Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đại cương hình học không gian - Phần 2 (Có lời giải)

 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác 
SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm của MN với SAC .
b) Tìm giao điểm của SC với AMN .
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với AMN .
 LỜI GIẢI
a) Trong mp(SBC) gọi E SM  BC . Trong S
mp(SCD) gọi F SN  CD .
 Chọn mp(SEF) chứa MN. R
 Có S (SEF) (SAC) (1) N
 Trong mp(ABCD) gọi
 H Q D
 O EF  (SEF)
 O AC  EF A F
 O AC  (SAC) M
 O (SEF) (SAC) (2). P
 O
 Từ (1) và (2) suy ra (SEF) (SAC) SO C
 Trong mp(SEF) gọi E
 B
 H MN
 H SO  MN H MN (SAC) .
 H SO  (SAC)
b) Có A (AMN) (SAC) (3)
 H MN  (AMN)
 Có H SO  MN H(AMN) (SAC) (4).
 H SO  (SAC)
 Từ (3) và (4) suy ra (AMN) (SAC) AH
 Q SC
 Trong mp(SAC) gọi Q SC  AH Q SC (AMN) .
 Q AH  (AMN)
c) Có MQ (AMN) (SBC) . Gọi P SB  MQ (AMN) (SAB) AP .
 Có NQ (AMN) (SCD) . Gọi R SD  NQ (AMN) (SAD) AR .
 Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR.
 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung 
 điểm của SB, G là trọng tâm SAD 
 a) Tìm giao điểm I của GM với ABCD . Chứng minh I ở trên đường thẳng CD 
 và IC 2ID .
 JA
 b) Tìm giao điểm J của OMG với AD. Tính .
 JD
 115 KA
 c) Tìm giao điểm K của OMG với SA. Tính .
 KS
 d) Tìm thiết diện tạo bởi OMG với hình chóp.
 LỜI GIẢI
 S
a) Gọi N trung điểm của AD. 
 Trong (SBN) gọi
 I
 K
 I MG P
 I MG  BN 
 I BN  (ABCD) G
 I MG (ABCD) . M
 A
 Đã chứng minh ở dạng 2, N trung N J D
điểm của BI.
 Trong mp(ABCD) xét hai NAB và O
 NDI có:
 NA NB (giả thuyết). B Q C
 NB NI (chứng minh trên).
 A· NB D· NI (đối đỉnh)
 Vậy NAB NDI c.g.c AB DN & B· AN N· DI hai góc này bằng nhau 
theo trường hợp so le trong, do đó AB PDN 3 điểm C, D, I thẳng hàng và 
 DI DC .
b) Có O (OMG) (ABCD) (3)
 I MG  (OMG)
 Có I MG  BN I (OMG) (ABCD) (4).
 I BN  (ABCD)
 Từ (3) và (4) suy ra (OMG) (ABCD) IO .
 Trong mp(ABCD) gọi J AD  OI J AD (OMG) .
 Xét trong ACI có J là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và IO, suy ra J 
 JA
là trọng tâm của tam giác này. Do đó 2 .
 JD
c) Có JG (SAD) (OMG) 
 K SA
 Trong mp(SAD) gọi K SA  JG K SA (OMG) .
 K JG  (OMG)
 AG AJ 2
 Gọi P trung điểm của SD. Có (tính chất trọng tâm) JG PDP 
 AP AD 3
 AK AJ 2 KA
 Xét trong SAD có JK PSD 2 .
 AS AD 3 KS
d) Trong mp(ABCD) gọi Q IO  BC . Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MQJK.
116 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi 
 M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,SD và OC.
 a). Tìm giao tuyến của MNP và ABCD .
 b). Tìm giao điểm của SA và MNP .
 c). Xác định thiết diện của hình chóp với MNP .Tính tỉ số mà MNP chia các 
 cạnh SA,BC và CD.
 LỜI GIẢI
 S
a) Có SO (SAC) (SBD) 
 E
 Trong mp(SBD) gọi H MN  SO , vì MN 
 N
là đường trung bình của SBD H trung 
điểm của SO. H
 Có P (MNP) (SAC) (1). M
 A D
 H MN  (MNP)
 Có H MN  SO 
 H SO  (SAC) G
 K O
 H (MNP) (SAC) (2).
 P
 Từ (1) và (2) suy ra B F C
 (MNP) (SAC) PH .
 Trong mp(SAC) gọi I
 E SA
 E SA  PH E SA (MNP) .
 E PH  (MNP)
 Do H trung điểm của SO và P trung điểm của OC suy ra PH là đường trung 
bình của OCS PH PSC . 
 AE AP 3
 Trong SAC có PE PSC .
 AS AC 4
 Trong mp(SAB) gọi I EM  AB I (MNP) (ABCD) (3).
 Ngoài ra có P (MNP) (ABCD) . Do đó (MNP) (ABCD) IP
 Trong mp(ABCD) gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD.
 Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG.
   
 Trong mp(SAB) dựng BK PSA,K SI MES MKB g.c.g EM BK , mà 
  1   1  IB BK 1
 ES AE BK AE . Xét IAE có .
 3 3 IA AE 3
 AB AO 2
 Trong AIP có BO PIP . 
 AI AP 3
 117 CF CG CP 1
 Trong BCD có FG PBD . 
 CB CD CO 2
 ES 1
 Kết luận tỉ số mà mp(MNP) chia các cạnh SA, BC và CD lần lượt là , 
 EA 3
 FB GC
 1 , 1 .
 FC GD
 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là 
 trọng tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD.
 a). Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng SAB .
 b). Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng IJK với hình chóp.
 LỜI GIẢI
 S
 Trong mp(ABCD) gọi
 O ACBD. Có (SAC) (SBD) SO 
 Vì K là trọng tâm của F
 J
 2
 SAC SK SO . Trong SBD có 
 3 H
 2
SO là đường trung tuyến và SK SO , K
 3 A D
suy ra K là trọng tâm của SBD. Do đó 
 B KJ . E
 O I
a) Có S (SAB) (SIO) (1).
Trong mp(ABCD) gọi E ABIO, B C
 E AB  (SAB)
có E (SAB) (SIO) (2).
 E IO  (SIO)
 Từ (1) và (2) suy ra (SAB) (SIO) SE . 
 H IK
 Trong mp(SIO) gọi H IKSE , có H IK (SAB) .
 H SE  (SAB)
b) Có B KJ B (IJK) (ABCD) . Do đó (IJK) (ABCD) BI .
 Trong mp(SAB) gọi F BH  SA (SAB) (IJK) BF .
 Ngoài ra (SAD) (IJK) FJ và (SCD) (IJK) JI
 Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI.
Câu 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm 
trong tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD 2MS .
118 a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và PCD .
b). Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ABM .
c). Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNP và hình 
chóp S.ABCD.
 LỜI GIẢI
a) Có P SAB  PCD (1). Trong G
mp(ABCD) gọi H AB  CD , có 
 H AB  (SAB)
 H (SAB) (PCD) (2) 
 H CD  (PCD) S
 Từ (1) và (2) suy ra (SAB) (PCD) HP .
 M
b) Bước 1: Chọn mp(SCD) chứa SC. K
 Bước 2: Tìm giao tuyến của (MAB) và 
(SCD): Có M, H là hai điểm chung của hai mặt 
phẳng (MAB) và (SCD). Do đó I
 P
 HM MAB  SCD . Giao tuyến HM cắt SC 
 A D
tại điểm I. Vậy I là giao điểm của SC với N
mp(ABM).
 L
c) Trong mp(SAD) gọi G SA  MN , có 
 G SA  SAB C
 G SAB  MNP (3). B
 G MN  MNP 
 Có P SAB  MNP (4). H
 Từ (3) và (4) SAB  MNP GP . Gọi K, L lần lượt là giao điểm của GP 
với SB và AB.
 Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.
DẠNG 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng 
minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định.
 Phương pháp: d β
 Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, α A
ta chứng minh ba điểm đó lần lượt thuộc hai mặt 
 B
phẳng phân biệt và  , thì suy ra ba điểm A, 
 C
B, C nằm trên giao tuyến của và  , nên 
chúng thẳng hàng.
 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY:
 Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng 
minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau:
 119 Cách chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm.
 Chọn một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 
 a và b . Gọi I a  b
 I
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a , 
tìm một mặt phẳng (R) chứa đường thẳng b , sao 
 c
 b
cho c Q  R I c . a
 Vậy: 3 đường thẳng a , b , c đồng quy tại 
điểm I. P
 Q R
 a , b  mp P 
 a  b I
 mp P  mp Q a a  b  c I 
 mp P  mp R b 
 mp Q  mp R c 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, hai điểm M, N lần 
lượt là trung điểm của SB, SD; điểm P thuộc SC và không là trung điểm của SC.
a). Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng MNP .
b). Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng MNP .
c). Gọi F,G,H lần lượt là giao điểm của QM và AB,QP và AC,QN và AD. 
Chứng minh ba điểm F,G,H thẳng hàng.
 LỜI GIẢI S
 Q
 N
 E
 M
 A
 P D H
 O
 B
 C
 G
 F
 E SO
a) Trong mp(SBD) gọi E SO  MN E SO (MNP) .
 E MN  (MNP)
 Q SA
b) Trong mp(SAC) gọi Q SA  PE Q SA (MNP) .
 Q PE  (MNP)
120 F QM  (MNP)
c) Có F QM  AB F (MNP) (ABCD) (1).
 F AB  (ABCD)
 G QP  (MNP)
 Có G QP  AC G (MNP) (ABCD) (2).
 G AC  (ABCD)
 H QN  (MNP)
 Có H QN  AD H (MNP) (ABCD) (3).
 H AD  (ABCD)
 Từ (1) (2) và (3) suy ra ba điểm F, G, H thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng 
(MNP) và (ABCD). Do đó ba điểm F, G, H thẳng hàng.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Lấy M thuộc SB 
và O là giao điểm AC với BD.
a) Tìm giao điểm N của SC với AMC .
b) AN cắt DM tại I. Chứng minh S,I,O thẳng hàng.
 LỜI GIẢI
a) Trong mp(ABCD) gọi S
 E AD  (AMD)
 E AD  BC M
 E BC  (SBC)
 E (AMD) (SBC) (1). B
 A
 M (AMD) N
 Có M (AMD) (SBC) (2). I
 M SB  (SBC)
 Từ (1) và (2) suy ra (AMD) (SBC) EM O
 Trong mp(SBC) gọi D C
 N SC
 N SC  EM 
 N EM  (AMD)
 
 N SC (AMD) E
b) Có S (SAC) (SBD) (3).
 O AC  (SAC)
 Có O AC  BD O (SAC) (SBD) (4).
 O BD  (SBD)
 Từ (3) và (4) suy ra SAC  SBD SO 
 I AN  (SAC)
 Ngoài ra có I AN  DM I (SAC) (SBD) , hay I SO . 
 I DM  (SBD)
Vậy S, I , O thẳng hàng.
 121 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung 
điểm SC và O là giao điểm AC với BD.
a) Tìm giao điểm N của SD với MAB .
b) Chứng minh: SO,AM,BN đồng quy.
 LỜI GIẢI
 S
a) Trong mp(ABCD) gọi
 E AB  (ABM)
 E AB  CD N
 E CD  (SCD)
  (1).
 E (ABM) (SCD) I M
 M (ABM) A
 Có M (ABM) (SCD) (2) D
 M SC  (SCD)
 O
 Từ (1) và (2) suy ra (ABM) (SCD) EM B
 Trong mp(SCD) gọi C
 N SD
 N SD  EM 
 N EM  (ABM)
 N SD (ABM) E
b) Có S (SAC) (SBD) (3).
 O AC  (SAC)
 Có O AC  BD O (SAC) (SBD) (4).
 O BD  (SBD)
 Từ (3) và (4) suy ra SAC  SBD SO 
 I AM  (SAC)
 Trong mp(ABM) gọi I AM  BN I (SAC) (SBD) , 
 I BN  (SBD)
hay I SO . Chứng tỏ ba đường thẳng SO,AM,BN đồng quy tại điểm I.
 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , gọi E;F;H lần lượt là các điểm thuộc cạnh
 SA;SB;SC. 
 a) Tìm giao điểm K SD  EFH .
 b) AC  BD O; EH  FK I . Chứng minh: S, I, O thẳng hàng.
 c) AD BC M;EK FH N . Chứng minh: S, M, N thẳng hàng.
 d) AB  CD P;EF  HK O . Chứng minh: A, P, Q thẳng hàng.
 LỜI GIẢI
a) Có S (SAC) (SBD) (1). S
 Trong mp(ABCD) gọi O AC  BD 
 K N
122 E
 I
 H
 F
 M
 A Q D
 O C
 B
 P O AC  (SAC)
 O BD  (SBD)
 O (SAC) (SBD) (2).
 Từ (1) và (2) suy ra 
 (SAC) (SBD) SO .
 Trong mp(SAC) gọi I EH  SO 
 I EH  (EFH)
 I (EFH) (SBD) (3).
 I SO  (SBD)
 F SB  (SBD)
 Có F (EFH) (SBD) (4).
 F (EFH)
 Từ (3) và (4) suy ra (EFH) (SBD) FI
 K SD
 Trong mp(SBD) gọi K SD  FI K SD (EFH) .
 K FI  (EFH)
b) Có S (SAD) (SBC) (5).
 M AD  (SAD)
 Có M AD  BC M (SAD) (SBC) (6).
 M BC  (SBC)
 Từ (5) và (6) suy ra (SAD) (SBC) SM .
 N EK  (SAD)
 Theo đề N EK  FH N (SAD) (SBC) . Có nghĩa N 
 N FH  (SBC)
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), hay N SM . Từ đó suy ra ba 
điểm S, M, N thẳng hàng.
c) Có S (SAB) (SCD) (7).
 P AB  (SAB)
 Có P AB  CD P (SAB) (SCD) (8).
 P CD  (SCD)
 Từ (7) và (8) suy ra (SAB) (SCD) SP .
 Q EF  (SAB)
 Theo đề Q EF  KH Q (SAB) (SCD) , có nghĩa Q 
 Q KH  (SCD)
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Hay Q SP . Từ đó suy ra ba 
điểm S, P, Q thẳng hàng.
 Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N;P lần lượt là các điểm thuộc cạnh
 AB; AC; BD. MN  BC I; MP  AD J; NJ  IP K . Chứng minh C; D; K 
 thẳng hàng.
 LỜI GIẢI
 123 Vì MN và BC thuộc mp(ABC) nên A
chúng cắt nhau tại I và MP và AD cùng 
thuộc mặt phẳng (ABD) nên chúng cắt 
 N
nhau tại J. Hai đường thẳng IP và NJ M
cùng thuộc mặt phẳng (MNP) nên chúng 
cắt nhau tại K.
 I D
 Có ACD  BCD CD . B P K
 Và có K IP  NJ mà
 J
 K IP,IP  BCD 
 K BCD  ACD C
 K NJ,NJ  ACD 
 có nghĩa K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD), nên ba điểm 
C, D, K thẳng hàng.
 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I và J là hai điểm trên hai cạnh AD,SB .
 a). Tìm giao tuyến của hai mp SBI và SAC . Tìm giao điểm K của IJ và mp
 SAC .
 b). Tìm giao tuyến của hai mp SBD và SAC . Tìm giao điểm L của DJ và 
 mp SAC .
 c). AD cắt BC tại O,OJ cắt SC tại M. Chứng minh rằng: A,K,L,M thẳng 
 hàng.
 LỜI GIẢI
 S
a) Có S (SBI) (SAC) (1)
 Trong mp(ABCD) gọi 
 E BI  (SBI) J M
 E ACBI 
 E AC  (SAC) L
 K D O
 I
 E (SBI) (SAC) (2). A
 E
 Từ (1) và (2) suy ra
 F
 (SBI) (SAC) SE C
 Trong mp(SBI) gọi 
 B
 K IJ
 K IJ  SE K IJ (SAC) .
 K SE  (SAC)
b) Có S (SBD) (SAC) (3)
 F BD  (SBD)
 Trong mp(ABCD) gọi F AC  BD 
 F AC  (SAC)
124