Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Bài 3: Khái niệm phép dời hình. Hai hình bằng nhau (Có đáp án)

 BÀI 3: KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được định nghĩa phép dời hình.
 + Nắm được định nghĩa hai hình bằng nhau.
 + Nắm được tính chất của phép dời hình.
 ❖ Kĩ năng
 + Phân biệt phép biến hình, phép dời hình.
 + Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép dời hình để vẽ và xác định ảnh của một điểm, 
 một đường thẳng, một hình cho trước.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa Nhận xét.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối 
điểm bất kì. xứng trục, đối xứng tâm và phép quay 
 đều là những phép dời hình.
 Phép biến hình có được bằng cách 
 thực hiện liên tiếp hai phép dời hình 
 cũng là một phép dời hình.
 Tính chất Chú ý.
Phép dời hình a) Nếu một phép dời hình biến ABC 
 • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và thành A' B'C' thì nó cũng biến 
 bảo toàn thứ tự giữa các điểm. trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn 
 • Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, ngoại tiếp, nội tiếp ABC tương ứng 
 biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường 
 • Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành tròn ngoại tiếp, nội tiếp A' B'C' .
 góc bằng nó. b) Phép biến hình biến đa giác n cạnh 
 • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành 
 Khái niệm hai hình bằng nhau đỉnh, cạnh thành cạnh.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến 
hình này thành hình kia.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phân biệt phép biến hình, phép dời hình
 Phương pháp giải
Để chứng minh một phép biến hình là phép dời hình thì cần nắm chắc tính chất “bảo toàn khoảng cách 
 F M M '
giữa hai điểm bất kỳ”, tức là phải chỉ rõ M,N : M 'N ' MN .
 F N N '
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
 a) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ' y; x .
 b) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ' 2x;y 
 c) Phép biến hình F3 biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ' 3x 1;y 1 
Hướng dẫn giải
 2 2
Lấy hai điểm M x1;y1 ,N x2 ;y2 , ta có MN x2 x1 y2 y1 .
a) Ảnh của M, N qua phép biến hình F1 lần lượt được M ' y1; x1 ,N ' y2 ; x2 .
 Trang 2 2 2
Ta có M 'N ' y2 y1 x1 x2 MN .
Vậy phép biến hình F1 là phép dời hình.
b) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F2 lần lượt là M ' 2x1;y1 ,N ' 2x2 ;y2 .
 2 2
Ta có M ' N ' 4 x2 x1 y2 y1 .
Để ý rằng, nếu x1 x2 thì M 'N ' MN .
Vậy phép biến hình F2 không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách).
c) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F3 lần lượt được M ' 3x1 1;y1 1 ,N ' 3x2 1;y2 1 
 2 2
Ta có M 'N ' 9 x2 x1 y1 y2 
Nếu x1 x2 thì M 'N ' MN .
Vậy phép biến hình F3 không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M x;y thành điểm 
 x ' x cos ysin a
M ' x ';y' , trong đó , với ,a,b là những số cho trước. Chứng minh F là phép 
 y' x sin y cos b
dời hình.
Hướng dẫn giải
 ' ' x1 ' x1 cos y1 sin a
Phép biến hình F biến M x1;y1 tương ứng thành M ' x1;y1 , với 
 y1 ' x1 sin y1 cos b
 ' ' x2 ' x2 cos y2 sin a
Phép biến hình F biến N x2 ;y2 tương ứng thành N ' x2 ;y2 , với 
 y2 ' x2 sin y2 cos b
 2 2
Ta có: MN x2 x1 y2 y1 .
 2 2
M 'N ' x2 ' x1 ' y2 ' y1 ' 
 2 2
 x2 x1 cos y2 y1 sin x2 x1 sin y2 y1 cos 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 x2 x1 cos y2 y1 sin x2 x1 sin y2 y1 cos 
 2 2 2 2 2 2
 x2 x1 cos sin y2 y1 cos sin 
 2 2
 x2 x1 y2 y1 MN
Vậy phép biến hình F là phép dời hình.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Phép biến hình F là phép dời hình thì:
 A. F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
 B. F biến đường thẳng thành chính nó.
 Trang 3 C. F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.
 D. F biến tam giác thành tam giác bằng nó.
Câu 2: Giả sử phép biến hình F biến ABC thành A' B'C' . Xét các mệnh đề sau:
 (1) Trọng tâm ABC biến thành trọng tâm A' B'C' .
 (2) Trực tâm ABC biến thành trực tâm A' B'C' .
 (3) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp 
 A' B'C' .
Số mệnh đề đúng trong 3 mệnh đề trên là:
 A. 0.B. 1.C. 2. D. 3.
Câu 3: Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
 A. Phép tịnh tiến là phép dời hình.B. Phép đồng nhất là phép dời hình.
 C. Phép quay là phép dời hình.D. Phép vị tự là phép dời hình.
Câu 4: Xét hai phép biến hình sau:
 (1) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ' y;x .
 (2) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ' 2x;2y 
Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình?
 A. Chỉ phép biến hình (1).
 B. Chỉ phép biến hình (2).
 C. Cả hai phép biến hình (1) và (2).
 D. Cả hai phép biến hình (1) và (2) đều không là phép dời hình.
Dạng 2: Xác định ảnh qua một phép dời hình
 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép dời hình F biến điểm M x;y thành điểm M ' x ';y' có 
 x ' x
biểu thức tọa độ .
 y' y 1
 a) Xác định ảnh của điểm M 1;2 qua phép biến hình F.
 b) Xác định phương trình đường thẳng ' là ảnh của đường thẳng : x y 1 0 qua phép biến 
 hình F.
 c) Xác định phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn C : x2 y2 2x 4y 1 0 qua 
 phép biến hình F.
 x2 y2
 d) Xác định phương trình elip E ' là ảnh của elip E : 1.
 9 4
Hướng dẫn giải
 x ' x 1
a) Ta có: F M 1;2 M ' x ';y' với hay M ' 1;3 .
 y' y 1 2 1 3
 Trang 4 b) Cách 1: Chọn 2 điểm M, N bất kỳ trên , xác định ảnh tương ứng là M’, N’. Đường thẳng ' cần tìm 
là đường thẳng qua hai điểm M’, N’.
 M 1;2 F M M ' 1;3 
Chọn .
 N 0;1 F N N ' 0;2 
Vậy đường thẳng ' cần tìm là đường thẳng M’N’.
  
Đường thẳng M’N’ đi qua M ' 1;3 và nhận vectơ chỉ phương M 'N ' 1; 1 có phương trình là: 
 x 1 t
 ' : t ¡ .
 y 3 t
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
 x ' x x x '
Gọi M x;y d thì F M M ' x ';y' với 
 y' y 1 y y' 1
Lúc đó: M ' x ';y' 1 x ' y' 1 1 0 x ' y' 2 0 x y 2 0 .
Vậy ' : x y 2 0.
c) Cách 1: Theo tính chất của phép dời hình: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có đường tròn C có tâm I 1;2 và bán kính R 2 .
F I I ' 1;3 là tâm của đường tròn ảnh C' .
Vì phép biến hình F là phép dời hình nên bán kính của C' là 2.
 2 2
Vậy đường tròn C' : x 1 y 3 4 .
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
 x ' x x x '
Gọi M x;y C ta có F M M ' x ';y' với .
 y' y 1 y y' 1
Thay tọa độ x, y vào phương trình đường tròn C , ta tìm được phương trình đường tròn C' .
d) Sử dụng quỹ tích: M E thì F M M ' E ' 
 x ' x x x '
Gọi M x;y E ta có F M M ' x ';y' : .
 y' y 1 y y' 1
 2 2 2 2
 x ' y' 1 x ' y' 1 
Lúc đó M x ';y' 1 E 1 1
 9 4 9 4
 2
 x2 y 1 
Vậy E ' : 1.
 9 4
 Bài tập tự luyện dạng 2
 Trang 5 Câu 1: Cho biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM với điểm M ' x ';y' theo công thức 
 x ' xM 1
F : . Ảnh của điểm A 1;2 qua phép biến hình F là:
 y' yM 2
 A. A' 1;4 B. A' 2;0 C. A' 1; 2 D. A' 0;4 
Câu 2: Cho biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM với điểm M ' x ';y' theo công thức 
 x ' xM
F : . Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng là ảnh của hai điểm A 1;0 và B 1;2 
 y' yM 1
qua phép biến hình F.
 A. PQ 2 B. PQ 2 2 C. PQ 3 2 D. PQ 4 2
Câu 3: Cho biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM với điểm M ' x ';y' theo công thức 
 x ' 2xM
F : . Phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d : x 2y 1 0 qua phép biến hình 
 y' 2yM
F là:
 A. d ' : 2x y 2 0 B. d ' : x 2y 3 0 C. d ' : x 2y 2 0 D. d ' : x 2y 0
Câu 4: Cho biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M xM ;yM có ảnh là điểm M ' x ';y' theo 
 x ' xM
công thức F : . Phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn 
 y' yM
 2 2
 C : x 1 y 2 4 qua phép biến hình F là:
 2 2 2 2
 A. C' : x 1 y 2 4 B. C' : x 1 y 2 4
 2 2 2 2
 C. C' : x 1 y 2 4 D. C' : x 1 y 2 4
Câu 5: Cho biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M xM ;yM có ảnh là điểm M ' x ';y' theo 
 2 2
 x ' xM 1 x x
công thức F : . Phương trình elip E ' là ảnh của elip E : 1 qua phép biến hình F 
 y' yM 1 9 4
là:
 2 2 2 2
 x 1 y 1 x 1 y 1 
 A. E' : 1 B. E' : 1
 9 4 9 4
 2 2
 x 1 y2 x 1 y2
 C. E' : 1 D. E' : 1
 9 4 9 4
 ĐÁP ÁN
Dạng 1: Phân biệt phép biến hình, phép dời hình
1 – D 2 – D 3 – D 4 – A 
Câu 4: 
 Trang 6 Lấy hai điểm A x1;y1 , B x2 ;y2 bất kì trong mặt phẳng.
  2 2
 F1 A A1 y1;x1 AB x2 x1;y2 y1 AB x2 x1 y2 y1 
Xét  
 F B B y ;x 2 2
 1 1 2 2 A1B1 y1 y2 ;x2 x1 
 A1B1 y1 y2 x2 x1 
Suy ra A1B1 AB F1 là phép dời hình.
  2 2
 F2 A A2 2x1;2y1 AB x2 x1;y2 y1 AB x2 x1 y2 y1 
Xét  
 F B B 2x ;2y 2 2
 2 2 2 2 A2 B2 2x2 2x1;2y2 2y1 4 4 
 A2 B2 x2 x1 y2 y1 
Khi x1 x2 hoặc y1 y2 thì F2 không là phép dời hình.
Dạng 2: Xác định ảnh qua một phép dời hình
1 – D 2 – B 3 – C 4 – B 5 – A 
Câu 1: 
 x' xM 1 0
Theo công thức, ta có: A' 0;4 
 y' yM 2 4
Câu 2: 
  
Theo công thức, ta có: P 1;1 ;Q 1;3 PQ 2;2 PQ 2 2 .
Câu 3: 
Cách 1: Gọi M xM ;yM d xM 2yM 1 0 1 
 x'
 xM 
 x' 2xM 2
Với F M M' x';y' , theo công thức, ta có: 
 y' 2y y'
 M y 
 M 2
 x' y' 
Thay vào (1) ta có: 2 1 0 x' 2y' 2 0 .
 2 2 
Vậy d ' : x 2y 2 0 .
Cách 2: Chọn A 1;0 d, B 1; 1 d .
Ta có F A A' 2;0 d ',F B B' 2; 2 d ' d '  A' B'
 1  
Đường thẳng d’ qua A' 2;0 và nhận vectơ chỉ phương là A' B' 2; 1 
 2
  
Chọn n' 1;2 làm một vectơ pháp tuyến, suy ra d ' :1 x 2 2 y 0 0 x 2y 2 0 .
Câu 4: 
 2 2
Cách 1: Gọi M xM ;yM C xM 1 yM 2 4 1 
 x' xM xM x'
Với F M M' x';y' , theo công thức: .
 y' yM yM y'
 Trang 7 2 2 2 2
Thay vào (1) ta có: x 1 y 2 4 M' C' : x 1 y 2 4 .
Cách 2: Đường tròn C có tâm I 1;2 và A 1;4 C 
Suy ra F I I ' 1; 2 là tâm C' và F A A' 1; 4 C' .
  
Vậy đường tròn C' có tâm I ' 1; 2 và bán kính R I ' A' 2 có phương trình là: 
 2 2
 C' : x 1 y 2 4 .
Câu 5: 
 x2 y2
Gọi M x ;y E : M M 1 1 .
 M M 9 4
 x' xM 1 xM x' 1
Với F M M' x';y' , theo công thức, ta có: .
 y' yM 1 yM y' 1
 2 2
 x 1 y 1 
Thay vào (1) ta được: M M 1.
 9 4
 2 2
 x 1 y 1 
Ta có M' E' nên phương trình của E' là 1.
 9 4
 Trang 8