Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Bài 4: Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ 
 SONG SONG
 BÀI 4. MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nhận biết được hai mặt phẳng song song.
 + Nhận biết được hình lăng trụ, hình hộp và hình chóp cụt.
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.
 + Áp dụng tính chất song song vào bài toán tìm thiết diện của hai mặt phẳng.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm 
chung.
 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Với hai mặt phẳng phân biệt và có thể xảy ra một trong hai 
trường hợp sau:
 +   a; 
 + //  . 
Định lí 1. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b cắt 
nhau và cùng song song với mặt phẳng  thì song song 
với  . 
a  ,b  
a  b A  //  . 
a //  ,b //   
Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và 
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
 Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng 
 thì có duy nhất một mặt phẳng  chứa a và song song 
với . 
 Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với 
mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.
Định lí 3. Nếu hai mặt phẳng và  song song thì mọi 
mặt phẳng  đã cắt thì phải cắt  và các giao tuyến 
của chúng song song.
 //     b
   a a // b
 Hình lăng trụ và hình hộp.
Hình lăng trụ. Cho hai mặt phẳng và song song 
 Trang 2 nhau. Trên cho đa giác A1A2 ...An . Qua các đỉnh 
A1, A2 ,..., An vẽ các đường thẳng song song với nhau lần lượt 
cắt tại A1, A2 ,..., An . Khi đó hình hợp bởi n hình bình hành 
A1A2 A2 A1, A2 A3 A3 A2 ,..., An A1A1An và hai đa giác 
A1A2 ...An; A1A2 ...An gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu 
A1A2 ...An , A1A2 ...An . 
+ Mặt bên: là các hình bình hành A1A2 A2 A1; A2 A3 A3 A2;... 
+ Mặt đáy: là hai đa giác A1A2 ...An; A1A2 ...An 
+ Cạnh bên: là các đoạn A1A1; A2 A2;...; An An 
+ Cạnh đáy: là các cạnh của đa giác đáy.
+ Đỉnh: là các đỉnh của đa giác đáy.
Lưu ý:
+ Tùy theo đa giác đáy mà ta có tên gọi hình lăng trụ tương 
ứng.
+ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành thì được gọi là hình 
hộp.
+ Hình lăng trụ có đáy và các mặt bên là hình chữ nhật thì được 
gọi là hình hộp chữ nhật.
+ Hình lăng trụ có đáy và các mặt bên là hình vuông thì được 
gọi là hình lập phương.
 Hình chóp cụt
Cho hình chóp S.A1A2 ...An và mặt phẳng không qua S, 
song song với mặt đáy và cắt các cạnh SA1,SA2 ,...,SAn lần lượt 
tại A1, A2 ,..., An . Khi đó, hình hợp bởi đa giác 
A1A2 ...An , A1A2 ...An và các hình thang 
A1A2 A2 A1, A2 A3 A3 A2 ,..., An A1A1An được gọi là hình chóp cụt.
Ký hiệu: A1A2 ...An .A1A2 ...An . 
Trong đó:
+ Đáy lớn là đa giác A1A2 ...An . 
+ Đáy nhỏ là đa giác A1A2 ...An . 
+ Mặt bên là các hình thang A1A2 A2 A1, A2 A3 A3 A2 ,..., An A1A1An . 
 Trang 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
 Phương pháp giải Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là 
 trọng tâm của ABC, ACD, ABD. 
 Chứng minh rằng MNP // BCD . 
Sử dụng tính chất:
 Hướng dẫn giải
 a // Q 
 b // Q P // Q . 
 a,b  P ,a  b 
 P // Q 
Lưu ý: d // Q . 
 d  P 
 Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm AC, AD, AB.
 IM IN 1
 Xét IBD có nên MN // BD. 
 IB ID 3
 Trang 4 Suy ra MN // BCD . 
 IM IN 1
 Xét JBC có nên NP // BC. 
 IB ID 3
 Suy ra NP // BCD . 
 MN // BCD 
 Ta có NP // BCD 
 MN, NP  MNP , MN  NP N
 MNP // BCD . 
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, 
SB, SC.
a) Chứng minh MNP // ABCD . 
b) Gọi Q là giao điểm của MNP và SD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
a) Ta có MN // AB, AB  ABCD MN // ABCD . 
Tương tự NP // BC, BC  ABCD NP // ABCD . 
 MN // ABCD 
Ta có NP // ABCD MNP // ABCD . 
 MN, NP  MNP , MN  NP N
b) Ta có SD  SCD . 
Xét hai mặt phẳng MNP và SCD có P MNP  SCD 
 CD  SCD , MN  MNP 
Ta có MNP  SCD Px 
 MN // CD
sao cho Px // CD // MN. (vì MN // AB theo tính chất đường trung bình và CD // AB )
 Trang 5 Trong SCD gọi Px CD Q. Suy ra MNP CD Q. 
Ta có MNP  SCD PQ nên PQ // CD // MN suy ra Q là trung điểm của SD và 
 1 1
MN AB CD PQ. 
 2 2
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A B và AB. 
Chứng minh AMC // CNB . 
Hướng dẫn giải
Ta có MN // AA , AA // CC MN // CC và theo tính chất hình lăng trụ 
thì MN CC nên tứ giác MNCC là hình bình hành và CN // MC . 
 CN // MC 
 CN // AMC . 
 MC  AMC 
Mặt khác AN // B M, AN B M nên tứ giác ANB M là hình bình hành 
và NB // MA. 
 NB // MA
Ta có NB // AMC . 
 MA  AMC 
 CN // AMC 
 NB // AMC 
Lại có AMC // CNB . 
 CN, NB  CNB 
 CN  NB N
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A B C D , có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, DC, 
DD . Chứng minh rằng MNP song song với ACD . 
Hướng dẫn giải
Xét ADD có MP // AD , mà AD  ACD MP // ACD . 
Tương tự trong ACD có MN // AC, mà AC  ACD MN // ACD 
 MP // ACD 
 MN // ACD 
Ta có . 
 MN, MP  MNP 
 MN  MP M
Suy ra MNP // ACD . 
 Trang 6 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của các cạnh SA, SD.
a) Chứng minh rằng OMN song song với SBC . 
b) Gọi K là trung điểm OM. Chứng minh NK // SBC . 
Hướng dẫn giải
a) Ta có ON // SB,SB  SBC ON // SBC và 
OM // SC,SC  SBC OM // SBC . 
Lại có OM,ON  OMN . 
Suy ra OMN // SBC . 
 OMN // SBC 
b) Ta có NK // SBC . 
 NK  OMN 
Ví dụ 5. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC 
và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần 
lượt cắt AD và AF tại M và N . 
Chứng minh:
a) ADF // BCE . 
b) DEF // MM N N . 
Hướng dẫn giải
 AD // BC
a) Ta có AD // BCE . 
 BC  BCE 
 AF // BE
Tương tự AF // BCE . 
 BE  BCE 
 AD  ADF 
Mà ADF // BCE . 
 AF  ADF 
 Trang 7 b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC BF 1 . 
 AM AM
Ta có MM // CD ; 2 
 AD AC
 AN BN
 NN // AB . 3 
 AF BF
 AM AN 
Từ 1 , 2 và 3 ta được M N // DF 
 AD AF
 DF // MM N N . 
Lại có NN // AB NN // EF EF // MM N N . 
 DF // MM N N 
Vậy DEF // MM N N . 
 EF // MM N N 
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
 A. Nếu hai mặt phẳng P và Q song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng P 
đều song song với mặt phẳng Q . 
 B. Nếu hai mặt phẳng P và Q song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng P 
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng Q .
 C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt P và Q 
thì P và Q song song với nhau.
 D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song 
với mặt phẳng cho trước đó.
Câu 2: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
 A. vô số.B. 3.C. 2. D. 1.
Câu 3: Hãy chọn khẳng định sai.
 A. Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q 
song song với nhau.
 B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt 
phẳng kia.
 C. Nếu hai mặt phẳng P và Q song song nhau thì mặt phẳng R đã cắt P đều phải cắt Q và 
các giao tuyến của chúng song song nhau.
 D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây 
đúng?
 A. AD // BEF . B. AFD // BEC . C. ABD // EFC . D. EC // ABF . 
 Trang 8 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của 
SA, SB, SC, SD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. IJK // BCD . B. IKL // SA. C. IK  SBC . D. JL // SC. 
Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A B C có mặt bên là các hình chữ nhật. Gọi D là trung điểm của A B khi đó 
CB song song với
 A. AD . B. C D . C. AC . D. AC D . 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của SA và SD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. OM // SC. B. MN // SBC . C. OMN // SBC . D. ON CB . 
Dạng 2: Tìm thiết diện nhờ quan hệ song song
 Phương pháp giải Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 
- Khi //  thì sẽ song song với mọi là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. 
 Một mặt phẳng P song song với SBD và đi 
đường thẳng trong  và ta chuyển về dạng thiết 
 qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A 
diện song song với đường thẳng.
 hoặc C). Tìm thiết diện của P và hình chóp.
 //  
 Hướng dẫn giải
- Ta có    d   d // d, M d . 
 M   
- Tìm đường thẳng d nằm trong  và xét các mặt 
phẳng có trong hình chóp mà chứa d, khi đó // d 
nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d (nếu có) theo các 
giao tuyến song song với d.
 Gọi O AC  DB. 
 Do SO nằm trong SBD nên SO // . 
 Mặt phẳng SAC chứa SO và có điểm chung 
 với là I, do đó SAC  IK với 
 IK // SO và K SA. 
 Tương tự SAB  KE với KE // SB và 
 E AB. 
 SAD  KF với KF // SD và F AD. 
 Suy ra thiết diện của P với hình chóp S.ABCD 
 Trang 9 là tam giác KEF.
 EF AE AF AK KE KF
 Ta có 
 BD AB AD AS SB SD
 SBD đồng dạng với KEF. 
 Tam giác SBD là tam giác đều nên KEF cũng 
 là tam giác đều.
 Vậy thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là 
 tam giác đều.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC , AB C . 
Chứng minh IJK // BB C . 
Hướng dẫn giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC;CC ;B C . 
 AI AJ 2
Do I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC nên nên 
 AM AN 3
IJ // MN IJ // BCC B . 
Tương tự IK // BCC B IJK // BCC B . 
Hay IJK // BB C . 
Ví dụ 2. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A B C có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A và có 
 AB 1 S
 . Khi đó tỉ số diện tích ABC bằng bao nhiêu?
A B 2 S A B C 
Hướng dẫn giải
 Trang 10