Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Phần 2: Phép biến hình (Có lời giải)

 BÀI 4: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) ĐỊNH NGHĨA 
 Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I 
thành điểm M’ sao cho I trug điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng 
tâm I.
 Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu Đ I
 Từ định nghĩa ta suy ra:
   
1) ĐM ' I M IM' . TừIM đó suy ra:
 Nếu M  I thì M'  I
 Nếu M I thì ĐM ' I M là trungI điểm của MM’.
2) Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình 
H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I x 0 ; y0 , gọi M x; y và M' x'; y' là ảnh 
 x' 2x x
của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó: 0 
 y' 2y0 y
III) CÁC TÍNH CHẤT
 Phép đối xứng tâm
1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng 
đã cho.
3) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1: Xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đối xứng tâm I.
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I x 0 ; y0 , gọi M x; y và M' x'; y' là ảnh 
 x' 2x x
của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó: 0 
 y' 2y0 y
 Từ đó tìm được tọa độ của ảnh M.
 Từ đó ta suy ra được phương trình ảnh của một đường.
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 1; 3) và đường thẳng d có phương 
trình :x 2y 3 0 . Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O .
 33 LỜI GIẢI
 - Gọi A' x'; y' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O 0;0 . Theo công thức 
tọa độ của phép đối xứng ta có: 
 x' 2x x x x' x' 1
 O A' 1; 3 
 y' 2yO y y y' y' 3
 - Gọi M x; y là một điểm bất kỳ thuộc d và M' x'; y' là ảnh của M qua phép 
đối xứng tâm O. Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có : 
 x' 2x x x x'
 O . 
 y' 2yO y y y'
 M d x 2y 3 0 x' 2 y' 3 0 x' 2y' 3 0
 M d' : x' 2y' 3 0 
 Do đó ảnh của d là d’ có phương trình là : x 2y 3 0 .
 Câu 2: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâmI 1; 2 của:
 a). Điểm A 3; 4 .
 b). Đường tròn C : x2 y2 2x 6y 6 0 
 LỜI GIẢI
 x' 2 x
 / / / với .
 ĐI : M x; y M x ; y 
 y' 4 y
a) A 3; 4 biến thànhA/ 1;8 .
b) Đường tròn C tâm J 1; 3 và bán kính R 4 
 Gọi J' ĐI J J' 3;1 
 Gọi C' ĐI C C' có tâm J' 3;1 và bán kính R' R 4 . Do đó (C’) có 
 2 2
phương trình: x 3 y 1 4 
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và 
 d' : x 2y 8 0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành 
chính nó .
 LỜI GIẢI
 Gọi I a; b là tâm đối xứng cần tìm.
 Gọi M x; y d x 2y 2 0 x 2y 2 (1)
 x' 2a x
 Gọi M' x'; y' ĐI M 
 y' 2b y
34 Ngoài ra có M' x'; y' d' x' 2y' 8 0 2a x 2 2b y 8 0 
 x 2y 2a 4b 8 0 (2).
 Thay (1) vào (2) được: a 2b 3 
 - Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải thuộc trục Ox b 0 
 a 2b 3 a 3
 - Từ hai kết quả trên ta có : I 3;0 .
 b 0 b 0
 Kết luận tâm đối xứng cần tìm là I 3;0 
Câu 4: Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm I x0 ; y0 phép đối xứng tâm 
 / /
 ĐI biến đường thẳng thành đường thẳng . Viết phương trình của .
 LỜI GIẢI
 Cho M x; y và M/ x/ ; y/ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm với tâm
 / / / /
 I x0 ; y0 thì x x 2x0 ; y y 2y0 nên x 2x0 x ; y 2y0 y . Thế vào 
phương trình thành:
 / /
 a 2x0 x b 2y0 y c 0
 Hay:/ / 
 ax by c 2 ax0 by0 c 0
 Vậy / 
 : ax by c 2 ax0 by0 c 0.
 Câu 5: Cho đường thẳng d : x 2y 2 0 và d/ : x 2y 8 0 Tìm phép đối 
 xứng tâm biến d thànhd/ và biến trục Oy thành chính nó.
 LỜI GIẢI
 Giao của d,d/ với trục Oy là A 0;1 ,A/ 0; 4 
 Theo giả thiết d thành d/ và biến trục Oy thành chính nó thì A biến thành A/ 
 / 3 
nên tâm đối xứng I là trung điểm của AA làI 0; .
 2 
DẠNG 2: Dùng phép đối xứng tâm để giải một số bài toán hình học.
 Câu 1: Qua phép đối xứng tâm ĐO , những điểm nào biến thành chính nó, 
 những đường thẳng nào biến thành chính nó? Những đường tròn nào biến thành 
 chính nó?
 LỜI GIẢI
 Điểm O biến thành chính nó. Mọi đường thẳng đi qua O đều biến thành chính 
nó. Mọi đường tròn có tâm O đều biến thành chính nó.
 /
Câu 2: giả sử phép đối xứng tâm ĐObiến đường thẳng d thành đường thẳng d . 
Chứng minh:
 35 a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d/ song song với d, O cách đều d và d/ .
b) Hai đường thẳng d vàd/ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O.
 LỜI GIẢI
a) Hạ OH  d , vì d không đi qua O nên H không trùng với O. Phép đối xứng tâm
 / /
 ĐO biến H thànhH thì O là trung điểm của HH và biến đường thẳng d thành 
đường thẳng d/ vuông góc với OH/ tại H/ . Suy ra d vàd/ song song, cách đều 
điểm O.
b) Nếu d không đi qua O thì theo câu a), d/ Pd nên d/ không trùng d. Nếu d đi qua 
O thì mọi điểm M d biến thành điểm M/ d . Vậy d/ trùng với d.
 Câu 3: Cho phép đối xứng tâmĐO và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu 
 / /
 cách dựng ảnh d của đường thẳng d quaĐO . Tìm cách dựng d mà chỉ sử dụng 
 compa một lần và thước thẳng ba lần.
 LỜI GIẢI
 A B d
 Dựng đường tròn O;R sao cho nó cắt d tại hai 
điểm phân biệt A, B. Dựng các đường thẳng AO và O
 d'
BO, chúng cắt đường tròn đó lần lượt tại A/ vàB/ . B' A'
 Dựng đường thẳng d/ đi quaA/ và B/ . Phép 
dựng trên đây chỉ sử dụng compa một lần và thước 
thẳng ba lần.
 Câu 4: Tìm tâm đối xứng của các hình sau đây; tam giác đều, hình bình hành, 
 lục giác đều, đường tròn, hình gồm hai đường tròn bằng nhau.
 LỜI GIẢI
 - Tam giác đều không có tam đối xứng
 - Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
 - Lục giác đều có một tâm đối xứng là tâm của chúng.
 - Đường tròn có một tâm đối xứng là tâm của chúng.
 - Hình gồm hai đường tròn bằng nhau có một tâm đối xứng là trung điểm của 
đoạn thẳng nối hai tâm.
Câu 5: Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì đó là hình bình hành.
 LỜI GIẢI
 Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I. Đỉnh A chỉ có A
thể biến thành A,B,C hay D. D
 I
36
 B C - Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A là tâm đối xứng 
của tứ giác: vô lí.
 - Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc các cạnh AB hoặc AD của 
tứ giác: vô lí
 Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.
 Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D. Khi đó tâm đối xứng I là 
trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành.
 Câu 6: Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc 
 với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.
 LỜI GIẢI d
 Giả sử hình H có hai trục đối xứng d và d/ vuông 
 M M1
góc với nhau tại O. Lấy M là điểm bất kì thuộc hình I
 /
 H ,MI là điểm đối xứng M qua d. M là điểm đối 
 d'
 / /
xứng với MI qua d vì d và d đều là trục đối xứng của O J
 /
hình H nên MI và M đều thuộc H .
 / M'
 Gọi I, J là trung điểm của MMI ,MIM ta có:
         
 OM OI IM M/ J JO M/ O OM OM/ 0 đpcm.
 Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
 trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA. Hạ MM/ ,NN/ ,PP/ ,QQ/ lần lượt 
 vuông góc với CD, DA, AB, BC.
 a). Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Phép đối xứng tâm Đ Ibiến các đường 
 thẳng MM/ ,NN/ ,PP/ ,QQ/ thành những đường thẳng nào?
 b). Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM/ ,NN/ ,PP/ ,QQ/ đồng quy tại một điểm. 
 Nhận xét gì về vị trí điểm đồng quy và hai điểm I,O?.
 LỜI GIẢI A B
 Vì MNPQ là hình bình hành nên I là trung điểm MP và NQ. M
 Phép đối xứng tâm Đ biến điểm M thành điểm P, biến Q O
 I I N
đường thẳng MM/ thành đường thẳng đi qua P và song song 
 D
với MM/ , tức là vuông góc với DC M'P
 C
 Do đó đường thẳng MM/ được biến thành đường thẳng PO. Hoàn toàn tương 
tự; đường thẳng NN/ biến thành đường thẳng QO, đường thẳng PP / biến thành 
đường thẳng MO, đường thẳng QQ/ biến thành đường thẳng NO.
b) Vì bốn đường thẳng MO,NO,PO,QO đồng quy tại O nên bốn đường thẳng 
 MM/ ,NN/ ,PP/ ,QQ/ đồng quy tại O/ đối xứng với tâm O qua I.
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD và đường tròn C bàng tiếp của tam giác 
ABD, tiếp xúc với phần kéo dài của AB Và AD tương ứng tại các điểm M và N. 
 37 Đoạn thẳng MN cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P và Q. Chứng minh rằng 
đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với các cạnh BC và DC tại P và Q.
 LỜI GIẢI
 Gọi K là tiếp điểm của vớiC BD; làV A N' D N
 K
 Q
đường tròn nội tiếp tam giác ABD, tiếp xúc với I
 M' H
 / / C
AB tại Mvới AD tại vàN BD tại H; gọi I là B P
trung điểm BD. Từ MM/ NN/ và 
 (C)
 MM/ BH BK,NN/ DK DH suy ra
 M
 BH DK ta có phép đối xứng qua ĐI :
 B D,H K .
 Tam giác AMN cân tại A và vìDQ PAM nên tam giác DQN cân tại D suy ra 
 / /
 DQ DN DK BH BM . Do đó, Q là ảnh của M trong phépĐI , phép ĐI :
 V V/ đi qua ba điểm K,Q,P. Vì M/ ,N/ ,H là các điểm chung duy nhất của 
 V với AB,AD và BC do đó K,Q,P cũng là điểm chung duy nhất của V/ với 
BD, CD, CB suy ra đpcm.
 Câu 9: Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn O;R và một điểm A thay 
 đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực 
 tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.
 LỜI GIẢI
 Vẽ đường kính AM của đường tròn thì cóBH PMC và A
 CH PMB nên BHCM Là hình bình hành. Nếu gọi I là trung 
điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của MH. H O
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H. Khi A chạy 
 B I C
trên đường tròn O;R thì M chạy trên đường tròn O;R . O'
 M
Do đó H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn 
 O;R qua phép đối xứng với tâm I.
 Câu 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và một điểm M thay 
 đổi trên O . Gọi M1 là điểm đối xứng M qua A, M2 là điểm đối xứng M1 qua B, 
 M3 là điểm đối xứng M2 qua C. Chứng minh phép biến hình F biến điểm M thành
 M3 là một phép đối xứng tâm. Suy ra quỹ tích điểm.M3
38 LỜI GIẢI I M3
 A M
 M
 Gọi I là trung điểm của MM3 , ta có: 1
  1   1   1   
 CI CM CM CM M C M M BA
 2 3 2 2 2 2
 O
 như vậy điểm I cố định,do đó phép biến hình F 
 C
biến điểm M thành M3 là phép đối xứng qua B
điểm I.Vì M thay đổi trên O nên quỹ tích điểm 
 /
 M3 là đường tròn O , ảnh của đường tròn 
 O qua phép đối xứng tâm với tâm I. M2
Câu 11: Cho đường tròn O và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên
 O , M không trùng A,B. Hai đường tròn O1 , O2 qua M theo thứ tự tiếp xúc với 
AB tại A và B. Tìm quỹ tích các điểm N là giao điểm thứ hai của O1 và O2 
 LỜI GIẢI
 Gọi I là giao điểm của MN và AB, ta có: M
 IA2 IM.IN IB2 IA IB I là trung điểm của 
 O1 O2
AB cố định. O
 Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với O ta có: N
 I B
 IA2 IA.IB IM.IP IN IP nên I là trung điểm của A
 P
PN, do đó phép đối xứng tâm I biến P thành N. Vì quỹ 
 O'
tích N là đường tròn O/ là ảnh của O qua phép đối 
xứng tâm I, bỏ đi hai điểm A và B.
Câu 12: Cho đường tròn O;R , đường thẳng và điểm I. Tìm điểm A trên 
 O;R và điểm B trên sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 LỜI GIẢI '
 Giả sử có điểm A trên đường tròn và điểm B 
 O;R A
 I B
trên sao cho I là trung điểm AB, phép đối xứng tâm O
 ĐI biến B thành A nên biến đường thằng thành 
đường thẳng / đi qua A.
 Mặt khác A lại nằm trên O;R nên A phải là giao điểm của / và O;R suy ra 
 /
cách dựng đường thẳng là ảnh của qua phép đối xứng tâm Đ1 . Lấy A là giao 
điểm của / và O;R , còn B là giao điểm của đường thẳng AI và đường thẳng. 
 Số nghiệm hình là số giao điểm của / và O;R .
 39 Câu 13: Cho 5 điểm P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5 dựng một hình ngũ giác ABCDE sao cho 
 trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE và EA lần lượt là P1 ,P2 ,P3 ,P4 ,P5 .
 LỜI GIẢI
 Giả sử đã dựng ngũ giác ABCDE theo yêu cầu. Lấy một điểm A/ tùy ý, và gọi 
 / / / / /
 B là điểm đối xứng của A qua P1 , C là điểm đối xứng của B qua P 2, D là 
 / / / / /
điểm đối xứng của C qua P3 , E là điểm đối xứng của D qua P4 và A là điểm 
 /
đối xứng của E qua P5 .
       
 / / / /
 Khi đó AA P1A P1A P1B P1B BB 
         
 Tương tự BB/ CC/ ;CC/ DD/ ; DD/ EE/ ;EE/ AA/ 
   
 Do đó AA/ AA/ / nên A là trung điểm AA/ / . Từ đó suy ra cách dựng: Lấy 
một điểm Abất/ kì, rồi dựng các điểm như Btrên./ ,C/ ,CuốiD/ ,E /cùng,A/ / dựng 
trung điểm A của đoạn thẳng AA/ / thì A là một đỉnh của ngũ giác cần tìm. Các đỉnh 
còn lại dựng dễ dàng.
 Bài toán có một nghiệm hình duy nhất. Thật vậy nếu có hai ngũ giác ABCDE 
vàA/ B/ C/ D/ E/ cùng thỏa mãn điều kiện của bài toán thì lập luận như trên ta có 
    
 AA/ AA/ nên AA/ 0 tức làA trùng với A/ và B,C,D,E trùng với B/ ,C/ ,D/ ,E/ .
 BÀI 5: PHÉP QUAY
A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) ĐỊNH NGHĨA
 Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến 
mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM' OM và góc lượng giác 
 OM;OM' bằng được gọi là phép quay tâm O góc quay .
 Điểm O được gọi là tâm quay, được gọi là góc quay.
 Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là .
 Q O; 
 Nhận xét:
 Phép quay tâm O góc quay 2k 1 ,k ¢ , chính là phép đối xứng tâm O.
Phép quay tâm O góc quay 2k ,k ¢ , chính là phép đồng nhất.
II) TÍNH CHẤT
 Phép quay
1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
2) Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
40 3) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
4) Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho.
5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
 Chú ý: 
 O
 Giả sử phép quay tâm I góc quay biến 
đường thẳng d thành đường thẳng d’ (hình 2). α
Khi đó:
 d
 Nếu 0 thì góc giữa d và d’ bằng . d'
 2
 I α
 Nếu thì góc giữa d và d’ bằng 
 2
 . hình 2
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép quay
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dùng định nghĩa phép quay.
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x 3y 2 0 và đường tròn 
 (C) : x2 y2 4x 4y 1 0 .
a). Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép Q 0 .
 (O;90 )
b). Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép Q 0 .
 (O;90 )
 LỜI GIẢI
 y
a) Vì d' Q 0 d d'  d phương trình d’ có 
 O;90 
 +
dạng: 3x 2y m 0 
 K(-2;2) I(2;2)
 Chọn M 1;0 d . Gọi
 M(-1;0)
 O
 M' Q M M' 0; 1 x
 O;900 
 + M'(0;-1)
 Vì M d M' 0; 1 d' 3.0 2.( 1) m 0 m 2 
 Vậy d' : 3x 2y 2 0 .
b) Đường tròn (C) có tâm I 2; 2 bán kính R 22 22 1 3 
 Cách 1:
 OK OI OK OI
 Gọi K x; y Q 0 I 
 O;90 · 0 2 2 2
 IOK 90 OK OI KI
 2 2 2 2
 x y 8 x y 8
 2 2 2 2 2 2 2 2
 x y 8 x 2 y 2 x y 8 x 2 y 2 
 41 x2 y2 8 y 2
 K 2; 2  K 2; 2 
 x y x 2
 Do góc quay bằng 900 có nghĩa quay theo chiều dương nên K 2; 2 
 Gọi C' Q 0 C C' có tâm K 2; 2 và bán kính R' R 3 . Nên: 
 O;90 
 2 2
 C' : x 2 y 2 9 .
Cách 2: 
 x' xcos y sin a
 Gọi K x'; y' Q 0 I 
 O;90 y' xsin y cos b
 x' 2cos900 2sin 900 0 x' 2
 K 2; 2
 0 0 
 y' 2sin 90 2cos90 0 y' 2
 2 2
 Từ đó suy ra C' : x 2 y 2 9 .
 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2; 2 , đường thẳng d : 2x y 2 0 
 2 2
 và đường tròn (C): x 1 y 1 4 . Tìm ảnh của M, d, (C) qua:
 a) Phép quay tâm O góc quay 450 .
 b) Phép quay tâm I 1; 2 góc quay 450 .
 LỜI GIẢI
a) Tìm ảnh của M
 y
 OM' OM (1)
 Gọi M' x'; y' Q 0 M 
 O;45 · 0 M'
 MOM' 45 (2)
 M(2;2)
 2
 Giải (1): x'2 y'2 8 x' y' 2x' y' 8 (1’) K'
 A' K
 Giải (2): MM'2 OM2 OM'2 2OMOM'cos 450 
 O A(1;0) x
 2 2 2
 x' 2 y' 2 x'2 y'2 8 2. 8. x'2 y'2 .
 2
 x' y' x'2 y'2 x' y' 2 2 thay vào (1’) được x' y' 0 
 X 0
 Suy ra x’, y’ là nghiệm của phương trình X2 2 2X 0 
 X 2 2
 x' 0 x' 2 2
  
 y' 2 2 y' 0
 Do góc quay bằng 450 có nghĩa quay theo chiều dương nên M' 0; 2 2 
42