Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 1 - Bài 1: Phép biến hình. Phép tịnh tiến (Có đáp án)

 CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
 BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được định nghĩa phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan.
 + Nắm được định nghĩa phép tịnh tiến.
 + Biết vẽ ảnh và xác định được ảnh của một hình qua phép tịnh tiến.
 + Nắm được tính chất của phép tịnh tiến.
 ❖ Kĩ năng
 + Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép biến hình và phép tịnh tiến để xác định ảnh của 
 một điểm, một đường thẳng, cho trước.
 + Biết vận dụng phép tịnh tiến để giải một số bài toán về quỹ tích.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép biến hình
 Định nghĩa
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một 
điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó gọi là phép 
biến hình trong mặt phẳng.
 Kí hiệu Ví dụ. Hình chiếu của điểm A lên đường 
Phép biến hình là F và viết F M M ' hay M ' F M . thẳng d là điểm H. Khi đó ta có phép biến 
 hình biến điểm A thành H.
Khi đó M’ gọi là ảnh của M qua phép biến hình F.
Nếu  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu 
' F  là tập hợp các điểm ảnh của M thuộc . Khi đó 
ta nói F biến hình  thành hình ' hay ' từ ảnh của hình 
 qua phép biến hình F.
 F A H được gọi là phép chiếu vuông 
Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính 
 góc lên đường thẳng d.
nó được gọi là phép đồng nhất.
2. Phép tịnh tiến
 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ u . Phép biến hình biến 
  
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' u gọi là 
phép tịnh tiến theo vectơ , kí hiệu 
 u Tu
  
Như vậy ' ' . Nhận xét.
 Tu M M MM u
 • Phép tịnh tiến theo vectơ-không chính là 
 Tính chất
   phép đồng nhất.
a) Nếu T M M ';T N N ' thì M 'N ' MN
 u u • Phép tịnh tiến được xác định khi có 
Từ đó suy ra M 'N ' MN .
 vectơ tịnh tiến, tức là biết điểm đầu, 
b) Phép tịnh tiến biến:
 điểm cuối của vectơ hoặc biết hướng và 
 • Đường thẳng thành đường thẳng song song 
 độ dài của vectơ.
 hoặc trùng với nó.
 • Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa 
 • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
 hai điểm bất kì.
 • Tam giác thành tam giác bằng nó.
 • Góc thành góc bằng nó.
 • Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
 Biểu thức tọa độ Chú ý. Nếu quên công thức này ta chỉ cần cho 
 Trang 2  
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x;y và vectơ MM ' u , từ đó suy ra các tọa độ tương ứng 
 bằng nhau.
u a;b .
Gọi điểm M ' x ';y' là ảnh của điểm M x;y qua 
phép tịnh tiến theo vectơ u .
 x ' x a
Khi đó 
 y' y b
HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC:
PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định nghĩa
  
 ' ' 
Tu M M MM u
2. Biểu thức tọa độ
 T 
M x;y u M ' x ';y' 
 x ' x a
 y' y b
3. Tính chất
 '; '
Tu M M Tu N N 
    M 'N ' MN
 M 'N ' MN  
Phép tịnh tiến biến: 
 • Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
 • Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
 • Tam giác thành tam giác bằng nó.
 • Góc thành góc bằng nó.
 • Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phép biến hình
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm M x;y với điểm M ' y; x 
là một phép biến hình.
Hướng dẫn giải
Với mỗi điểm M x;y , theo quy tắc trên thì luôn tồn tại điểm M’ sao cho F M M ' y; x .
Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tồn tại ảnh là M’. (1)
Giả sử qua quy tắc trên, điểm M x;y có hai ảnh là M ' x ';y' và M '' x '';y'' 
 Trang 3 x ' y x '' y
Ta có và 
 y' x y'' x
Suy ra x ' x '';y' y'' M '  M '' 2 
Từ (1) và (2), suy ra: quy tắc trên là một phép biến hình.
 x ' x
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F M x;y M ' x ';y' với 
 y' y 1
 a) Xác định ảnh của điểm M 1;2 qua phép biến hình F.
 b) Xác định phương trình đường thẳng ' là ảnh của đường thẳng : x y 1 0 qua phép biến 
 hình F.
 c) Xác định phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn C qua phép biến hình F: 
 C : x2 y2 2x 4y 1 0
Hướng dẫn giải
 x ' x 1
 a) M ' x ';y ' F M M ' 1;3 
 y ' y 1 2 1 3
 b) M x;y thì F M M ' x ' y' '
 x ' x x x '
 Suy ra 
 y' y 1 y y' 1
 Lúc đó M x ';y' 1 nên x ' y' 1 1 0 x ' y' 2 0 x ' y' 2 0
 Vậy ' : x ' y' 2 0 là ảnh của đường thẳng qua phép biến hình F.
 c) Gọi M x;y C F M M ' x ';y' C' 
 x ' x x x '
 Suy ra 
 y' y 1 y y' 1
 2 2 2 2
 Mà M C nên x ' y' 1 2 x ' 4 y' 1 1 0 x ' y' 2x ' 6y' 6 0
 Vậy C' : x2 y2 2x 6y 6 0 là ảnh của đường tròn C .
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Quy tắc nào dưới đây là phép biến hình?
 A. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn nếu M khác O thì M ứng với M’ sao cho 
  
OM OM ' 0 .
 B. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác OMM’ là tam 
giác vuông cân đỉnh O.
 C. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác MM’ là tam 
giác đều.
 D. Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho OM ' 2OM .
 Trang 4 Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM , điểm M ' x ';y' theo công thức 
 x ' xM 1
F : . Ảnh của điểm A 1;2 qua phép biến hình F là:
 y' yM 2
 A. A' 1;4 B. A' 2;0 C. A' 1; 2 D. A' 0;4 
Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM với điểm M ' x ';y' theo công thức 
 x ' xM
 . Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng là ảnh của điểm A 1; 2 và B 1;2 qua 
 y' yM 1
phép biến hình F.
 A. PQ 2 B. PQ 2 5 C. PQ 3 2 D. PQ 4 2
Câu 4: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M xM ;yM với điểm M ' x ';y' theo công thức 
 2 2
 x ' xM 1 x y
F : . Viết phương trình elip E ' là ảnh của elip E : 1 qua phép biến hình F.
 y' yM 1 9 4
 2 2 2 2
 x 1 y 1 x 1 y 1 
 A. E ' : 1 B. E ' : 1
 9 4 9 4
 2 2
 x 1 y2 x 1 y2
 C. E ' : 1 D. E ' : 1
 9 4 9 4
Dạng 2: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
 Phương pháp giải
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x;y và vectơ Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v 2;3 . 
u a;b . Gọi điểm M ' x ';y' là ảnh của điểm Hãy tìm ảnh của các điểm A 1; 1 , B 4;3 qua phép 
M x;y qua phép tịnh tiến theo vectơ u . tịnh tiến theo vectơ v .
 Hướng dẫn giải
 x ' x a
Khi đó: 
 y' y b x ' x 2
 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T là 
 v y' y 3
 Ta có điểm A 1; 1 .
 x ' 1 2 
 ' '; ' 
 A x y Tv A 
 y' 1 3
 x ' 1
 A' 1;2 
 y' 2
 Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2;6 
 Ví dụ mẫu
 Trang 5 
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v 1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2x 3y 5 0 . 
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .
 Tv
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M x;y tùy ý thuộc d, ta có: 2x 3y 5 0 * 
 x ' x 1 x x ' 1
Gọi M ' x ';y' T M 
 v y' y 3 y y' 3
Thay vào (*) ta được phương trình: 2 x ' 1 3 y' 3 5 0 2x ' 3y' 6 0
Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2x 3y 6 0 .
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do ' nên d’ song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d’ có dạng 
 d Tv d 
2x 3y c 0 ** 
Lấy điểm 1;1 . Khi đó ' 1 1;1 3 0; 2
 M d M Tv M 
Do M ' d ' nên 2.0 3. 2 c 0 c 6
Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2x 3y 6 0
Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M’, N’ tương 
ứng của chúng qua .
 Tv
Khi đó d’ đi qua hai điểm M’ và N’.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C có phương trình x2 y2 2x 4y 4 0 . Tìm ảnh 
của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2; 3 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm M x;y tùy ý thuộc đường tròn C , ta có: x2 y2 2x 4y 4 0 * 
 x ' x 2 x x ' 2
Gọi M ' x ';y' T M 
 v y' y 3 y y' 3
 2 2
Thay vào phương trình (*), ta được: x ' 2 y' 3 2 x ' 2 4 y' 3 4 0
 x '2 y'2 2x ' 2y' 7 0
Vậy ảnh của C là đường tròn C' : x2 y2 2x 2y 7 0
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến.
Dễ thấy C có tâm I 1;2 và bán kính R 3 .
Gọi ' và ' '; ' ; ' là tâm và bán kính của ' .
 C Tv C I x y R C 
 Trang 6 x 1 2 1
Ta có 
 y 2 3 1
Suy ra I ' 1; 1 và R' R 3 .
 2 2
Vậy phương trình của đường tròn C' là x 1 y 1 9 .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x y 9 0 . Tìm phép tịnh tiến theo vectơ 
v có giá song song với Oy biến d thành d’ đi qua điểm A 1;1 .
Hướng dẫn giải
v có giá song song với Oy nên v 0;k k 0 
Lấy M x;y d 3x y 9 0 * 
 x ' x x x '
Gọi M ' x ';y' T M 
 v y' y k y y' k
Thay vào (*), ta có 3 ' ' 9 0 hay ' : 3 9 0
 x y k Tv d d x y k
Mà d’ đi qua A 1;1 nên k 5
Vậy v 0; 5 
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 2x 3y 3 0 và d ' : 2x 3y 5 0. Tìm 
tọa độ có phương vuông góc với d để ' .
 v Tv d d
Hướng dẫn giải
Đặt v a;b , lấy điểm M 0;1 d .
Giả sử ' '; ' .
 M x y Tv M 
 x ' a
Ta có thay vào d’ ta được phương trình 2a 3b 8.
 y' 1 b
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n 2; 3 
Suy ra vectơ chỉ phương của d là u 3;2 
Do v  u nên v.u 0 3a 2b 0
 16
 a 
 2a 3b 8 13
Ta có hệ phương trình 
 3a 2b 0 24
 b 
 13
 16 24 
Vậy v ; 
 13 13 
 Bài tập tự luyện dạng 2
 Trang 7 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 3; 3 . Ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ 
v 1;3 là:
 A. A' 2; 6 B. A' 2;0 C. A' 4;0 D. A' 2;0 
  
Câu 2: Cho ba điểm M 2;3 ;N 4;1 ;P 6;5 . Ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ MP là:
 A. N ' 0;3 B. N ' 3;7 C. N ' 3;7 D. N ' 3;0 
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M 10;1 và M ' 3;8 . Phép tịnh tiến theo 
vectơ v biến điểm M thành điểm M’, khi đó tọa độ của vectơ v là:
 A. 13;7 B. 13; 7 C. 13;7 D. 13; 7 
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 0;2 ,N 2;1 và vectơ v 1;2 . Phép tịnh tiến theo 
vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng. Tính độ dài M’N’.
 A. M 'N ' 5 B. M 'N ' 7 C. M 'N ' 1 D. M 'N ' 3
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A 2;4 , B 5;1 ,C 1; 2 . Phép tịnh tiến theo 
  
vectơ BC biến ABC thành A' B'C' tương ứng các điểm. Trọng tâm G’ của A' B'C' là:
 A. G ' 4; 2 B. G ' 4;2 C. G ' 4; 2 D. G ' 4;4 
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng ' là ảnh của đường thẳng 
 : x 2y 1 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 1; 1 
 A. ' : x 2y 0 B. ' : x 2y 3 0 C. ' : x 2y 1 0 D. ' : x 2y 2 0
Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d và d’ lần lượt có phương trình là 
3x 2y 0 và 3x 2y 1 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng d thành d’?
 A. v 1; 2 B. v 1; 2 C. v 1; 1 D. v 1; 1 
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn 
 2 2
 : 2 4 1 0 qua với 1;2 là:
 C x y x y Tv v 
 2 2
 A. x 2 y2 6 B. x 2 y2 6 C. x2 y2 2x 5 0 D. 2x2 2y2 8x 4 0
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v 2;1 và đường thẳng 
  
d : 2x 3y 3 0; d1 : 2x 3y 5 0 . Biết vectơ w a;b có phương vuông góc với đường thẳng d để 
 là ảnh của d qua phép tịnh tiến  . Khi đó bằng:
d1 Tw a b
 6 16 8 5
 A. B. C. D. 
 13 13 13 13
Câu 10: Cho hình vuông ABCD trong đó A 1;1 ,C 3;5 . Phương trình ảnh của đường tròn nội tiếp 
 1  
hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v AC là:
 2
 2 2 2 2
 A. x 3 y 5 4 B. x 1 y 1 16
 Trang 8 2 2 2 2
 C. x 2 y 1 8 D. x 3 y 5 16
 ĐÁP ÁN
Dạng 1: Phép biến hình
1 – A 2 – D 3 – B 4 – A
Câu 1: 
    
Ta có OM OM ' 0 MM ' 0 M '  M . Quy tắc đặt này là phép đồng nhất. Do đó chọn A.
Các quy tắc còn lại không là phép biến hình.
+ Đáp án B, C do không nói góc vuông là góc lượng giác nên luôn tồn tại hai ảnh của M.
+ Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh của M không duy nhất.
Câu 2: 
 x ' xM 1 1 1 0
Theo công thức, ta có: A' 0;4 
 y' yM 2 2 2 4
Câu 3: 
  
 x ' xM
Theo công thức , ta có: P 1; 1 ,Q 1;3 PQ 2;4 PQ 2 5 .
 y' yM 1
Câu 4: 
 x2 y2
Gọi M x ;y E : M M 1 1 
 M M 9 4
 x ' xM 1 xM x ' 1
Với F M M ' x ';y' E ' , theo công thức 
 y' yM 1 yM y' 1
 2 2
 x ' 1 y' 1 
Thay vào (1) ta có 1
 9 4
 2 2
 x ' 1 y' 1 
Phương trình của E ' là 1
 9 4
Dạng 2: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
1 – B 2 – A 3 – C 4 – A 5 – A 6 – A 7 – C 8 – B 9 – C 10 - A
Câu 1: 
  
 xA' xA xv xA' 3 1 2
Ta có T A A' xA ;yA AA' v A' 2;0 .
 v y y y y 3 3 0
 A' A v A'
Câu 2: 
  
Ta có MP 4;2 
  
Gọi N ' x ';y' là ảnh của N 4;1 qua phép tịnh tiến theo vectơ MP .
 x ' x a x ' 4 4 x 0
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến , ta có: 
 y' y b y' 1 2 y 3
 Trang 9 Vậy N ' 0;3 
Câu 3: 
  
Ta có MM ' 13;7 .
  
 ' ' 13;7
Tv M M MM v v 
Câu 4: 
 '
 Tv M M 2 2
Ta có MN M 'N ' 2 0 1 2 5
 T N N '
 v 
Câu 5: 
  
Ta có tọa độ trọng tâm ABC là G 2;1 ; BC 6; 3 .
    
 xG ' xG xBC xG ' 2 6 4
  
T G G ' xG ' ;yG ' GG ' BC G ' 4; 2 
 BC y y y y 1 3 2
 G ' G BC G '
Câu 6: 
Cách 1: 
Chọn 1;0 ' 2; 1 '
 A Tv A A 
Chọn 1;1 ' 0;0 '
 B Tv B B 
Đường thẳng ' chính là đường thẳng A’B’.
Đường thẳng ' qua A' 2;1 và có một vec tơ pháp tuyến n 1;2 có phương trình là 
 ' :1 x 2 2 y 1 0 x 2y 0 .
Cách 2:
Vì ' nên ', là hai đường thẳng cùng phương. Do đó ' có dạng 2 0 .
 Tv x y m
Chọn 1;0 ' 2; 1 ' 0
 A Tv A A m
Vậy phương trình đường thẳng ' : x 2y 0
Cách 3:
Sử dụng quỹ tích 
Lấy M xM ;yM xM 2yM 1 0 1 
 x ' xM 1 xM x ' 1
Ta có ' '; ' ' 
 Tv M M x y 
 y' yM 1 yM y' 1
Thay vào (1) ta được x ' 1 2 y' 1 1 0 x ' 2y' 0
Vậy ' : x 2y 0
Nhận xét: Sử dụng cách 3 có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho nhiều loại hình khác nhau.
Câu 7: 
Gọi v a;b là vectơ tịnh tiến biến d thành d’. Khi đó M x;y d biến thành điểm M ' x ';y' d '
 Trang 10