Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Bài 2: Phép quay (Có đáp án)

 BÀI 2: PHÉP QUAY
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được định nghĩa phép quay, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan.
 + Nắm vững tính chất phép quay.
 + Nắm được biểu thức tọa độ của phép quay với góc quay đặc biệt.
 ❖ Kĩ năng
 + Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép quay để xác định ảnh của một điểm, một 
 đường thẳng, cho trước.
 + Biết vận dụng phép quay để giải một số bài toán về quỹ tích, chứng minh hai hình bằng nhau. 
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Định nghĩa phép quay
Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình 
biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác 
O thành điểm M’ sao cho OM ' OM và góc lượng 
giác OM;OM ' bằng được gọi là phép quay 
tâm O góc .
Điểm O được gọi là tâm quay, còn được gọi là + Chiều dương của phép quay là chiều dương của 
góc quay của phép quay đó. đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với 
Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là chiều quay của kim đồng hồ.
Q O; . + Khi 2k 1 ,k ¢ thì Q O; là phép đối 
 ' xứng tâm O.
 OM OM
Q M M ' 
 O; ·
 OM,OM ' ' + Khi 2k ,k ¢ thì Q ; là phép đồng nhất.
 O 
 Biểu thức tọa độ của phép quay Đặc biệt:
Trong mặt phẳng Oxy cho M x;y , M ' x ';y' và x ' y
 Nếu thì 
 2 y' x
Q O; M M '
 x ' y
 x ' x cos ysin Nếu thì 
Khi đó ta có: 2 y ' x
 y' x sin y cos 
 x ' x
Trong mặt phẳng Oxy, cho Nếu thì 
 y ' y
M x;y , M ' x ';y' , I a;b và Q I; M M '
 x ' a x a cos y b sin 
Khi đó ta có: 
 y' b x a sin y b cos 
 Tính chất của phép quay
 Nếu Q O; A A' và Q O; B B' thì 
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa 
 A' B' AB
hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời 
hình).
 Nhận xét: Cho đường thẳng d và Q d d ' . 
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành O; 
đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Khi đó:
bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, Nếu k thì d '  d
 2
biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
 Nếu k2 ,O tùy ý hoặc k ,O d thì 
Tính chất 3: Q O; M M ' Q O; M ' M
 d '  d .
(sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh).
 Nếu k2 ,O d thì d '/ /d
 Trang 2 
 khi 0 
 2
 Nếu 0 thì d· ,d ' 
 a khi 
 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
PHÉP QUAY 
1. Phép quay tâm O, góc quay 
Kí hiệu Q O; .
 '
 OM OM
Q M M ' 
 O; O·M,OM ' '
Q O; M x;y M ' x ';y' 
 x ' x cos ysin 
 y' x sin y cos 
 x ' y
+ Nếu thì 
 2 y' x
 x ' y
+ Nếu thì 
 2 y ' x
 x ' x
+ Nếu thì 
 y ' y
2. Phép quay tâm I a;b , góc quay 
Q I; M x;y M ' x ';y' 
 x ' a x a cos y b sin 
 y' b x a sin y b cos 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng phép quay
 Phương pháp giải
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay.
+ Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay.
+ Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay.
+ Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông. Từ đó ứng dụng 
phép quay để giải bài toán hình học khác.
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc quay k2 ,k ¢ ?
 Trang 3 A. Không có.B. Một.C. Hai. D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Q O; M M khi M  O tâm quay.
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. Hỏi bao nhiêu phép quay tâm O, góc quay ,0 2 , 
biến hình chữ nhật thành chính nó?
 A. Không có.B. Một.C. Hai. D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Khi góc quay 0 hoặc 2 thì phép quay biến hình chữ nhật 
thành chính nó. 
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có tâm O. Phép quay tâm O góc quay biến tam giác đều thành chính 
nó thì góc quay là góc nào sau đây?
 2 3 
 A. B. C. D. 
 3 3 2 2
Hướng dẫn giải
 OA OB
Q A B 2 
 O; O· A,OB ' 
 3
Chọn B.
Ví dụ 4. Chọn 12 giờ làm mốc, kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu 
độ?
 A. 360 B. 360 C. 180 D. 720
Hướng dẫn giải
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo 
chiều âm và được một góc là 360 .
Chọn B.
Chú ý: Chiều “dương” của góc quay là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ, chiều “âm” của góc 
quay là chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ.
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và Q A;30 B C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 Trang 4 A. A· BC 30 B. A· BC 90 C. A· BC 45 D. A· BC 75
Câu 2: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay 0 2 biến hình 
vuông thành chính nó?
 A. 1.B. 2.C. 3. D. 4.
Câu 3: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C?
 A. 30 B. 90 C. 120 D. 60hoặc 60
Câu 4: Cho ABC đều (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác). Kết luận nào sau đây sai?
 A. Q B C B. Q C B C. Q 7 C B D. Q 7 A C
 A; A; A; A; 
 3 3 3 3 
Câu 5: Cho hai đường tròn cùng bán kính O và O' tiếp xúc ngoài nhau. Có bao nhiêu phép quay góc 
biến hình tròn O thành O' ?
 A. 0.B. 1.C. 2. D. Vô số.
Câu 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Ảnh của AOF qua phép quay tâm O góc quay 120 là:
 A. OAB B. BOC C. DOC D. EOD
Câu 7: Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim đồng hồ chỉ 5 giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao 
nhiêu độ?
 A. 270 B. 360 C. 150 D. 135
Câu 8: Cho hai điểm phân biệt I, M và Q I; 32 M N . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. M là trung điểm của đoạn IN.B. N là trung điểm của đoạn IM.
 C. I là trung điểm của đoạn MN.D. M  N .
Câu 9: Cho hình thoi ABCD có góc A· BC 60 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh 
của cạnh CD qua phép quay Q O;60 là:
 A. AB.B. BC.C. CD. D. DA.
Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay
 Phương pháp giải
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép quay: Sử Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay 
dụng biểu thức tọa độ của phép quay. tâm O góc quay 90 biến điểm M 1;2 thành 
 điểm nào?
 Hướng dẫn giải
 Biểu thức tọa độ của phép quay
 x ' y
 Q O;90 : M x;y M ' x ';y' 
 y' x
 x ' y 2
 Với M 1;2 , ta có: 
 y' x 1
 Vậy M ' 2;1 
 Trang 5 2. Xác định ảnh ' của đường thẳng qua phép Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 
quay. đường thẳng d ' : 5x 3y 15 0 . Tìm ảnh d’ của 
 d qua phép quay Q O;90 với O là gốc tọa độ?
 Hướng dẫn giải
Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên . Xác Cách 1: Chọn A 0;5 d, B 3;0 d
định ảnh A’, B’ tương ứng. Đường thẳng ' cần tìm 
 Q O;90 A A' 5;0 d ';
là đường thẳng qua hai điểm A’, B’.
 Q O;90 B B' 0; 3 d '
 Đường thẳng d’ là đường thẳng có phương trình 
 là: A' B' : 3x 5y 15 0
 Cách 2: Vì góc quay là 90 nên d  d ' . Khi đó 
Cách 2: Áp dụng tính chất phép quay Q O; biến 
 d’ có phương trình là 3x 5y c 0
đường thẳng thành đường thẳng ' có góc 
 , ' hoặc a (đơn vị rađian). Chọn A 0;5 d
 Khi đó Q O;90 A A' 5;0 d ' c 15
 Vậy d ' : 3x 5y 15 0
Cách 3: Sử dụng quỹ tích: Cách 3: Sử dụng quỹ tích:
+ Với mọi điểm M x;y : Q O; M M ' x ';y' Với mọi điểm M x;y d thì
thì M ' ' Q O;90 M M ' x ';y' d '.
+ Từ biểu thức tọa độ rút x, y thế vào phương trình 
 x ' y x y'
đường thẳng ta được phương trình đường thẳng Ta có biểu thức tọa độ: 
 y' x y x '
 Thay x, y vào phương trình đường thẳng d ta 
 được: d ' : 3x 5y 15 0 .
3. Xác định ảnh của một hình H (đường tròn, elip, Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 
 2 2
parabol,) đường tròn C : x 1 y 2 4 .
+ Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm: 
 Tìm ảnh C' của đường tròn C qua Q O;90 
M x;y H : Q O; M M ' x ';y' thì M ' H '
 Hướng dẫn giải
+ Với đường tròn áp dụng tính chất của phép quay 
 Với mọi M x;y C thì
biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính 
 ' '; ' '
hoặc sử dụng quỹ tích. Q O;90 M M x y C 
 x ' y y x '
 Biểu thức tọa độ 
 y' x x y'
 Thay tọa độ vào đường tròn C , ta có: 
 Trang 6 2 2 2 2
 y' 1 x ' 2 4 x ' 2 y' 1 4
 2 2
 Vậy C : x 2 y 1 4
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90 biến điểm M 3;5 thành điểm 
nào?
 A. 3;4 B. 5; 3 C. 5; 3 D. 3; 5 
Hướng dẫn giải
 x ' y 5
Biểu thức tọa độ của phép quay Q O;90 : M x;y M ' x ';y' 
 y' x 3
 x ' 5
Suy ra M ' : . Vậy M ' 5; 3 .
 y' 3
Chọn B.
Cách 2: Biểu diễn tọa độ của điểm M trên hệ trục tọa độ Oxy, ta tìm được ảnh của M qua phép quay là 
M ' 5; 3 .
Cách 3: Gọi M ' x ';y' .
 OM OM ' 34 x '2 y'2 x ' 5
   
Q O; M M ' 
 OM.OM ' 0 3x ' 5y' 0 y' 3
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 1;1 . Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua 
phép quay tâm O 0;0 , góc quay 45?
 A. M ' 2;0 B. M ' 0; 2 C. M ' 0;1 D. M ' 1; 1 
Hướng dẫn giải
Xét Q O;90 : M x;y M ' x ';y' 
 2 2
 x ' x cos ysin x y
 2 2
Biểu thức tọa độ: 
 2 2
 y' x sin y cos x y
 2 2
 x ' 0
Với M 1;1 , ta có: M ' 0; 2 .
 y' 2
Chọn B.
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x;y . Biểu thức tọa độ của điểm A' Q O;90 A là:
 Trang 7 x ' y x ' y x ' y x ' y
 A. B. C. D. 
 y' x y' x y' x y' x
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A x;y . Biểu thức tọa độ của điểm A' Q O; 90 A là:
 x ' y x ' y x ' y x ' y
 A. B. C. D. 
 y' x y' x y' x y' x
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 4;1 . Tọa độ của điểm A' Q O; 90 A là:
 A. A' 1;4 B. A' 1; 4 C. A' 4; 1 D. A' 4; 1 
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I 1;2 , biết điểm A 4;5 . Khi đó với 
B xB ;yB ,C xC ;yC , D xD ;yD thì xB .xC .xD bằng:
 A. 12.B. 8.C. 16. D. 32.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y 1 0 , điểm I 1; 2 , phép quay 
Q O;90 d d ' . Phương trình đường thẳng d’ là:
 A. x y 2 0 B. x y 1 0 C. x y 3 0 D. x y 3 0
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 0;3 . Ảnh của A qua phép quay A' Q O; 45 là:
 1 3 3 1 3 1 3 2 
 A. A' ; B. A' ; C. A' ; D. A' ; 
 2 2 4 4 2 2 2 2 
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I 2;1 và đường thẳng d : 2x 3y 4 0 . Ảnh của d qua 
Q I;45 là:
 A. x 5y 2 3 2 0 B. x 5y 3 10 2 0
 C. x 5y 3 2 0 D. x 5y 3 11 2 0
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 6x 5 0 . Ảnh đường tròn C' của 
 C qua Q O;90 là:
 2 2
 A. x2 y 3 4 B. x2 y2 6y 6 0 C. x2 y 3 4 D. x2 y2 6y 5 0
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép quay tâm O góc quay 45. Ảnh của đường tròn 
 2
 C : x 1 y2 4 là:
 2 2 2 2
 2 2 2 2 
 A. 4 B. 4
 x y x y 
 2 2 2 2 
 2 2
 2 2 
 C. 4 D. 2 2 2 2 2 0
 x y x y x y
 2 2 
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh AC, BC của ABC biết 
 2 3
A 1;2 , B 3;4 và cos A ,cos B 
 5 10
 Trang 8 A. AC : x y 1 0; BC x y 5 0 B. AC : 3x y 2 0; BC x 2y 3 0
 C. AC : 3x y 1 0; BC x 2y 5 0 D. AC : 3x y 4 0; BC x 2y 2 0
 ĐÁP ÁN
1 – D 2 – D 3 – D 4 – D 5 – B 6 – D 7 – C 8 – D 9 – B
Câu 1: 
 180 30
Ta có ABC cân tại A nên A· BC 75
 2
Câu 2: 
Có 4 phép quay biến hình vuông thành chính nó với các góc quay lần lượt là 0; ; ;2 
 2
Câu 3: 
 · 60
Vì BAC 60 nên có hai phép quay Q A; B C là 
 60
Câu 4: 
Ta có Q 7 A CA do đó D sai.
 A; 
 3 
Câu 5: 
Xét OIO' vuông cân tại I. Khi đó Q I;90 O O' .
Vậy có một phép quay thỏa mãn.
Câu 6: 
 Q A E
 O;120 
Ta có Q AOF EOD . 
 Q F D O;120 
 O;120 
Câu 7: 
 360
Mỗi giờ trên mặt đồng hồ ứng với góc 30 .
 12
Khi kim đồng hồ chỉ 5 giờ đúng thì kim giờ đã quay theo chiều dương được một 
góc: 5. 30 150
Câu 8: 
Vì Q I; 32 M Q I; 16.2 M M nên M  N .
Câu 9: 
Dễ thấy ACD và ABC đều nên
 Q C B
 O;60 
 Q DC BC .
 Q D C O;60 
 O;60 
 Trang 9 Dạng 2. Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay
1 – B 2 – A 3 – B 4 – C 5 – B 6 – D 7 – D 8 – C 9 – A 10 - C
Câu 1: 
 x ' y
Ta có Q O;90 A x;y A' x ';y' 
 y' x
Câu 2: 
 x ' y
Ta có Q O; 90 M x;y M ' x ';y' 
 y' x
Câu 3: 
 x ' y 1
Ta có Q O; 90 M x;y M ' x ';y' 
 y' x 4
Câu 4: 
Dựa vào hình vẽ, ta có:
 Q A B 2;5 
 I;90 
 Q I;180 A C 2; 1 xB .xC .xD 2 . 2 .4 16
 Q A D 4; 1
 I; 90 
Câu 5: 
Với mọi điểm I 1; 2 d : Q O;90 I I ' 2;1 d '
Phép quay Q O;90 d d ' d  d ' .
Do đó d : x y c 0 . Mà I ' 2;1 d ' nên c 1
Vậy d ' : x y 1 0
Câu 6: 
Ta có Q O; 45 A x;y A' x ';y' . 
 3
 x ' 
 x ' 0.cos 45 3sin 45 2 3 3 
Suy ra A' ; 
 y' 0.sin 45 3cos 45 3 2 2
 y' 
 2
Câu 7: 
Với mọi điểm M x;y d ta có Q I;45 M M ' x ';y' d ' .
 2 2
 x ' 2 x 2 .cos45 y 1 sin 45 x 2 y 1 
 2 2
Với I 2;1 , ta có biểu thức tọa độ 
 2 2
 y' 1 x 2 .sin 45 y 1 cos45 x 2 y 1 
 2 2
 Trang 10