Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đại cương hình học không gian - Phần 1 (Có lời giải)

 Chương 2: 
 ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Bước đầu tiên làm quen với Hình học không gian, các bạn các bạn phải 
nhớ kỹ các khái niệm và những tính chất sau sau:
I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 
1. Mặt phẳng:
 Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà,... cho ta hình ảnh 
một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
 Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền 
góc và ghi tên của mặt phẳng đó vào một góc của hình biểu diễn (như hình 
1) .
 Để kí hiệu mặt phẳng , ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi 
Lạp đặt trong dấu ( ). Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng , 
mặt phẳng  hoặc viết tắt là mp(P), mp(Q), mp , mp  , hoặc (P), (Q), 
 ,  .
 P α
 Hình 1
2. Điểm thuộc mặt phẳng:
 Cho điểm A và mặt phẳng . 
 Khi điểm A thuộc mặt phẳng , ta A
nói A nằm trên hay mặt phẳng 
chứa A, hay mặt phẳng đi qua điểm α
 Hình 2
A và kí hiệu A , được biểu diễn ở 
hình 2 . A
 Khi điểm A không thuộc mặt phẳng 
 ta nói điểm A nằm ngoài mặt phẳng 
 hay mặt phẳng không chứa 
 α
điểm A và kí hiệu là A , được biểu Hình 3
diễn ở hình 3 .
II. CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN
 Tính chất 1: Có một và chỉ một d
đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. B C
78 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt A
phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. C
 B
 α
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có 
hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng A
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc d
 B
mặt phẳng đó.
 α
 D
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không A
cùng thuộc một mặt phẳng .
 B
 C
 α
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân 
biệt có một điểm chung thì chúng còn có 
một điểm chung khác nữa . β
 d
 Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt α
phẳng phân biệt có một điểm chung thì 
chúng sẽ có một đường thẳng chung đi 
qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung 
là duy nhất chứa tất cả các điểm chung 
của hai mặt phẳng đó . Đường thẳng 
chung đó được gọi là giao tuyến của hai 
mặt phẳng.
 Ví dụ: Đường thẳng chung d của hai 
mặt phẳng phân biệt và  được 
gọi là GIAO TUYẾN của hai mặt phẳng 
 và  và kí hiệu là d   .
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng 
đều đúng.
III. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT 
PHẲNG
 Có ba cách xác định một mặt phẳng:
 A
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác 
 B
định khi biết nó đi qua ba điểm không C
thẳng hàng. α
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác 
định khi biết nó đi qua một điểm và chứa 
một đường thẳng không đi qua điểm đó.
 79 Cho đường thẳng d và điểm A A
không thuộc d. Khi đó điểm A và đường 
thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là d
mp (A , d), hoặc mp (d, A ) hay (d, A) . α
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt 
nhau:
 Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b . a
Khi đó hai đường thẳng a và b xác định 
 b
một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay α
(a , b) , hoặc mp (b , a) hay (b, a).
 HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN
1. Khái niệm:
 Trong mặt phẳng cho đa giác lồi A1A2A3...An . Lấy một điểm S 
không thuộc mặt phẳng . Lần lượt nối điểm S với các đỉnh 
A1 ,A2 ,A3 ,...,An ta được n tam giác SA1A2 , SA2A3 ,..., SAnA1 . Hình gồm đa 
giác A1A2A3...An và n tam giác SA1A2 , SA2A3 ,..., SAnA1 được gọi là hình 
chóp, kí hiệu là S.A1A2A3...An . Ta gọi S là đỉnh của hình chóp, còn đa giác 
A1A2A3...An là mặt đáy của hình chóp, các tam giác SA1A2 , SA2A3 , , 
SAnA1 được gọi là các mặt bên của hình chóp, các đoạn thẳng 
SA1 , SA2 , SA3 ,..., SAn được gọi là các cạnh bên của hình chóp .
 Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,..., lần lượt là hình 
chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác , ....
 Cho bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác 
ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) 
và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. 
Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện . Hai 
cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện. Các tam 
giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện . Đỉnh không nằm 
trên mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó .
 Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều .
 A S
80
 B D A D
 C B
 Hình chóp tam giác ( tứ diện )
 C
 Hình chóp tứ giác S
 S
 A D
 A D
 B C
 Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang
 B C
 Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành
 BÀI TẬP GIẢI CHI TIẾT
 Có bốn dạng toán chính là: 
 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. 
 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 
 Tìm thiết diện của hình chóp. 
 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui ... 
 Ta lần lượt xét từng dạng một như sau:
DẠNG 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
 Phương pháp:
 Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả 
hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
 Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các 
bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời 
chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm 
của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
 Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt 
phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa 
thuộc mặt phẳng kia.
 Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay 
được sử dụng để tìm giao điểm để làm bài tập ở những câu sau. Ta xét cụ 
thể những bài toán sau:
 81 Câu 1: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với 
nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao 
tuyến của :
a). Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). 
b). Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD). 
c). Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). 
 LỜI GIẢI
 S
a) Nhìn hình ta dễ dàng thấy S là điểm 
chung thứ nhất , nối AC và BD lại chúng 
cắt nhau tại O, thì O là điểm chung thứ hai, 
AC và BD cắt nhau là vì chúng cùng thuộc 
mặt phẳng đáy (ABCD). Cách trình bày D
giao tuyến của (SAC) và (SBD) như sau: A F
 Ta có S SAC  SBD 1 O C
 Trong mp(ABCD) gọi O AC  BD . Vì B
 O AC,AC  SAC 
 O SAC  SBD 2 E
 O BD,BD  SBD 
 Từ (1) và (2) suy ra 
 SAC  SBD SO .
b) Câu b cũng tương tự (SAB) và (SCD) có điểm chung thứ nhất là S , điểm 
chung thứ hai là E , với E là giao điểm của AB và CD vì hai đường thẳng 
này cũng thuộc mặt phẳng (ABCD) và chúng không song song với nhau . 
Cách trình bày cũng như câu a) :
 Ta có S SAB  SCD 3 
 Trong mp(ABCD) gọi 
 E AB,AB  SAB 
 E AB  CD E SAB  SCD 4 
 E CD,CD  SCD 
 Từ (3) và (4) suy ra SAB  SCD SE
c) Câu này cũng vậy S là điểm chung thứ nhất , điểm chung thứ hai là giao 
điểm của AD và BC, vì hai đường thẳng này cũng thuộc mp(ABCD) và 
chúng không song song ,ta trình bày như sau:
 Ta có S SAD  SBC 5 
 AB,CD  ABCD Gọi 
 F AD,AD  SAD 
 F AD  BC F SAD  SBC 6 
 F BC,BC  SBC 
 Từ (5) (6) suy ra SAD  SBC SF .
82 Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, 
BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mp (IBC) và mp (JAD).
b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho M, N không là 
trung điểm. Tìm giao tuyến của mp (IBC) và mp (DMN).
 BÀI GIẢI
 A
a) Tìm giao tuyến của 2 mp (IBC) và mp (JAD).
 I IBC M
 Có I IBC  JAD 1 I
 I AD,AD  JAD 
 E
 J JAD 
 và J IBC  JAD 2 B D
 N F
 J BC,BC  IBC 
 Từ (1) và (2) : IBC  JAD IJ J
b) Tìm giao tuyến của mp (IBC) và mp (DMN).
 C
 Trong mp(ABD) gọi 
 E BI,BI  IBC 
 E BI  DM E  IBC  DMN 1 
 E DM,DM  DMN 
 Trong mp(ACD) gọi F CI DN 
 F CI,CI  IBC 
 F  IBC  DMN 2 
 F DN,DN  DMN 
 Từ (1) và (1) : IBC  DMN EF
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh 
AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao 
tuyến của :
a). Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD). 
b). Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ABD). 
c). Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ACD).
 LỜI GIẢI
 A
a) Mp (MNI) và mp (BCD). 
 Ta có I IMN  BCD 1 , 
 Trong mp(ABC) gọi H MN  BC H M
 N
 H MN,MN  IMN 
 B D
 H BC,BC  BCD E
 H IMN  BCD 2 I
 F
 C 83 Từ (1) và (2) suy ra IMN  BCD HI
b) Mp (MNI) và mp (ABD).
 Trong mp(BCD) gọi E và F lần lượt là giao điểm của HI với BD và CD .
 M MNI 
 Có M MNI  ABD (3) .
 M AB  ABD 
 E HI  MNI 
 Và E MNI  ABD (4) .
 E BD  ABD 
 Từ (3) và (4) suy ra MNI  ABD ME .
c) Mp (MNI) và mp (ACD).
 N MNI 
 Có N MNI  ACD (5) .
 N AC  ACD 
 F HI  MNI 
 Và F MNI  ACD (6) .
 F CD  ACD 
 Từ (5) và (6) suy ra MNI  ACD NF
 Câu 4: Cho tứ diện S.ABC . Lấy điểm E;F lần lượt trên đoạn SA,SB và 
 điểm G trọng tâm giác ABC . Tìm giao tuyến của:
 a) EFG và SBC . b) EFG và SGC . 
 LỜI GIẢI S
a) Có G (EFG) (ABC) (1).
 K
 Trong mp(SAB) gọi E F
 H EF  (EFG) H
 H EF  AB 
 H AB  (ABC) I
 A C
 H (EFG) (ABC) (2).
 Từ (1) và (2) suy ra L G
 (EFG) (ABC) HG . J
 B
 F (EFG)
b) Có F (EFG) (S BC) (3).
 F SB  (SBC)
 J HG  (EFG)
 Trong mp(ABC) gọi J HG  BC J (EFG) (S BC) 
 J BC  (S BC)
(4).
 Từ (3) và (4) suy ra (EFG) (S BC) JF .
c) Có G (EFG) (SGC) (5).
 Trong mp(ABC) gọi L CG  AB mp(SCL)  mp(SGC) .
84 K EF  (EFG)
 Trong mp(SAB) gọi K EF  SL K (EFG) (SGC) 
 K SL  (SGC)
(6).
 Từ (5) và (6) suy ra (EFG) (SGC) GK .
Câu 5: Cho tứ diện ABCD và điểm M AB; N CD . nằm trong tam giác 
BCD. Tìm giao tuyến của:
a) MCD và NAB . b) GMN và ACD .
 LỜI GIẢI
 I
 M (MCD)
a) Có M (MCD) (NAB) (1).
 M AB  (NAB)
 A
 N CD  (MCD)
 Có N (MCD) (NAB) (2).
 N (NAB) M
 Từ (1) và (2) suy ra (MCD) (NAB) MN .
 N CD  (ACD)
b) Có N (ACD) (GM N) (3). D
 N (GM N) B
 Trong mp(BCD) gọi H NG  BC H G N
 mp(HMN)  mp(GMN) .
 C
 I AC  (ACD)
 Trong mp(ABC) gọi I AC  HM 
 I HM  (GMN)
 I (ACD) (GMN) (4).
 Từ (3) và (4) suy ra (ACD) (GMN) NI .
 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD . Hai điểm G;H lần lượt là trọng tâm 
 SAB; SCD . Tìm giao tuyến của:
 a) SGH và ABCD . b) SGH và SAC .
 c) BGH và SAD . d) CGH và SBD .
 LỜI GIẢI
 S
a) Trong mp(SAB) gọi
 E SG  (SGH)
 E SG  AB 
 E AB  (ABCD)
 K N
 E (SGH) (ABCD) (1).
 Trong mp(SCD) gọi H
 D
 F SH  (SGH) G I
 F SH  CD A
 F CD  (ABCD)
 F
 M
 F (SGH) (ABCD) (2). O
 E
 C 85
 B Từ (1) và (2) suy ra
 (SGH) (ABCD) EF .
b) Có S (SGH) (SAC) (3).
 O AC  (SAC)
 Trong mp(ABCD) gọi O ACEF O (SAC)(SGH) 
 O EF  (SGH)
(4).
 Từ (3) và (4) suy ra (SAC) (SGH) SO .
c) Trong mp(SGH) gọi 
 I SO  (SAC)
I SO  GH I (SAC) (BGH) (5).
 I GH  (BGH)
 Trong mp(SAB) gọi 
 K SA  (SAC)
 K SA  BG K (SAC) (BGH) (6).
 K BG  (BGH)
 Từ (5) và (6) suy ra (SAC) (BGH) KI .
d) Có H (SCD) (BGH) (7)
 Trong mp(SAC) gọi 
 M SC  (SCD)
M SC  KI M (SCD) (BGH) (8).
 M KI  (BGH)
 Từ (7) và (8) suy ra (SCD) (BGH) MH .
 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AB song 
 song CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy M thuộc cạnh SC. Tìm 
 giao tuyến của :
 a). Mp (SAC) và mp (SBD). 
 b). Mp (SAD) và mp (SBC). 
 c). Mp (ADM) và mp (SBC).
 LỜI GIẢI
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng S
(SAC) và (SBD) . 
 có S SAC  SBD 1 
 Trong (ABCD) gọi H AC  BD 
 H AC  SAC 
 H SAC  SBD (2)
 H BD  SBD M
 A B
 Từ (1) và (2) suy ra
 H
86 D C
 I SAC  SBD SH .
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng 
(SAC) và (SBD) . 
 Ta có S SAD  SBC 3 
 Trong mp(ABCD) gọi 
 I AD  SAD 
 I ADBC I SAD  SBC 4 
 I BC  SBC 
 Từ (1) và (2) suy ra SAD  SBC SI .
c) Tìm giao tuyến mp (ADM) và mp (SBC).
 M ADM 
 M ADM  SBC 5 
 M SC,SC  SBC 
 I AD,AD  ADM 
 I ADM  SBC 6 
 I BC,BC  SBC 
 Từ (5) và (6) suy ra ADM  SBC MI
 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD . Hai điểm M;G lần lượt là trọng tâm
 SAD; SAD; N SG; P nằm trong tứ giác ABCD. Tìm giao tuyến của:
 a). MNP và ABCD . b). MNP và SAC . c). MNP và SCD .
 LỜI GIẢI
 Hướng dẫn:
a) Theo đề điểm P thuộc mp(ABCD) suy ra P là điểm chung thứ nhất của 
(MNP) và (ABCD). Ta phải đi tìm điểm chung thứ 2 như sau:
 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của S
AB và AD. Suy ra MN thuộc mp(SIJ), 
nên MN và IJ cắt nhau tại điểm K. Mà H
IJ lại thuộc mp(ABCD). Do đó K là N
điểm chung thứ 2. Q
b). Điểm chung thứ nhất là giao điểm O G
E của KP và AC (do KP là giao tuyến M
 A J D
của (MNP) và (ABCD) nên KP thuộc 
(ABCD) và KP cũng thuộc (MNP)). F P
 Điểm chung thứ 2 hơi khó tìm (đòi R
 I E
hỏi các bạn phải hình dung hình tốt). 
 K
Điểm này không có sẵn, ta phải tìm C
 B
một mặt phẳng chứa một đường thẳng 
thuộc (MNP). Sau đó tìm giao tuyến a 
của (SAC) với mp vừa chọn. Giao 
tuyến a cắt đường thẳng vừa chọn đó 
là điểm chung thứ 2. Cụ thể như sau:
 87