Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 2 - Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau (Có đáp án)

 BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nhận biết được hai đường thẳng song song với nhau
 + Trình bày được tính chất về mối quan hệ giữa giao tuyến của hai mặt phẳng và quan hệ song 
 song
 ❖ Kĩ năng
 + Chứng minh được hai đường thẳng song song với nhau
 + Biết cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng dựa vào quan hệ song song 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không 
gian
Hai đường thẳng a và b cắt nhau khi chúng có một 
điểm chung.
 a  b M
Lưu ý: Hai đường thẳng cắt nhau sẽ cùng nằm trên 
một mặt phẳng
Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi chúng có vô 
số điểm chung
 a  b
Hai đường thẳng a và b song song với nhau khi 
chúng cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm 
chung.
 a, b  
 a // b 
 a  b Ø
Hai đường thẳng a và b chéo nhau khi chúng không 
cùng một mặt phẳng
2. Tính chất
a) Trong không gian, qua một điểm không nằm trên 
đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường 
thẳng song song với đường thẳng đã cho.
 Cho M a a đi qua M và a ' // a
 Trang 2 b) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao 
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy 
hoặc đôi một song song với nhau.
   a
 a // b // c
   c 
 a  b  c M
   b
c) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai 
đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng 
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó 
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
 d1  d // d // d
 1 2
 d   d d // d
 2 1 2
 d  d // d
 d   2 1
d) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
 a // b
 a // c
 b // c
 Trang 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 a  b M a, b  
 a // b 
 a  b Ø
 Cắt nhau Song song
 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
 Trùng nhau Chéo nhau
 a  b Hai đường thẳng không nằm ở cùng 
 mặt phẳng
 Tính chất
Ba mặt phẳng giao nhau Quan hệ song song giữa các đường thẳng
   a
 d1  d // d // d a // b
 a // b // c 1 2 a // c
   c 
 d2   d1 d // d2 b // c
 a  b  c M 
   b d  d // d
 d   2 1
 Trang 4 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng sử dụng quan hệ song snog
 Phương pháp giải
Tìm giao tuyến của mặt phẳng và  Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình 
 hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và 
 (SCD)
 Hướng dẫn giải
- Xác định giao điểm chung của hai mặt phẳng.
   S
 SAB  SCD S
- Tìm hai đường thẳng song song với nhau thuộc 
 Ta có AB  SAB , CD  SCD 
hai đường thẳng đó 
 AB // CD
 a  , b   
 Suy ra SAB  SCD Sx với Sx // AB // CD
 a // b
Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi 
qua S và song song với a (hoặc b).
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD), đáy lớn AB. Cho M là điểm 
bất kì thuộc cạnh SC. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:
a) SAB  SCD 
b) SCD  MAB 
Hướng dẫn giải
 Trang 5 a) Ta có SAB  SCD S , mà AB // CD
Suy ra SAB  SCD Sx , trong đó Sx // AB // CD
b) Do M SC nên SCD  MAB M , mặt khác AB // CD
 SCD  MAB My , trong đó My // AB // CD
Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC. Gọi G, I lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và SAB. Tìm giao tuyến 
của mặt phẳng (AIG) và mặt phẳng (SAC)
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AB.
 MI 1
Do I là trọng tâm của tam giác SAB suy ra .
 MS 3
 MG 1
Tương tự ta có 
 MC 3
 MI MG
Suy ra GI // SC
 MS MB
Từ đó ta có SAC  AIG Ax , trong đó Ax // SC // GI
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD)
b) Gọi M là trung điểm BC, đường thẳng d qua M và song song SD.
Tìm giao điểm của d và mặt phẳng (SAB)
Hướng dẫn giải
 Trang 6 S SAB  SCD 
a) Ta có AB  SAB ; CD  SCD 
 AB // CD
 SAB  SCD Sx , trong đó Sx // AB // CD
Trong (ABCD) gọi O AC  BD , suy ra O SAC  SBD 1 
Lại có S SAC  SBD 2 
Từ (1) và (2), suy ra SO SAC  SBD 
b) Vì d qua M và song song SD nên d  SDM 
Lại có S SDM  SAB 
Trong (ABCD) có I AB  DM suy ra I SDM  SAB 
Khi đó SDM  SAB SI
Trong (SDM) có N SI  d suy ra N d  SAB 
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Tìm giao tuyến của hai 
mặt phẳng (ABD) và (MNP)
Hướng dẫn giải
 Trang 7 Ta có M AB nên M ABD  MNP 
Xét ∆BCD, có NP là đường trung bình => NP // BD
Từ đó suy ra ABD  MNP Mx , trong đó Mx // NP // BD
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD 
và BC, G là trọng tâm tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là
 A. SCB. đường thẳng qua S và song song với AB
 C. đường thẳng qua G và song song với CDD. đường thẳng qua G và cắt BC
Câu 2: Cho tứ diện ABCD, gọi I;,J và K lần lượt là trung điểm của AB, BC và BD. Giao tuyến của hai 
mặt phẳng (ABD) và (IJK) là
 A. KDB. KI
 C. đường thẳng đi qua K và song song với ABD. không có
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình thang (AB // CD). Giao tuyến của hai mặt phẳng 
(SAB) và (SCO) là
 A. đường thẳng qua S và song song với AB và CD
 B. đường thẳng qua S và song song với AD và BC
 C. đường thẳng qua S và giao điểm của AD và CD
 D. đường thẳng qua S và giao điểm của AC và BD
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB 
và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với
 A. ADB. BJC. BI D. IJ
Câu 5: Cho tứ diện ABCD, gọi M AB (M không trùng với A, B). N và K lần lượt là trung điểm BC, 
CD. Giao tuyến của (ABD) và (MNK) là
 A. MNB. MD
 C. MCD. Mx song song với BD và NK
Câu 6: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. E là điểm trên cạnh CD với 
ED 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là
 A. tam giác MNE
 B. tứ giác MNEFvớ\ F là điểm bất kì trên cạnh BD
 Trang 8 C. hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF song song với BC
 D. hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF song song với BC. 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song
 Phương pháp giải
Một số cách chứng minh Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm 
a) Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng của AB, BC và P là điểm nằm trên cạnh CD. Gọi Q 
và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng là giao điểm của DA với mặt phẳng (MNP). Chứng 
song song trong hình học phẳng. minh PQ // MN và PQ // AC
b) Chứng minh chúng cùng song song với đường Hướng dẫn giải
thẳng thứ ba.
c) Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt 
chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của 
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng 
ấy.
d) Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
 Ta có CD  MNP P và MN // AC
 Suy ra MNP  ACD Px
 Trong đó Px // MN // AC
 Mặt khác DA  MNP Q nên Q Px
 Vậy PQ // MN // AC
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD AB CD . Gọi M, 
N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a) Chứng minh MN // CD
b) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB // CD
Hướng dẫn giải
 Trang 9 a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB suy ra MN // AB. Mà AB // CD nên MN // CD
b) Gọi O AC  BD, G SO  DN và P AG  SC
suy ra P SC  ADN .
Ta có AB // CD nên SAB  SCD Sx sao cho Sx // AB // CD
Theo đầu bài I AN  DP nên I SAB và I SCD I Sx
Từ đó ta có SI // AB // CD
Chú ý: Ta thấy I AN  DP , nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) . Để chứng minh 
SI // AB // CD ta sử dụng phương pháp chứng minh giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng 
song song và giao tuyến đó sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q ỉà các điểm lần lượt trên 
BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD
a) Chứng minh PQ // SA
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK // SD // BC
Hướng dẫn giải
 SN BM
a) Ta có MN // BS áp dụng định lý Ta-lét ta được 
 SC BC
 Trang 10