Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Phần 1: Phép biến hình (Có lời giải)

 Chương 1: 
 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG 
 MẶT PHẲNG
 Bài 1:PHÉP BIẾN HÌNH
A) TÓM TẮT KIẾN THỨC
I) ĐỊNH NGHĨA:
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác 
định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt 
phẳng.
 Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F M M' hay M' F M , 
khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.
 Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập 
các điểm 
 M' F M , với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành 
hình H’, hay hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
 Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể 
chứng minh: Với điểm M tùy ý
 M H M' F M H’
 Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi 
là phép đồng nhất.
II) PHÉP DỜI HÌNH
1) ĐỊNH NGHĨA:
 Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa 
hai điểm bất kì.
 M M'
 F: thì M'N' = MN
 N N'
2) CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
 a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay 
đổi thứ tự ba điểm đó.
 b) Biến đường thẳng thành đường thẳng.
 c) Biến tia thành tia.
 d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
 e) Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
 3 f) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn 
ban đầu.
 g) Biến góc thành góc bằng góc ban đầu.
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:
 A) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(y;-x).
 B) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(2x;y).
 Trong 2 phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình?
 BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN
A) TÓM TẮT KIẾN THỨC
I) ĐỊNH NGHĨA
  
 Trong mặt phẳng cho véctơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành 
    
điểm M’ sao cho MM' v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
 v
 M M'
  
 Phép tịnh tiến theo vec tơ thường được kí hiệu T .
 v v
   
 Như vậy M' T M MM' v .
 v 
 Nhận xét. Phép tịnh tiến theo vec tơ – không chính là phép đồng nhất.
II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN:
  
 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x; y , v a; b . Gọi 
M' x'; y' T M .
 v 
 x' x a
 Khi đó 
 y' y b
III) TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
 Phép tịnh tiến
 1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
 2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với 
đường thẳng đã cho.
 3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
 4) Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho.
4 5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
 DẠNG 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 
 Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
  
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v (2,1) , đểm M( 3; 2) Tìm tọa 
độ điểm A sao cho:
A) A T (M) B) M T (A) .
 v v
 LỜI GIẢI
 x x a x 3 2 5
 A) A T (M) A M A A 5; 3 
 v 
 yA yM b yA 2 1 3
 x x a x 3 2 1
 B) M T (A) M A A A 1;1 .
 v 
 yM yA b yA 2 1 1
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x 3y 12 0 . Tìm ảnh 
  
của d qua phép tịnh tiến v 4; 3 .
 LỜI GIẢI
Cách 1:
 Gọi M x; y d 2x 3y 12 0 (1)
 x' x 4 x x' 4
 Gọi là ảnh của qua T , nên có 
 M' x'; y' M x; y v 
 y' y 3 y y' 3
 Do đó 1 2 x' 4 3 y' 3 12 0 
 2x' 3y' 5 0
 M' d' : 2x' 3y' 5 0
 Vậy T d d' : 2x 3y 5 0 .
 v 
Cách 2:
 Chọn . Gọi là ảnh của M qua T , nên có 
 M 3; 2 d M' x'; y' v
 x' x 4 x' 3 4 1
 M' 1; 1 
 y' y 3 y' 2 3 1
 Gọi T d d' d' Pd nên d’ có dạng 2x 3y m 0 .
 v 
 Vì M' 1; 1 d' 2.1 3.( 1) m 0 m 5 . 
 5 Vậy d' : 2x 3y 5 0 .
Cách 3:
 Chọn M 3; 2 d và N 0; 4 d 
 x' x 4 x' 3 4 1
 Gọi M' x'; y' T M M' 1; 1 .
 v y' y 3 y' 2 3 1
 x' x 4 x' 0 4 4
 Gọi N' x'; y' T N N' 4;1 .
 v y' y 3 y' 4 3 1
  
 Gọi T d d' M',N' d' nên d’ có vec tơ chỉ phương M'N' 3;2 
 v 
  
 nd' 2; 3 , phương trình d' : 2 x 4 3 y 1 0 2x 3y 5 0 .
  
 Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, xét phép tịnh tiến T với v 3; 2 . Tìm ảnh 
 v 
 2 2
 của đường tròn qua T .
 C : x 4 y 3 6 v
 LỜI GIẢI
 Cách 1:
 2 2
 Gọi M x; y C x 4 y 3 6 (1)
 x' x 3 x x' 3
 Gọi là ảnh của qua T , nên có 
 M' x'; y' M x; y v 
 y' y 2 y y' 2
 2 2
 Do đó 1 x' 3 4 y' 2 3 6 
 2 2
 x' 7 y' 1 6
 2 2
 M' C' : x' 7 y' 1 6 .
 2 2
 Vậy T C C' : x 7 y 1 6 .
 v 
Cách 2:
 Đường tròn (C) có tâm I 4; 3 và bán kính R 6 
 x' x a x' 4 3 7
 Gọi I' x'; y' T I I' 7; 1 
 v y' y b y' 3 2 1
 Gọi C' T C đường tròn (C’) có tâm I' 7; 1 và bán kính 
 v 
R' R 6
 2 2
 Do đó (C’) có phương trình: x 7 y 1 6 .
6 2 2
 Câu 4: Cho một phép tịnh tiến biến đường tròn C : x m y 2 5 
 thành đường tròn C' : x2 y2 2 m 2 y 6x 12 m2 0 . Hãy xác định 
 phép tịnh tiến đó.
 LỜI GIẢI
 Đường tròn (C) có tâm I m; 2 bán kính R 5 .
 1
 Đường tròn (C’) có tâm I' 3; m 2 bán kính R' 1 4m với m .
 4
 Do C' T C R' R 5 1 4m 5 1 4m m 1.
 v 
   
 Vậy phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) có vec tơ tịnh tiến u II' 2;1 
 Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hàm số y x2 3x 5 có đồ thị là (C), 
 tịnh tiến (C) qua phải hai đơn vị, rồi tịnh tiến xuống dưới một đơn vị. 
 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến này.
 LỜI GIẢI
 Tịnh tiến (C) qua phải hai đơn vị, rồi tịnh tiến xuống dưới một đơn vị đối 
  
với hệ trục Oxy, ta xác định được vec tơ tịnh tiến là v 2; 1 .
 Gọi M x; y C y x2 3x 5 (1)
 x' x 2 x x' 2
 Gọi là ảnh của qua T , nên có 
 M' x'; y' M x; y v 
 y' y 1 y y' 1
 2
 Do đó 1 y' 1 x' 2 3 x' 2 5 y' x'2 7x' 14 
 M' C' : y x'2 7x' 14 .
 Vậy T C C' : y x2 7x 14 .
 v 
  
 Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho v ( 2;1) , đường thẳng d có phương 
 trình 2x 3y 3 0 , đường thẳng d1 có phương trình 2x 3y 5 0 .
 A) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua T .
 v
  
 B) Tìm tọa độ của u có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d 
 qua T .
 u
 LỜI GIẢI
 7 A) Có d' T (d)
 v
 x x a x x 2
 Gọi M' T (M) M' M M M' 
 v 
 yM' yM b yM yM' 1
 Nếu M d M' d' 
M d 2xM 3yM 3 0 2 xM' 2 3 yM' 1 3 0 2xM' 3yM' 10 0 
 Phương trình đường thẳng d' : 2x 3y 10 0 
  
B) Gọi u a; b 
      
 Vì u có giá vuông góc với đường thẳng d u  ud u.ud 0 3a 2b 0 
(1)
 xM xM a
 Có d T (d) . Gọi M T (M) 1 
 1 u 1 u y y b
 M1 M
 Nếu M d M1 d1 
 M d 2xM 3yM 3 0 2xM 3yM 3 .
 M d 2x 3y 5 0 2 x a 3 y b 5 0
 1 1 M1 M1 M M 
 2xM 3yM 2a 3b 5 0 3 2a 3b 5 0 2a 3b 8 (2)
 16
 a 
 3a 2b 0 13 16 24 
 Từ (1) và (2) có hệ u ; .
 2a 3b 8 24 13 13
 b 
 13
Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d:3x y 9 0 .Tìm phép 
tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường 
thẳng d’ đi qua góc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.
 LỜI GIẢI
   
 Gọi u a; b là véctơ tịnh tiến cần tìm. Do u cùng phương với Ox nên 
 
u Pi 1;0 b 0
 Có d' T (d) d' Pd d' : 3x y m 0 . Do . 
 u O(0;0) d' m 0
 Vậy d' : 3x y 0
 x x a
 Có d' T (d) . Gọi M' T (M) M' M 
 u u 
 yM' yM b
 Nếu M d M' d' 
8 M d 3xM yM 9 0 3xM yM 9 .
 M' d' 3xM' yM' 0 3 xM a yM b 0
 3xM yM 3a b 0 9 3a b 0 3a b 9 , do b 0 a 3 
  
 Vậy u 3;0 . 
 Bài tương tự:
 Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x y 9 0 . Tìm phép tịnh 
  
 tiến theo véctơ v có giá song song với trục Oy biến d thành d’ đi qua 
 điểm A 1;1 . 
 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 
 (C):x2 y2 2x 4y 4 0 .Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ 
  
 v ( 2; 5) .
 LỜI GIẢI
 Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 bán kính R 12 ( 2)2 4 3 .
 Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’) là ảnh của (C) 
  
qua phép tịnh tiến v 
 x x a x 1 2 1
 Có I' T (I) I' I I' I' 1;1 , và R' R 3 
 V 
 yI' yI b yI' 2 3 1
 2 2
 Phương trình đường tròn C' : x 1 y 1 32 .
 Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vec tơ 
  
 v ( 1;2),A(3;5),B( 1;1) ,đường thẳng d có phương trình x 2y 3 0 , 
 đường tròn (C):(x 2)2 (y 3)2 25 .
 A) Tìm tọa độ các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến 
  
 vectơ v
  
 B) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến v .
 c). Tìm phương trình đường thẳng d’, đường tròn (C’) lần lượt là ảnh của 
  
 d, (C) qua phép tịnh tiến v . 
 LỜI GIẢI
 x x a x 3 1 2
A) A' T A A' A A' A' 2;7 .
 v 
 yA' yA b yA' 5 2 7
 9 x x a x 1 1 2
 B' T B B' B B' B' 2; 3 .
 v 
 yB' yB b yB' 1 2 3
 x x a x 3 1 4
B) A T C A C C C 4; 3 .
 v 
 yA yC b yC 5 2 3
C) Có d' T (d)
 v
 x x a x x 1
 Gọi M' T (M) M' M M M' 
 v 
 yM' yM b yM yM' 2
 Nếu M d M' d' 
 M d xM 2yM 3 0 xM' 1 2 yM' 2 3 0 xM' 2yM' 8 0 
 Phương trình đường thẳng d' : x 2y 8 0 
 Đường tròn (C) có tâm I 2; 3 bán kính R 5 .
 Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’) là ảnh của (C) 
  
qua phép tịnh tiến v 
 x x a x 2 1 1
 Có I' T (I) I' I I' I' 1; 1 , và R' R 5 
 v 
 yI' yI b yI' 3 2 1
 2 2
 Phương trình đường tròn C' : x 1 y 1 52 .
 Câu 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 3x 5y 3 0 và 
   
 d' : 3x 5y 24 0 . Tìm tọa độ vec tơ v , biết v 13 và T d d' .
 v 
 LỜI GIẢI
  
 Gọi v a; b 
  
 Theo đề v 13 a2 b2 13 a2 b2 13 (I)
 Gọi M x; y d 3x 5y 3 0 3x 5y 3 (1)
 x' x a
 Gọi M' x'; y' T M . 
 v y' y b
 Ngoài ra M' x'; y' d 3x' 5y' 24 0 
 3 x a 5 y b 24 0 3x 5y 3a 5b 24 0 (2)
10 5b 21
 Thay (1) vào (2) được: 3 3a 5b 24 0 a , thay vào (I)
 3
 2 54 29
 5b 21 2 2 b a 
 b 13 34b 210b 324 0 17 17 
 3 
 b 3 a 2
  
   29 54 
 Kết luận có hai vec tơ v cần tìm là: v ; hoặc v 2; 3 .
 17 17 
 Câu 11: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một 
 phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
 LỜI GIẢI
 a b
 B
 A
  
 Lấy A a và B b , khi đó phép tịnh tiến vec tơ AB biến a thành b.
 Vì có vê số cách chọn A a và B b , nên có vô số phép tịnh tiến biến a 
thành b.
 x2 y2
 Câu 12: Tìm phương trình ảnh của đường elip (E): 1 qua phép 
 9 4
  
 tịnh tiến theo vectơ u ( 3,4)
 LỜI GIẢI
 x2 y2
 M(x; y) (E) 1 (1)
 9 4
 x' x 3 x x' 3
 M'(x'; y') là ảnh của M qua T 
 u 
 y' y 4 y y' 4
 (x' 3)2 (y' 4)2
 Do đó (1) 1
 9 4
 (x 3)2 (y 4)2
 Vậy ảnh của (E) qua T là (E'): 1
 u 9 4
 11 Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A 2; 4 ; B 1;1 , và hai 
 đường thẳng d; d’ lần lượt có phương trình: 2x y 1 0; 3x y 9 0 .
 A) Viết phương trình đương thẳng d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến véc tơ 
  
 BA .
 B) Tìm tọa độ điểm M d, M' d' để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.
 LỜI GIẢI
  
 A) Có BA 1; 5 .
  
 Gọi M' x'; y' là ảnh của điểm M x; y d qua phép tịnh tiến véc tơ BA . 
 x' x 1 x x' 1
Khi đó có: I 
 y' y 5 y y' 5
 Ta có M x; y d 2x y 1 0 2(x' 1) (y' 5) 1 0 2x' y' 6 0
 M' thuộc đường thẳng d1 có phương trình: 2x y 6 0 .
  
 Vậy ảnh của d qua phép tịnh tiến BA có phương trình d1 : 2x y 6 0 .
 B)
 Để ABMM’ là hình bình hành A B
   
 BA MM' M' là ảnh của M qua phép tịnh 
  
tiến BA . Do đó M’ là giao điểm của d’ và d1 , 
 M' M
tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ:
 3x y 9 0 x 3
 M' 3;0 .
 2x y 6 0 y 0
 x 2
 Thay tọa độ điểm M vào hệ (I) được M 2; 5 .
 y 5
 Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy với ,a,b là những số cho trước, xét 
 phép biến hinh F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) trong đó: 
 x' xcos y sin a
 y' xsin y cos b
 A) Cho 2 điểm M(x1;y1), N(x2;y2) và gọi M’, N’ lần lượt là ảnh của M, N 
 qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M’, N’.
 B) Tính khoảng cách d giữa M và N, khoảng cách d’ giữa M’ và N’.
12