Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Phần 3: Phép biến hình (Có lời giải)

 Bài 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) ĐỊNH NGHĨA
 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành 
hình kia.
II) TÍNH CHẤT
 Nếu hình H1 bằng hình H2 và hình H2 bằng hình H3 thì hình H1 bằng hình 
H3
Câu 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng d : 2x y 3 0 . Hãy tìm 
  
ảnh của d qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v 1; 2 và 
phép đối xứng tâm I 2; 1 .
 LỜI GIẢI
  
 Qua phép tịnh tiến theo vec tơ v 1; 2 điểm M x; y d biến thành điểm 
 x' x 1
M' x'; y' sao cho (I)
 y' y 2
 Qua phép đối xứng tâm I 2; 1 điểm M' x'; y' biến thành điểm 
 x'' 2x x' x'' 4 x'
M'' x''; y'' , do đó có I (II)
 y'' 2yI y' y'' 2 y'
 x'' 3 x x 3 x''
 Từ (I) và (II) có 
 y'' 4 y y 4 y''
 Do M x; y d 2x y 3 0 2 3 x'' 4 y'' 3 0 2x'' y'' 5 0 
 Kết luận ảnh của d cần tìm có phương trình 2x y 5 0 .
 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm I 3; 2 và A 4; 5 
 a). Tìm ảnh của điểm A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực 
 hiện liên tiếp phép vị tự tâm I tỉ số 3 và phép tịnh tiến theo vectơ 
  
 u 2; 4 
 b). Tìm ảnh của đường thẳng d : 3x 4y 12 0 qua phép đồng dạng có được 
 bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q và phép tịnh tiến theo vectơ 
 O;900 
  
 v 2; 4 .
 LỜI GIẢI
a) Gọi A 1 là ảnh của A qua phép vị tự tâm I 3; 2 , tỉ số 3. Ta có:
54   
 x1 x1 3 xA x1 x1 3 3 4 3 x 6
 IA 3IA 1 
 1 y 19
 y1 y1 3 yA y1 y1 2 3 5 2 1
  
 Gọi A’ là ảnh của A 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u . Ta có
 x' x 2 6 2 8
 1 
 y' y1 4 19 4 15.
 Vậy A' 8;15 cũng là ảnh của A qua phép đồng dạng có được bằng cách 
thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I, tỉ số 3 và phép tịnh tiến theo vectơ 
 
u 2; 4 .
b) Ta có đường thẳng d đi qua các điểm M 4;0 và N 0; 3 .
 Qua phép quay Q 0 thì M có ảnh là M 0; 4 và N có ảnh là N 3;0 . 
 O;90 1 1
  
Qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2; 4 thì M 1 có ảnh là M' 2;0 và N 1 có 
ảnh là N' 1; 4 .
  
 Ta có đường thẳng d’ qua M’ và có vectơ chỉ phương là M'N' 3; 4 
nên 
 x 2 y
 d' : d' : 4x 3y 8 0 
 3 4
 Vậy qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép 
  
quay Q 0 và phép tịnh tiến theo vectơ v 2; 4 thì đường thẳng d có ảnh 
 O;90 
là d' : 4x 3y 8 0 
Câu 3: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hình thang A' B'C' D' 
vuông tại A’ và D’. Chứng minh rằng hai hình thang ấy bằng nhau nếu 
AB A' B',BC B'C' và CD C' D' .
 LỜI GIẢI
 Nếu AB CD thì kết quả là hiển nhiên.
 A' D'
 Giả sử AB CD. Kẻ A B
 BH  CD,B'H'  C' D' 
 Ta có 
 B' H'
CH CD AB C' D' A' B' C'H' .
 C
 Từ đó, suy ra hai tam giác vuông BHC D H
và B’H’C’ bằng nhau. Gọi F là phép dời 
hình biến tam giác BHC thành tam giác C'
B’H’C’, thì dễ thấy rằng F biến A thành 
A’ và biến D thành D’. Do đó F biến hình 
 55 thang ABCD thành hình thang A’B’C’D’. 
Vậy hai hình thang đó bằng nhau.
Câu 4: Chứng minh rằng hai tam giác vuông bằng nhau nếu co các cạnh 
huyền bằng nhau và đường cao ứng với cạnh huyền bằng nhau. 
 LỜI GIẢI
 A'
 B'
 A
 M'
 H'
 B
 C H M C'
 Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại các đỉnh A, A’. Có BC B'C' 
và hai đường cao AH, A’H’ bằng nhau. Gọi AM, A’M’ là các đường trung 
tuyến thì AM A'M' và do đó hai tam giác vuông AHM và A’H’M’ bằng 
nhau. Gọi F là phép dời hình biến tam giác AHM thành tam giác A’H’M’ 
thì dễ thấy rằng F biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng B’C’ ( hoặc thành 
đoạn thẳng C’B’). Vậy hai tam giác đã cho bằng nhau.
 Câu 5: Chứng minh rằng nếu ba trung tuyến của tam giác ABC lần lượt 
 bằng ba trung tuyến của tam giác A’B’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau.
 LỜI GIẢI
 A A'
 P N P' N'
 G G'
 B M C B' M' C'
 D D'
 Giả sử tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G; tam 
giác A’B’C’ có ba trung tuyến A’M’, B’N’, C’P’cắt nhau tại G’ và 
AM A'M',BN B'N',CP C'P'. 
 Ta lấy điểm D và D’ sao cho BGCD và B’G’C’D’ là những hình bình 
hành. Dễ thấy rằng hai tam giác GCD và G’C’D’ bằng nhau. Bởi vậy, có 
một phép dời hình F biến G, C, D lần lượt thành các điểm G’, C’, D’. Rõ 
ràng khi đó F biến A thành A’, B thành B’ nên hai tam giác ABC và A’B’C’ 
bằng nhau.
Câu 6: Cho hình thang vuông ABCD như hình vẽ, trong đó 
 1
AB AD DC . Gọi E, I, O, P, H lần lượt là trung điểm của CD, BC, AE, 
 2
BO, IC. Sử dụng phép dời hình chứng minh rằng hai tam giác ABP và 
ECH bằng nhau.
56 A B
 P
 I
 O
 H
 C
 D E
 LỜI GIẢI
 B
 Gọi Q trung điểm của DO. A
 P
 Có E Đ O(A) và E = ĐBE (E) I
 O
 Có D ĐO (B) và C = ĐBE (D) Q H
 Có Q = ĐO (P) và H = ĐBE (Q) C
 D E
 Suy ra phép dời hình được thực hiện liên tiếp bởi hai phép 
biến hình là phép đối xứng tâm O và phép đối xứng trục BE. 
Từ đó suy ra ABP ECH .
 Câu 7: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi 
 M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, P là điểm đối xứng của N qua 
 C. Dùng phép dời hình chứng minh AFM COP 
 A M B
 N
 F O C
 P
 E D
 LỜI GIẢI A M B
 Có Q (F) A và T (A) O 
 O; 600 OD N
  
 Có Q (A) B và T (B) C F O C
 O; 600 OD
 Có Q (M) N và T (N) P P
 O; 600 OD
 E D
 Suy ra phép dời hình được thực hiện liên tiếp bởi hai phép biến hình là 
  
phép quay tâm O góc quay 600 và phép tịnh tiến theo véctơ OD . Từ đó 
suy ra FAM OCP .
 ---------------------------------------------
 57 BÀI 7: PHÉP VỊ TỰ
A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) ĐỊNH NGHĨA
 Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, k 0 . Phép biến hình 
   
biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho OM' kOM được gọi là phép vị 
tự tâm O tỉ số k và kí hiệu là (O được gọi là tâm vị tự).
 V O,k 
 Nhận xét:
 Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
 Phép vị tự tỉ số k 1 chính là phép đồng nhất.
 Phép vị tự tâm I tỉ số k 1 chính là phép đối xứng qua tâm I.
 M' V I;k M M V 1 M' 
 I; 
 k 
II) CÁC TÍNH CHẤT
1) Định lí 1: Nếu phép vị tự tâm I tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt 
   
thành hai điểm M’ và N’ thì M'N' kMN và M'N' k MN .
2) Định lí 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng 
và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
 Từ các định lí trên ta có các hệ quả sau:
3) Hệ quả
 Phép vị tự tỉ số k:
 a) Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song 
với đường thẳng đã ch.
 b) Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.
 c) Biến tia thành tia.
 d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k .
 e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k .
 f) Biến góc bằng góc ban đầu.
 Chú ý:
 Qua phép đường thẳng d biến thành chính nó khi và chỉ khi đường 
 V O;k 
thẳng d qua tâm vị tự O.
III) ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP VỊ TỰ
 Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến một đường tròn có bán kính R thành 
đường tròn có bán kính k R .
 Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn I;R thành đường 
 R' R'   
tròn I';R' thì k k và OI' OI .
 R R
58 IV) TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
 Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này 
thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai 
đường tròn.
 Nếu tỉ số vị tự k 0 thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tỉ số vị tự 
k 0 thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự trong.
 Hai đường tròn có bán kính bằng nhau và khác tâm thì chỉ có một tâm vị 
tự trong, đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm.
 Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và một 
tâm vị tự trong.
 Đường tròn (C) biến thành chính nó khi và chỉ khi đường tròn (C) có tâm 
là tâm vị tự và tỉ số vị tự k 1 .
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1: Tìm tọa độ hay phương trình của ảnh qua phép vị tự 
tâm I a; b tỉ số k.
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
 Gọi M x; y là điểm thuộc một đường nào đó.
 Gọi M' x'; y' là ảnh của M qua phép vị tự tâm I, tỉ số k. Ta có:
   x' a k x a x' k x a a
 IM' kIM (I)
 y' b k y b y' k y b b
 Từ (I) ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M.
 Từ đó ta cũng tìm được phương trình ảnh của một đường nào đó.
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d : 3x 2y 6 0 . Hãy 
viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép 
vị tự tâm I 1; 2 tỉ số vị tự k 2 ?
 LỜI GIẢI
 Gọi M(x; y) d 3x 2y 6 0 (1).
 Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số k 2 :
 x' 1 x' 3
   x 1 
 x' 1 2 x 1 2 2
 IM' 2IM . 
 y' 2 2 y 2 y' 2 y' 6
 y 2 
 2 2
 x' 3 y' 6 
 Do đó 1 3 2 6 0 3x' 2y' 9 0 
 2 2 
 M' d' : 3x' 2y' 9 0
 Do vậy ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự là d' : 3x 2y 9 0
 59 2 2
 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): x 3 y 1 9 . 
 Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua 
 phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k 2 .
 LỜI GIẢI
 Đường tròn (C ) có tâm K 3; 1 bán kính R 3 . Gọi K'(x'; y') là tâm và 
R’ là bán kính của (C’), với (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số 
k 2 . Ta có tọa độ của K’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :
   x' 1 2 x 1 x' 1 2 3 1 x' 3
 IK' 2IK 
 y' 2 2 y 2 y' 2 2 1 2 y' 8 K' 3;8 
 R' 2 R
 R' 6
 R' 2R R' 2.3 6 
 2 2
 Vậy (C’) : x 3 y 6 36
 Câu 3: Cho ba điểm A 0; 3 ,B 2; 1 ,C 1; 5 . Tồn tại hay không tồn tại 
 một phép vị tự tâm A tỉ số k để biến B thành C?
 LỜI GIẢI
 Giả sử tồn tại một phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C.
 1
   k 
 1 k.2 2 1
 Có C V (B) AC kAB k (đúng). Kết 
 A;k 2 k.( 4) 1 2
 k 
 2
 1
luận tồn tại phép vị tự tâm A tỉ số k để biến B thành C.
 2
 Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho hai Parabol có phương trình y ax2 và 
 y bx2 a b . Chứng minh rằng có một phép vị tự biến Parabol này 
 thành Parabol kia.
 LỜI GIẢI
 Trong mặt phẳng Oxy, phép vị tự biến điểm thành điểm 
 V O;k M x; y 
M' kx; ky .
 2 2
 Gọi P1 là Parabol y ax và P2 là Parabol y bx .
 b
 Ta chứng minh V : P P với hệ số tỉ lệ k .
 O;k 1 2 a
 2
 Thật vậy, nếu M x; y P1 thì x1 ; y1 x1 ;ax1 nên ảnh M’ có tọa độ: 
 2
 a a a a 
 x ; ax2 x ; b ax x ; bx2 P (đpcm).
 1 1 1 1 2 2 2 
 b b b b 
60 Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A 2;1 và B 8; 4 . Tìm tọa độ 
tâm vị tự của hai đường tròn A; 2 và B; 4 .
 LỜI GIẢI
 Hai đường tròn đã cho không đồng tâm và có bán kính lần lượt 
 R'
R 2, R' 4 , nên có hai phép vị tự tỉ số k 2 biến đường tròn A; 2 
 R
thành đường tròn B; 4 . Gọi I x; y là tâm vị tự, ta có 
   8 x 2 2 x x 4; y 2
 IB 2IA .
 4 y 2 1 y x 4; y 2
 Vậy tâm vị tự ngoài là I 4; 2 và tâm vị tự trong là I' 4; 2 .
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một phép biến hình T biến điểm 
 x' 3x 4
M x; y thành M' x'; y' xác định bởi biểu thức tọa độ sau đây: 
 y' 3y 2
a) Chứng minh T là một phép vị tự.
 2
b) Tìm ảnh (C’) của đường tròn C : x2 y 1 1 qua phép biến hình T.
 LỜI GIẢI
 Gọi I là điểm biến hình chính nó qua phép biến hình đã cho. Ta có 
 x' x
 nên 
 y' y
 x 3x 4 x 2
 y 3y 4 y 1
 Vậy điểm I 2;1 biến thành chính nó là tâm vị tự.
   
 Ta có IM x 2; y 1 ;IM' x' 2; y' 1 3x 6; 3y 3 3 x 2; y 1 
   
 IM' 3IM . Vậy T là phép vị tự tâm I 2;1 tỉ số k 3 .
 1
 x x' 4 
 x' 3x 4 3 2 2
b) Từ , thay vào C : x y 1 1 ta được:
 y' 3y 2 1
 y y 2 
 3
 2
 1 2 1 1 2 2
 x' 4 y' 1 x' 4 y' 1 9 
 9 3 3 
 2 2
 Vậy phương trình C' : x 4 y 1 9 .
 61 DẠNG 2: Tìm quỹ tích:
 Câu 7: Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một 
 đường tròn (O; R). Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
 LỜI GIẢI A
 Gọi I trung điểm của BC, do BC cố định nên I cố định.
 Vì G là trọng tâm O
  1  
 ABC IG IA G V 1 (A) . Vì A di động 
 3 I; G
 3 
trên đường tròn tâm O bán kính R suy ra tập O'
hợp điểm G nằm trên đường tròn tâm O’ bán 
 B I C
 R
kính bằng với O' V 1 (O) .
 3 I; 
 3 
 Câu 2: Cho đường tròn O và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một 
đường thẳng thay đổi đi qua P, cắt O tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích 
    
điểm M sao cho PM PA PB .
 LỜI GIẢI
   
  PA PB B
 Gọi I là trung điểm của AB thì PI , 
     2
bởi vậy PM PA PB 2PI M
 Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k 2 thì V biến I
điểm I thành điểm M.
 P O'
 O
 Vì I là trung điểm của AB nên OI  AB . Suy 
ra quỹ tích của điểm I là đường tròn  đường (T)
 A (T')
kính PO. Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn 
 ' ảnh của  qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O’ 
   
sao cho PO' 2PO thì ' là đường tròn đường 
kính PO’.
DẠNG 3: DỰNG HÌNH
 PHƯƠNG PHÁP: 
 Để dựng điểm M, ta có thể xem M như là ảnh của một điểm đã biết qua 
một phép vị tự, hoặc xem M như là giao của một đường cố định với ảnh của 
một đường đã biết qua một phép vị tự.
62 Câu 1: Cho tam giác ABC có hai góc B và C nhọn. Dựng hình chữ nhật 
DEFG có EF 2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt 
nằm trên AC, AB.
 LỜI GIẢI
 A
 Giả sử đã dựng được hình chữ nhật DEFG 
thỏa mãn điều kiện đề bài (hình 1). Khi đó từ G F
một điểm G’ tùy ý trên đoạn thẳng AB ta 
dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có 
E'F' 2D'E' , hai đỉnh D’, E’ nằm trên BC. G' F'
Ta có:
 B C
 BG GD 2GF GF D' E' D E
 . Do đó B, F’, F 
 BG' G' D' 2G'F' G'F' Hình 1
thẳng hàng.
 Từ đó có thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh của hình chữ nhật 
D’E’F’G’ theo phép vị tự tâm B tỉ số BG . Từ đó ta có cách dựng:
 BG'
 Lấy điểm G’ tùy ý trên cạnh AB
 Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E'F' 2D'E' hai đỉnh D’, E’ nằm trên 
BC.
 Đường thẳng BF’ cắt cạnh AC tại F. Đường thẳng qua F song song với 
BC cắt 
 cạnh AB tại G. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của F, G trên 
đường 
 thẳng BC.
 Ta sẽ chứng minh DEFG là hình chữ nhật cần dựng:
 GF BG GD
 Thật vậy, vì GF PG'F', GD PG' D' nên . Từ đó suy ra 
 G'F' BG' G' D'
 GD G'D'
 2 . Do đó hình chữ nhật DEFG là hình cần dựng.
 GF G'F'
Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hãy dựng hình vuông MNPQ, 
sao cho M, N lần lượt nằm trên cạnh AB, AC và P, Q nằm trên cạnh BC.
 LỜI GIẢI A
 Giả sử đã dựng được hình vuông MNPQ thỏa N
mãn yêu cầu đề bài Xét phép vị tự tâm A tỉ số M
 AB
k .
 AM C
 B Q P
 Qua phép vị tự tâm A tỉ số k thì các điểm M, N, 
P, Q lần lượt biến thành B, C, P’, Q’ (hình 2). Ta có:
 MN AM MQ
 MQ PBQ' , mà
 BC AB BQ'
 63
 P'
 Q' Hình 2