Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Bài 4: Phép vị tự (Có đáp án)

 BÀI 4: PHÉP VỊ TỰ
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu được định nghĩa phép vị tự, phép vị tự được xác định khi biết được tâm và tỉ số vị tự.
 + Nắm vững các tính chất của phép vị tự.
 + Nắm vững cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
 ❖ Kĩ năng
 + Tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình qua phép vị tự, biết được mối liên hệ của phép vị tự 
 với phép biến hình khác.
 + Xác định được tâm vị tự của hai đường tròn.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa Ví dụ.
Cho điểm I và một số thực k 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm 
   
M thành M’ sao cho IM' k.IM được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ 
số k. Kí hiệu: V I;k .
   
Vậy V M M' IM' k.IM .
 I;k 3
 Phép vị tự tâm O, tỉ số biến ba 
 Biểu thức tọa độ 2
 điểm M, N, P lần lượt thành 3 điểm 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho I x0;y0 và M x;y .
 M’, N’, P’.
 x' kx 1 k x0
Gọi M' x';y' V I;k M thì .
 y' ky 1 k y0
 Tính chất Nhận xét.
   
 + Phép vị tự biến tâm vị tự thành 
Nếu V I;k M M';V I;k N N ' thì M'N ' k.MN và 
 chính nó.
M'N ' k MN .
 + Khi k 1 thì phép vị tự là phép 
Phép vị tự tỉ số k: đồng nhất.
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn + Khi k 1, phép vị tự là phép đối 
thứ tự giữa ba điểm đó. xứng qua tâm vị tự.
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc 
 + Nếu M' V O;k M thì 
trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng 
 M V M' .
thành đoạn thẳng. 1 
 O; 
 k 
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã 
cho, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính 
 Trang 1 k R .
 Tâm vị tự của hai đường tròn
Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến 
đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn I;R và I ';R' .
+ Nếu I  I ' thì các phép vị tự V R ' biến I;R thành I ';R' .
 I; 
 R 
+ Nếu I I ' và R R' thì các phép vị tự V R ' và V R ' biến 
 O; O; 
 R R 
 I;R thành I ';R' . Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị 
tự trong của hai đường tròn.
+ Nếu I I ' và R R' thì có V biến I;R thành I ';R' .
 O1 ; 1 
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
PHÉP VỊ TỰ
1. Phép vị tự tâm I, tỉ số k
Kí hiệu: V I;k .
   
 V I;k M M' IM' k.IM
M' x';y' V I;k M ,I x0;y0 
 x' kx 1 k x0
 y' ky 1 k y0
Với k 1,V I;1 , là phép đồng nhất.
Với k 1,V I; 1 , là phép đối xứng tâm.
2. Tính chất
   
 M'N ' k.MN
V I;k M M';V I;k N N ' .
 M'N ' k MN
Phép vị tự V I;k .
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia 
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
 Trang 2 + Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R .
3. Tâm vị tự của hai đường tròn I;R , I ';R' 
+ Nếu I  I ' thì các phép vị tự V R ' biến I;R thành I ';R' . 
 I; 
 R 
+ Nếu I I ' và R R' thì các phép vị tự V R ' và V R ' biến I;R 
 O; O; 
 R R 
thành I ';R' . 
+ Nếu I I ' và R R' thì có V biến I;R thành I ';R' .
 O1 ; 1 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định ảnh một hình qua phép vị tự
 Phương pháp giải
Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của Ví dụ. Tìm ảnh A’ của điểm A 3;4 qua phép vị tự 
phép vị tự.
 tâm I 2;5 ,k 2 .
 Hướng dẫn giải
 Ta có V I;2 A A' . Áp dụng biểu thức tọa độ của 
 x' kx 1 k x0
 phép vị tự, ta có: 
 y' ky 1 k y0
 x' 2.3 1 2 .2 4
 Suy ra: A' 4;3 .
 y' 2.4 1 2 .5 3
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho M 3;5 , M' 4;6 . Tìm tâm I của phép vị tự biến M thành M’ có tỉ số k 2 .
Hướng dẫn giải
 4 3 .2 1 2 .a a 10
Ta có: V I;2 : M M' I 10;4 .
 6 5.2 1 2 .b b 4
Ví dụ 2. Cho d : x 2y 1 0 . Tìm ảnh d’ của d qua phép vị tự tâm I 2;1 có tỉ số k 2 .
Hướng dẫn giải
   
Ta có: V I;2 d d ' d / /d ' nd nd ' 1; 2 .
M 1;1 d V I;2 M M' d '.
 x' 1.2 1 2 .2 x' 0
Do đó M' 0;1 .
 y' 1.2 1 2 .1 y' 1
 Trang 3 Vậy phương trình tổng quát của d’ là x 2 y 1 0 x 2y 2 0 .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 6x 4y 12 0 . Tìm phương trình đường 
 1
tròn C' là ảnh của C qua phép vị tự tâm tỉ số k .
 2
Hướng dẫn giải
 C có tâm A 3; 2 , bán kính R 5
 5
 C' có tâm A' x';y' , bán kính R' 
 2
 1  1  
Vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k IA' IA .
 2 2
   
Mà IA x' 2;y' 1 ;IA 1; 3 
 3 5 2 2 9
Suy ra A' ; C' : x y 3x 5y 0 .
 2 2 4
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thẳng d’?
 A. 0.B. 1.C. 2. D. Vô số.
Câu 2: Cho hai đường tròn bằng nhau O;R và O';R' với tâm O và O’ phân biệt. Có bao nhiêu phép 
vị tự biến O;R thành O';R' ?
 A. 0.B. 1.C. 2. D. Vô số.
   
Câu 3: Cho 4IA 5IB . Tỉ số vị tự k của phép vị tự tâm I, biến A thành B là:
 4 3 5 1
 A. k B. k C. k D. k 
 5 5 4 5
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 3;2 . Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k 1 là:
 A. 3;2 B. 2;3 C. 2; 3 D. 3; 2 
Câu 5: Tìm A để điểm A' 1;2 là ảnh của A qua phép vị tự tâm I 1;3 ,k 2 là:
 7 7 
 A. A 1;13 B. A 1; C. A 1; D. A 1; 13 
 2 2 
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 1;2 , M' 2; 4 và số k 2 . Phép vị tự tỉ số 
k 2 biến điểm M thành điểm M’ có tâm vị tự là:
 A. I 4;8 B. I 4; 8 C. I 4; 8 D. I 4;8 
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 4 0,I 1;2 . Ảnh của d qua phép vị 
tự tâm I tỉ số k 2 là:
 1
 A. 2x y 4 0 B. 2x y 8 0 C. 2x y 8 0 D. x y 2 0
 2
 Trang 4 x y
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 1 và d ' : 2x y 6 0 . Phép vị tự 
 2 4
V O;k d d ' . Tìm k.
 3 2 1 1
 A. k B. k C. k D. k 
 2 3 3 3
 2 2
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x 3 y 1 5 . Ảnh của đường tròn 
 C qua phép vị tự tâm I 1;2 và tỉ số k 2 là:
 A. x2 y2 6x 16y 4 0 B. x2 y2 6x 6y 4 0
 2 2 2 2
 C. x 3 y 8 20 D. x 3 y 8 20
 2
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C' : x 3 y2 16 và điểm I 1;2 . Biết 
đường tròn C' là ảnh của đường tròn C qua phép vị tự tâm I, tỉ số k 2 . Điểm nào sau đây thuộc 
đường tròn C ?
 A. M 3;4 B. N 2;3 C. P 2;0 D. Q 3;2 
Dạng 2: Xác định tâm vị tự của hai đường tròn
 Phương pháp giải
Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.
 Ví dụ mẫu
 2 2 2 2
Ví dụ. Cho hai đường tròn C : x 2 y 1 4 và C' : x 8 y 4 16 . Tìm tâm vị tự 
của hai đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đường tròn C có tâm I 1;2 , bán kính R 2 ; đường tròn C' có tâm I ' 8;4 , bán kính R' 4 . Do 
I I ' và R R' nên có hai phép vị tự V J;2 và V J; 2 biến C thành C' . Gọi J x;y là tâm vị tự cần 
tìm.
   8 x 2 2 x x 4
+ Với k 2 khi đó JI ' 2.JI J 4; 2 .
 4 y 2 1 y y 2
+ Tương tự với k 2 , tính được J ' 4;2 .
Vậy tâm vị tự của đường tròn là J ' 4;2 và tâm vị tự ngoài của đường tròn là J 4; 2 .
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn 
 2 2 2 2
 C1 : x 1 y 3 1; C2 : x 4 y 3 4 . Tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó là:
 A. 2;3 B. 2;3 C. 3; 2 D. 1; 3 
 Trang 5 2 2
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn C : x 3 y 3 9 và đường tròn 
 2 2
 C' : x 10 y 7 9 . Tâm vị tự trong biến C thành C' là:
 36 27 13 32 24 13 
 A. ; B. ;5 C. ; D. 5; 
 5 5 2 5 5 2 
 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự
 1 – A 2 – B 3 – A 4 – D 5 – B 6 – D 7 – C 8 – A 9 – C 10 - B
Câu 1: 
Không có phép vị tự nào biến d thành d’ vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song 
song hoặc trùng với nó.
Câu 2: 
Phép vị tự có tâm là trung điểm OO’, tỉ số vị tự bằng 1 .
   
   IO' k.IO
 IO' k.IO 
V I;k C C' R .
 R' k .R k 1 do R R' 
 R'
Ta có O khác O’ nên k 1 và I là trung điểm của OO’.
Câu 3: 
    4  4
Ta có: 4IA 5IB IB IA . Vậy tỉ số k .
 5 5
Câu 4: 
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự.
 x' kx 1 k x0 x' 3
V A A' A' : 
 O; 1 y' 2
 y' ky 1 k y0 
Vậy A' 3; 2 
Câu 5: 
Ta có: V I; 2 A A'
 x 1
 1 x. 2 1 2 .1 7 
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có: 7 A 1; .
 2 y. 2 1 2 .3 y 2 
 2
Câu 6: 
   
Gọi I x;y là tâm vị tự. Theo định nghĩa, ta có: IM' 2.IM
 2 x 2 1 x x 4
Suy ra .
 4 y 2 2 y y 8
Vậy tâm vị tự là I 4;8 .
Câu 7: 
 Trang 6 V I; 2 d d ' nên d’ có dạng 2x y c 0
Chọn điểm M 2;0 d .
 x' 5
Ta có: V I; 2 M M' x;y d ' .
 y' 2
Thế vào d’, ta có 10 2 c 0 c 8 .
Vậy d ' : 2x y 8 0 .
Câu 8: 
Ta có d : 2x y 4 0 d / /d '
 x' 2k
Chọn M 2;0 d V O;k M M' x';y' 
 y' 0
 3
Do M' d ' nên 2.2k 0 6 0 k .
 2
Câu 9: 
Đường tròn C có tâm I 8;1 . Gọi C' là ảnh của C qua phép vị tự tâm I, tỉ số k 2 .
   x' 3
Ta có V I; 2 J J ' x';y' IJ ' 2IJ J ' 3;8 là tâm của đường tròn C' .
 y 8
Bán kính R' k .R 2 5
 2 2
Vậy phương trình đường tròn C' là x 3 y 8 20.
Câu 10: 
Ta có đường tròn C' có tâm K ' 3;0 và bán kính R' 4 .
Gọi K x;y và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn C .
   
 V I; 2 C C' V I; 2 K K ' IK ' 2IK
Khi đó x' 1 2 x 1 3 1 2x 2 x 0. Vậy K 0;3 .
 y' 2 2 y 2 0 2 2y 4 y 3
 R' 4
Lại có R' k .R R 2 .
 k 2
 2
Vậy đường tròn C : x2 y 3 4
Ta thấy, thay tọa độ của điểm N 2;3 vào đường tròn C thấy thỏa mãn.
Vậy N thuộc đường tròn C .
Dạng 2: Xác định tâm vị tự của đường tròn
1 – A 2 – A
Câu 1: 
Đường tròn C1 có tâm I1 1;3 và bán kính R1 1
 Trang 7 Đường tròn C2 có tâm I1 1;3 và bán kính R2 2
Ta có I1 I2 , R1 R2 . Gọi I là tâm vị tự ngoài của phép vị tự.
   
 R2
Ta có: V I;k C1 C2 V I;k I1 I2 ,k 2 II2 2II1 I 2;3 .
 R1
Câu 2: 
Đường tròn C có tâm I 3;3 và bán kính R 3
Đường tròn C' có tâm I ' 10;7 và bán kính R' 2
 2
Suy ra I I ', R R' . Tỉ số vị tự là k 
 3
   
Ta có V O;k I I ' O1I ' kO1I với O1 x;y là tâm vị tự trong.
 2 36
 x 10 x 3 x 
 3 5
 2 27
 x 7 y 3 y 
 3 5
 36 27 
Vậy O1 ; .
 5 5 
 Trang 8