Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Bài 5: Phép đồng dạng (Có đáp án)

 BÀI 5: PHÉP ĐỒNG DẠNG
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu được định nghĩa phép đồng dạng và tỉ số đồng dạng, khái niệm hai hình đồng dạng.
 + Hiểu được tính chất cơ bản của phép đồng dạng và các ứng dụng trong thực tế.
 + Nắm được mối liên hệ giữa phép đồng dạng với các phép biến hình đã học.
 ❖ Kĩ năng
 + Tìm ảnh của một điểm, một hình qua phép đồng dạng.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số Nhận xét.
k k 0 nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, + Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
N’ tương ứng của chúng, ta có M'N ' kMN . + Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
 Định lí + Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và 
Mọi phép đồng dạng tỉ số k k 0 đều là hợp phép đồng dạng tỉ số p, ta được phép đồng dạng tỉ 
 số kp.
thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời 
hình.
 Tính chất Chú ý.
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng + Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC 
hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó. thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, 
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường 
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ tròn nội tiếp của ABC thành trọng tâm, trực tâm, 
dài được nhân lên với k (k là tỉ số đồng dạng). tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp 
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số của A' B'C' .
k. + Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác 
+ Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.
bán kính R' kR .
+ Biến góc thành góc bằng nó.
 Hai hình đồng dạng Hai tam giác đồng dạng với nhau khi và chỉ khi có 
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam 
một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. giác kia.
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
Phép đồng dạng gồm:
+ Phép vị tự.
+ Phép dời hình:
 • Phép tịnh tiến.
 • Phép đối xứng tâm.
 • Phép đối xứng trục.
 Trang 2 • Phép quay.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm, một hình qua phép đồng dạng.
 Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y 2 0 . Viết phương trình 
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm 
 1
I 1; 1 , tỉ số k và phép quay tâm O góc.
 2
Hướng dẫn giải
 1
Gọi d là ảnh của d qua phép vị tự tâm I 1; 1 , tỉ số k .
 1 2
Vì d1 song song hoặc trùng với d nên phương trình của d1 có dạng: x y c 0
Lấy M 1;1 thuộc d thì ảnh của nó qua phép vị tự nói trên là M' x';y' d1
 1 1 
 x' .1 1 . 1 
 x' kx 1 k x0 2 2 x' 0
Ta có: M'  O.
 y' 0
 y' ky 1 k y0 1 1 
 y' .1 1 . 1 
 2 2 
Vậy phương trình của d1 : x y 0 .
Ảnh của d1 qua phép quay tâm O góc 45 là đường thẳng Oy.
Vậy phương trình của d’ là x 0 .
 2 2
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình x 2 y 2 4 . Phép 
 1
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép vị tự tâm O tỉ số k và phép quay tâm O 
 2
góc 90 sẽ biến C thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?
 2 2 2 2
 A. x 2 y 2 1 B. x 1 y 1 1
 2 2 2 2
 C. x 2 y 1 1 D. x 1 y 1 1
Hướng dẫn giải
Đường tròn C có tâm I 2;2 , bán kính R 2
Suy ra phép vị V 1 tự biến C thành C' tâm I ' 1;1 , bán kinh R' 1
 O; 
 2 
Phép quay Q O;90 biến C' thành C'' có tâm I '' 1;1 , bán kính R'' R' 1
 Trang 3 2 2
Vậy phương trình đường tròn C'' là x 1 y 1 1.
Chọn D.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 A. Phép dời hình là một phép đồng dạng.B. Phép vị tự là một phép đồng dạng.
 C. Phép quay là một phép đồng dạng.D. Phép đồng dạng là phép dời hình.
Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 A. Phép vị tự là phép đồng dạng.B. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
 C. Phép dời hình là phép vị tự.D. Phép quay là phép dời hình.
Câu 3: Phép vị tự tỉ số k 2 là phép đồng dạng tỉ số bằng bao nhiêu?
 A. 1.B. 1 C. 2.D. 2
Câu 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A 4;3 . Ảnh của A có được bằng cách thực hiện liên tiếp qua phép 
vị tự tâm O tỉ số 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v 3;2 là:
 A. 1;5 B. 8;5 C. 5;8 D. 8;6 
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x y 0 . Phép đồng dạng có được 
bằng cách thực hiện liên tiếp vị tự tâm O tỉ số k 2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d thành 
đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
 A. 2x y 0 B. 2x y 0 C. 4x y 0 D. 2x y 2 0
Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C và C' có phương trình lần 
lượt là x2 y2 4y 5 0 và x2 y2 2x 2y 14 0 . Biết C' là ảnh của C qua phép đồng dạng 
tỉ số k, khi đó giá trị k bằng:
 4 3 9 16
 A. B. C. D. 
 3 4 16 9
Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C : x2 y2 6x 4y 23 0 . Phương trình đường tròn 
 C' là ảnh của đường tròn C qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến 
theo vectơ v 3;5 và phép vị tự V 1 là:
 O; 
 3 
 2 2 2 2
 A. C' : x 2 y 1 4 B. C' : x 2 y 1 36
 2 2 2 2
 C. C' : x 2 y 1 6 D. C' : x 2 y 1 2
Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 0;3 . Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng 
có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay 90 và phép vị tự tâm O, tỉ số k 5.
 A. M' 15;0 B. M' 0;15 C. M' 0; 15 D. M' 15;0 
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm N 6;0 . Ảnh của N qua phép đồng dạng có được bằng cách 
thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay 90 và phép vị tự tâm O, tỉ số k 3 là:
 A. N ' 18;0 B. N ' 0;18 C. N ' 0; 18 D. N ' 0; 6 
 Trang 4 Câu 10: Cho đều cạnh 2. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến  , phép quay 
 ABC TBC
Q B;60 , phép vị tự V A;3 thì ABC biến thành A1B1C1 . Diện tích A1B1C1 là:
 A. 5 2 B. 9 3 C. 9 2 D. 5 3
 ĐÁP ÁN
Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm, một hình qua phép đồng dạng
 1 – D 2 – C 3 – C 4 – C 5 – B 6 – A 7 – A 8 – A 9 – B 10 – B
Câu 5: 
Tâm vị tự O thuộc đường thẳng d nên d V O; 2 d .
 x ' x x x '
d ' §O d có phương trình là: .
 y y' y y y'
Mà 2x y 0 nên 2 x' y' 0 2x' y' 0
Vậy qua phép đồng dạng đường thẳng d biến thành đường thẳng d ' có phương trình 2x y 0 .
Câu 6: 
 C có tâm I 0;2 , bán kính R 3 .
 C' có tâm I 1; 1 , bán kính R 4 .
 4
Ta có C' là ảnh của C qua phép đồng dạng tỉ số k thì 4 k.3 k .
 3
Câu 7: 
Đường tròn C có tâm I 3; 2 và bán kính R 9 4 23 6 .
 3; 2 ' '; ' với 3;5
Tv I I x y v 
 x' 3 3 6
Dựa vào biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có I ' 6;3 .
 y' 2 5 3
 1
Ta có: R' R 2
 3
 2 2
Vậy phương trình đường tròn C' : x 2 y 1 4 .
Câu 8: 
Q O; 90 M x;y M1 x1;y1 ;V O;5 M1 M' x';y' 
 OM OM1 x1 3
Ta có Q O; 90 M M1 M1 3;0 .
 OM,OM1 90 y1 0
   x' 15
Lại có V O;5 M1 M' OM' 5OM1 M' 15;0 
 y' 0
 Trang 5 Vậy ảnh của M qua phép đồng dạng là M' 15;0 .
Câu 9:
Q O;90 N x;y N1 x1;y1 ;V O; 3 N1 N ' x';y' .
 ON ON1 x1 0
Ta có Q O;90 N N1 N1 0; 6 .
 ON,ON1 90 y1 6
   x' 0
Lại có V O; 3 N1 N ' ON ' 5ON1 N ' 0;18 .
 y' 18
Vậy ảnh của N qua phép đồng dạng là N ' 0;18 .
Câu 10: 
Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên qua liên tiếp các phép tịnh tiến 
  , phép quay ;60 , phép vị tự , biến thành thì 3 6
TBC Q B V A;3 ABC A1B1C1 A1B1 AB
 62 3
Vì A B C có cạnh bằng 6 nên S 9 3 (đơn vị diện tích).
 1 1 1 A1B1C1 4
 Trang 6