nếu hai đường thẳng a, b lần lượt có các 
 vectơ chỉ phương u,v thì 
 a  b u.v 0 .
 a / /b
 b) c  b
 c  a
 Hai đường thẳng vuông góc
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với 
nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .
Kí hiệu: Đường thẳng a và b vuông góc với nhau kí hiệu 
là a  b .
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Vectơ là một đoạn 
 thẳng có hướng
 a,b a b 
 cùng hướng a b
 Định nghĩa Độ dài của vectơ là 
 khoảng cách giữa  
 AB AB
 Hai vectơ được gọi là điểm đầu và điểm 
 cùng phương nếu giá cuối của vectơ đó
 của chúng song song 
 hoặc trùng nhau. Vectơ – không là vectơ có điểm 
 đầu và điểm cuối trùng nhau.
 a,b a b a,b
ngược hướng đối nhau
 VECTƠ 
 TRONG 
 Một số hệ thức vectơ Các phép toán 
 trọng tâm KHÔNG vectơ
 GIAN
 I là trọng tâm của hệ n điểm Quy tắc  3 điểm: 
 A ; A ;...; A AB BC AC
  1 2 n 
 IA1 IA2 ... IAn 0
  Phép trừ: 
 OB OA AB
 a,b không cùng phương thì a,b và 
 Sự đồng đẳng 
 c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại Nếu ABCD là hình bình hành thì
 của ba vectơ    
 cặp số m;n sao cho c ma nb AB AD AC
 Nếu ABCD.A B C D là hình hộp thì
     
 AC AB AD AA 
 Trang 5 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Vectơ trong không gian
Bài toán 1. Xác định vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ
 Phương pháp giải
Vận dụng các kiến thức sau.
 • Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ; 
 • Tính chất hình học của các đa giác đã học;
 • Các quy tắc tính toán với vectơ;
 • Một số hệ thức vectơ hay dùng;
 • Các tính chất của các hình hình học cụ thể.
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
     
AC BD AD BC 2MN
Hướng dẫn giải
     
Ta có AC BD AD BC
     
 AC AD BC BD
   
 DC DC (đẳng thức này đúng).
Do M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD 
   
 AM BM 0
nên   
 NC ND 0
         
Do đó AD BC AM MN NB BM MN ND 
       
 AM BM NB ND 2MN 2MN
      
Vậy AC BD AD BC 2MN
 Ví dụ mẫu
 Trang 6 Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Sử dụng các đỉnh của hình hộp làm điểm đầu và điểm cuối của 
vectơ.
     
 a) Hãy kể tên các vectơ bằng nhau lần lượt bằng các vectơ AB, AC, AD, AA .
  
 b) Hãy kể tên các vectơ luôn có độ dài bằng nhau và bằng độ dài của vectơ BC .
Hướng dẫn giải
 a) Ta có
     
+) AB DC A B D C .
   
+) AC A C .
     
+) AD BC A D B C 
     
+) AA BB CC DD 
 b) Từ tính chất của hình bình hành, ta suy ra các 
  
vectơ luôn có độ dài bằng độ dài của vectơ BC là
        
BC,CB, AD, DA, A D , D A , B C ,C B .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
     
 a) Chứng minh SA SC SB SD
  2  2  2  2
 b) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì SA SC SB SD
Hướng dẫn giải
 a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì O là 
trung điểm của mỗi đường chéo AC và BD.
       
Do đó SA SC 2SO và SB SD 2SO
     
Vậy SA SC SB SD
  2   2  2  2   
 b) Ta có SA SO OA SO OA 2SO.OA ,
 2   2  2  2   
SC SO OC SO OC 2SO.OC .
  2  2  2  2  2    
Suy ra SA SC 2SO OA OC 2SO OA OC 
  2  2     
 2 SO OA (vì OA và OC là hai vectơ đối nhau nên OA OC 0 )
 2 SO2 OA2 
  2  2
Tương tự. SB SD 2 SO2 OB2 
Mà ABCD là hình chữ nhật nên OA OB
  2  2  2  2
Suy ra SA SC SB SD
Bài toán 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng
 Trang 7 Phương pháp giải
 • Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng một trong các cách sau.
+ Chứng minh ba vectơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
+ Chứng minh hai vectơ có giá cùng song song với mặt phẳng chứa giá của vectơ còn lại.
+ Biến đổi vectơ để được đẳng thức dạng c m.a n.b
 • Chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng
   
 k ¡ : AB k.AC
    
 k ¡ : k.MA 1 k .MB MC
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm trên các cạnh AD và BC sao cho 
    
AM 2MD, BC 3NC . Chứng minh ba vectơ AB,CD, MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
     
 MN MA AB BN
Ta có     
 2MN 2 MD DC CN
        
Cộng vế theo vế của hai đẳng thức này ta được 3MN MA 2MD BN 2CN AB 2DC 
      1  2  
Do MA 2MD 0, BN 2CN 0 nên MN AB CD
 3 3
    
Vậy AB,CD, MN đồng phẳng.
 Ví dụ mẫu
    
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có AA a, AB b, AC c . Hãy phân tích các vectơ 
  
B C, BC qua các vectơ a,b,c .
Hướng dẫn giải
       
Ta có B C B B BC AA AC AB a b c
      
BC BC CC AC AB AA a b c
 Trang 8 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC. Lấy điểm M và N sao cho 
    
MS 2MA và NC 2NB . Chứng minh rằng ba vectơ 
   
AB, MN, SC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
     
Từ giả thiết ta có MS 2MA 0;CN 2BN 0
     
 MN MS SC CN
Lại có     
 2MN 2 MA AB BN
Cộng vế theo vế ta được
          
3MN MS 2MA CN 2BN SC 2AB SC 2AB
    
Vậy AB, MN, SC đồng phẳng.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A , B ,C lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho 
SA a.SA , SB b.SB , SC c.SC , trong đó a,b,c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng 
 A B C đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a b c 3 .
Hướng dẫn giải
       
Từ giả thiết ta suy ra SA a.SA , S B b.SB , SC c.SC 
     
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có SA SB SC 3SG
     
G A B C SG x.SA y.SB z.SC với x y z 1
     
 3SG 3x.SA 3y.SB 3z.SC với x y z 1
       
 a.SA b.SB c.SC 3x.SA 3y.SB 3z.SC 
    
 a 3x .SA b 3y .SB c 3z .SC 0
    
 a 3x b 3y c 3z 0 (do SA , SB , SC không đồng phẳng)
+) Nếu G A B C ta có a 3x b 3y c 3z 0 (với x y z 1).
Do đó a b c 3
 a b c
+) Nếu a b c 3 , ta đặt x , y , z thì 
 3 3 3
 a b c
x y z 1 và a 3x b 3y c 3z 0
 3
Do đó G A B C . 
 Trang 9 Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho 
    
MA 2MB, ND 2NC ; các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho 
      
IA k.ID, JM k.JN, KB k.KC . Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
   
    OA 2OB
Ta có MA 2MB nên với điểm O bất kỳ thì OM 
 3
Tương tự, ta chỉ ra được
         
 OD 2.OC  OA k.OD  OB k.OC  OM k.ON
ON ,OI ,OK ,OJ 
 3 1 k 1 k 1 k
  1 1     
Ta có OJ . OA 2OB k.OD 2k.OC
 1 k 3 
 1 1   
 . 1 k OI 2 1 k OK 
 1 k 3 
 1   1  2  
 OI 2OK OI OK
 3 3 3
 1   2   1  2    
Suy ra OI OJ OK OJ 0 JI JK 0 IJ 2JK
 3 3 3 3
Suy ra I, J, K thẳng hàng.
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi G,G lần lượt là trọng tâm của các tam giác BDA ,CB D . 
Chứng minh các điểm A,G,G ,C thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
    
Đặt AB a, AD b, AA c
  
Ta có AC a b c (quy tắc hình hộp).
  1    1 
Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG AB AD AA a b c
 3 3 
 Trang 10