Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ 
 SONG SONG
 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nhận biết được đường thẳng song song với mặt phẳng.
 + Nắm được phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
 ❖ Kĩ năng
 + Thành thạo các kỹ năng chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng trong 
 không gian
Đường thẳng d song song với mặt phẳng khi chúng 
không có điểm chung.
Đường thẳng d cắt mặt phẳng khi chúng có một điểm 
chung duy nhất.
Đường thẳng d được chứa trong mặt phẳng khi đường 
thẳng d và mặt phẳng có hai điểm chung trở lên.
 Tính chất
a) Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng thì 
d song song với . Khi và chỉ khi d song song với đường 
thẳng d nằm trong . 
b) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu 
mặt phẳng  chứa a và cắt theo giao tuyến b thì b 
song song với a.
 Trang 2 c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một 
đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song 
song với đường thẳng đó.
d) Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt 
phẳng chứa đường này và song song với đường thẳng kia.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 Trang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
 Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình 
Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt bình hành. Chứng minh AB // SCD . 
phẳng và song song với đường thẳng d nằm Hướng dẫn giải
trên mặt phẳng thì đường thẳng d song song 
với mặt phẳng . 
 Ta có AB // CD mà CD  SCD 
 AB // SCD .
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của CD, E là trung điểm của AM và F là trung điểm của 
BM.
a) Chứng minh rằng EF song song với các mặt phẳng ABC và ABD . 
b) Lấy điểm N trên cạnh AC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng NEF . Thiết diện là hình 
gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABM suy ra EF // AB. 
Do AB  ABC nên EF // ABC và AB  ABD nên EF // ABD . 
b) Kéo dài NE cắt AD tại P.
 Trang 4 Do EF // ABD nên kẻ Px // AB và cắt BD tại Q.
Kẻ QF cắt BC tại R.
Khi đó hình thang NPQR là thiết diện của mặt phẳng NEF với tứ diện ABCD.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 2MC. 
Chứng minh đường thẳng MG song song với mặt phẳng ACD . 
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AD.
 BG 2
Ta có G là trọng tâm ABD khi đó . 
 BI 3
 BM 2
Mặt khác, M BC và BM 2MC . 
 BC 3
 BG BM
Từ đó suy ra . 
 BI BC
Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra GM // CI. 
Mà CI  ACD nên GM // ACD . 
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC. Chứng 
minh đường thẳng OI song song với mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAD . 
Hướng dẫn giải
Ta có IO là đường trung bình của tam giác SAC suy ra IO // SA. 
Do SA  SAB và SA  SAD từ đó suy ra IO // SAB và 
IO // SAD . 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD.
a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng ACD . 
b) E là điểm nằm ở miền trong của tam giác ACD. Tìm giao điểm của đường thẳng BE và mặt phẳng 
 AMN . 
Hướng dẫn giải
a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD nên MN // CD. 
 Trang 5 CD  ACD 
 Ta có . Do đó MN // ACD . 
 MN  ACD 
b) Trong ACD gọi F AE CD. 
Ta có BE  ABF . 
Xét ABF và AMN , có A ABF  AMN . 
Trong BCD có I BF  MN.
 I ABF  AMN 
Suy ra AI ABF  AMN . 
Trong ABF gọi H BE  AI. Suy ra H BE  AMN . 
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ // BCD . 
Hướng dẫn giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
 AI AJ 2
Khi đó . 
 AM AN 3
Suy ra IJ // MN. 
Mà MN  BCD IJ // BCD . 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
a) Chứng minh: MN // SBC và MN // SAD . 
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng mình SB, SC đều song song với MNP . 
c) Gọi K, L lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và SBC.
Chứng minh KL // SAC . 
Hướng dẫn giải
a) Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MN là đường 
trung bình của hình bình hành ABCD nên MN // AD // BC. 
Từ đó suy ra MN // SAD và MN // SBC .
b) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Ta có PM là đường trung 
bình của tam giác SAB suy ra PM // SB nên SB // MNP . 
 Trang 6 Do MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD suy ra O MN. 
Xét tam giác SAC có P, O lần lượt là trung điểm của SA và AC nên PO là đường trung bình của tam giác 
SAC suy ra PO // SC. 
Từ đó suy ra SC // MNP do PO  MNP . 
c) Gọi I là trung điểm của BC.
 IK 1
Do K là trọng tâm của tam giác ABC . 
 IA 3
 IL 1
Tương tự L là trọng tâm của tam giác SBC . 
 IS 3
 IK IL
Từ đó ta có KL // SA nên KL // SAC . 
 IA IS
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
 A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 B. Nếu a // P thì tồn tại trong P đường thẳng b để b // a. 
 a // P 
 C. Nếu thì a // b. 
 b  P 
 D. Nếu a // P và đường thẳng b cắt mặt phẳng P thì hai đường thẳng a và b cắt nhau.
Câu 2: Cho mặt phẳng và đường thẳng d  . Khẳng định nào sau đây sai?
 A. Nếu d // thì trong tồn tại đường thẳng sao cho // d. 
 B. Nếu d // và b  thì b // d. 
 C. Nếu d  A và d  thì d và d hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
 D. Nếu d // c; c  thì d // .
Câu 3: Cho các mệnh đề:
1. a // b, b  P a // P . 
2. a // P , a  Q với  Q và Q  P b b // a. 
3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song 
song với đường thẳng đó.
4. Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau thì có vô số mặt phẳng chứa a và song song với b.
Số mệnh đề đúng là:
 A. 3.B. 1.C. 2. D. 4.
Câu 4: Cho hai đường thằng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? 
 Trang 7 A. 3.B. 1.C. 2. D. 4.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm 
 SAB; SCD. Khi đó MN song song với mặt phẳng
 A. SAC . B. SBD . C. SAB . D. ABCD . 
Câu 6: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ABD và M là điểm trên cạnh BC, sao cho BM 2MC. 
Đường thẳng MG song song với
 A. ABD . B. ABC . C. ACD . D. BCD . 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác 
SAB và SAD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
 A. IJ // SAD . B. IJ // ABD . C. IJ // SAB . D. IJ // SDB . 
Câu 8: Đường thẳng a // P nếu
 A. a // b và b // P . B. a  P a. 
 C. a  P b. D. a // b, b  P và a  P . 
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Xét vị trí tương đối của 
MN và mp BCD . Khẳng định nào đúng?
 A. MN song song với BCD . B. MN cắt BCD . 
 C. MN chứa trong BCD . D. Không xác định được vị trí tương đối.
Câu 10: Cho tứ diện ABCD, gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD. Mệnh đề nào sau 
đây sai?
 A. G1G2 // ABD . B. Ba đường thẳng BG1, AG2 và CD đồng quy.
 2
 C. G1G2 // ABC . D. G1G2 AB. 
 3
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Gọi P, Q lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh 
 SP SQ 1
SA và SB sao cho . Khẳng định nào sau đây đúng?
 SA SB 3
 A. PQ cắt ABCD . B. PQ  ABCD . 
 C. PQ // ABCD . D. PQ và CD chéo nhau.
Câu 12: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt 
là O và O . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
 A. OO // ABEF . B. OO // ADF .
 C. OO // BDF . D. OO // ABCD . 
 Trang 8 Dạng 2: Dựng thiết diện song song với một đường thẳng
 Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình 
Sử dụng định lí: hành ABCD, O là tâm hình bình hành ABCD. M là 
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng trung điểm của SB. Tìm thiết diện của mặt phẳng 
Nếu mặt phẳng chứa d và cắt theo giao tuyến thì với hình chóp S.ABCD nếu đi qua M; 
song song với d.
 song song với SD và CD.
 Hướng dẫn giải
 Ta có M và M SAB . 
 Mặt khác CD // suy ra  SAB Mx 
 trong đó Mx // CD và Mx  SA N. 
 Ta lại có MO là đường trung bình của tam giác 
 SBD nên MO // SD O . 
 Suy ra  ABCD Oy, Oy // CD và Oy cắt 
 AD và BC lần lượt tại P, Q.
 Vậy MNPQ là thiết diện của mặt phẳng với 
 hình chóp S.ABCD.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, CD, AD lấy các điểm M, Dựng thiết diện tạo bởi 
N, P lần lượt là trung điểm của chúng. MNP với tứ diện ABCD là 
Dựng thiết diện của ABCD với mặt 
 ta tìm các giao điểm của 
phẳng MNP . 
 MNP với tất cả các cạnh 
Hướng dẫn giải
 tứ diện đó.
Ta có MN là đường trung bình của tam 
giác BCD nên MN // BD. 
 Trang 9 Do P AD nên MNP  ABD Px sao cho Px // BD và 
Px  AB Q. 
Khi đó thiết diện của mặt phẳng MNP với tứ diện ABCD là tứ giác 
MNPQ.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng AMN . 
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng AMN . 
Hướng dẫn giải
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAD và SBC . 
Kéo dài BC cắt AD tại I. Khi đó I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng SAD và SBC . 
Suy ra SI là giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . 
b) Trong mặt phẳng SBC kéo dài MN cắt SI tại E.
Gọi F là giao điểm của AE và SD
Ta có F SD và F AE mà AE  AMN nên F SD  AMN 
c) Ta có MN // BC nên BC // AMN 
Thiết diện AMN với hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNF.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các 
cạnh CB và CD, M là điểm bất kì trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MHK . 
Hướng dẫn giải
Ta có HK là đường trung bình của tam giác BCD nên HK // BD.
 Trang 10