Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Xác định và tính góc

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ④: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
 Chủ đề: XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC
 _ Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng bằng định nghĩa.
 -Phương pháp: Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b .
 ①. Vẽ 2 đường thẳng cắt nhau a và b lần lượt song song với a và b .
 ②. Kết luận a,b a ,b .
 ③. Tính góc bằng kiến thức cơ bản về góc hay các tỷ số lượng giác quen thuộc
 _Bài tập minh họa:   
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Góc giữa cặp vectơ AF và EG bằng
 A. 0o . Ⓑ. 60o . Ⓒ.90o . D.30o .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B 
 B C  Kẽ nhanh các đoạn thẳng FC và AC thấy 
 ngay tam giác AFC đều.
 A D
 F G
 E H
       
Nhận xét EG AC nên AF; EG AF; AC F· AC
.
Tam giác FAC là tam giác đều nên F· AC 60o .
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
 A. 600 . Ⓑ.900 . Ⓒ. 450 .D. 300 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Dễ thấy CD vuông góc với mp(ABE).Do đó 
 CD vuông góc với AB A
 D
 B
 E
 C
Gọi E là trung điểm của CD do các tam giác ACD
, BCD đều nên 
 AE  CD
 CD  ABE CD  AB .
 BE  CD
 Vậy góc giữa hai đường thẳng A B và CD bằng 900 . 
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB a , SA a 3 và vuông góc với 
 (ABCD) . Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD
 Ⓐ. 60 0 . Ⓑ. 30 0 . Ⓒ. 450 . Ⓓ. 90 0 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
  . Dễ thấy S·B,CD S·B, AB S· BA
  Casio: chọn a=1
Ta có ABCD là hình bình hành AB / /CD .
Do đó S·B,CD S·B, AB S· BA
Vì SA  (ABCD) SA  AB SAB vuông tại A 
Xét tam giác vuông SAB ta có: 
 SA a 3
 tan S· BA 3 S· BA 600
 AB a
Vậy S·B,CD 600
. Bài tập áp dụng: 
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng 
 BC '?
 Ⓐ. A ' D . Ⓑ. AC . Ⓒ. BB '. Ⓓ. AD '.
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và DD là
 Ⓐ. 90 . Ⓑ. 60 . Ⓒ. 45. Ⓓ.120 .
Câu 3: Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . 
 Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng
 Ⓐ. 45° . Ⓑ. 30°. Ⓒ. 60° . Ⓓ. 90° .
Câu 4: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. OA vuông góc với đường thẳng nào sau 
 đây? Ⓐ. BC . Ⓑ. AB . Ⓒ. AC . Ⓓ.OB .
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC . Khi đó 
 BC vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
 Ⓐ. AC . Ⓑ. AB . Ⓒ. AH . Ⓓ. SC .
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AC 3a, BD 4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết 
 AC vuông góc BD . Tính MN .
 5a 7a a 7 a 5
 Ⓐ. MN . Ⓑ. MN . Ⓒ. MN . Ⓓ. MN .
 2 2 2 2
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có BC = a 2 , các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng 
 SB và AC bằng
 Ⓐ. 90° . Ⓑ. 60° . Ⓒ. 30° . Ⓓ. 45° .
Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 900 . Ⓒ. 450 . Ⓓ.300 .
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD ' và 
 A'C ' bằng.
 Ⓐ. 300. Ⓑ. 900. Ⓒ. 600. Ⓓ. 450.
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng BA’ và B’D’ bằng
 Ⓐ. 450 . Ⓑ. 900 . Ⓒ. 300 . Ⓓ. 600 .
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB a , SA a 3 và vuông góc với 
 (ABCD) . Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD
 Ⓐ. 60 0 . Ⓑ. 30 0 . Ⓒ. 450 . Ⓓ. 90 0 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.A 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B 9.C 10.D 11.A
 _ Dạng 2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
 -Phương pháp: Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ta thực hiện các bước 
 sau: 
 ①. Tìm O a  ( ) .
 ②. Lấy A a và dựng AH  ( ) tại H . Khi đó a,( ) (a, a ') ·AOH .
 ③. Tính số đo của góc ·AOH
 A a
 a' 
 O H
 . Chú ý:  00 a,( ) 900
  Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tại I thì góc của đường thẳng và mặt 
 phẳng tại I.
 . Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông cân tại B . Cho độ dài 
 các cạnh SA AB a . Góc giữa đường thẳng SB và ABC là
 Ⓐ. S· BA Ⓑ. S·A;SC Ⓒ. S· AB Ⓓ. S· BC 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A 
 S  . Dễ thấy giao điểm của đường thẳng SB 
 và ABC là B và AB là hình chiếu của AB lên 
 (ABC)
 Do đó (S·B;(ABC) (·SB; AB) S· BA
 A C
 B
 SA  (ABC) nên A là hình chiếu vuông góc của S lên 
(ABC)
 AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)
 (S·B;(ABC) (·SB; AB) S· BA 
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường 
 thẳng CD và mặt phẳng ABD là
 Ⓐ. C· DA . Ⓑ. C· AB. Ⓒ. B· DA. Ⓓ.C· DB .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
  . Dễ thấy giao điểm củaCD và mặt phẳng 
 ABD là D và BD là hình chiếu của CD lên 
 (ABC)
 Do đó góc giữa đường thẳng CD và mặt 
 phẳng ABD là góc C· DB . 
 Từ giả thiết, ta có: BC  ABD BD là hình chiếu 
 vuông góc của CD trên ABD nên góc giữa đường 
 thẳng CD và mặt phẳng ABD là góc C· DB .
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA 2a và SA vuông góc với (ABCD) . 
 Góc giữa SC và ABCD bằng
 Ⓐ. 450 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 600 . Ⓓ.900 . Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A ·
  Dễ thấy (SC, (ABCD)) SCA
 S
 AC a 2 , SA 2a 
 ·
 ⇒ tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ SCA 450 
 A D
 B
 C
 Vì SA vuông góc với đáy nên góc 
 ·
 (SC, (ABCD)) SCA
 Trong hình vuông ABCD có: AC a 2 , theo giả 
 thiết, SA 2a ⇒ tam giác SAC vuông cân tại A ⇒ 
 ·
 SCA 450 
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a . Góc 
 giữa đường thẳng SB và (SAC) là
 Ⓐ. 30° . Ⓑ. 75° . Ⓒ. 60° . Ⓓ. 45° .
 Lời giải. PP nhanh trắc nghiệm
Chọn A  Dễ thấy góc giữa đường thẳng SB và 
 S (SAC) là góc B· SI
 A
 D
 I
 B C
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD . 
Vì ABCD là hình vuông nên BD ^ AC ; Vì . Casio:
 SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD
Suy ra BD ^ (SAC), do đó góc giữa đường thẳng SB 
và (SAC) là góc B· SI
 a 2
Ta có: SB= a 2 ; BI =
 2
 BI 1
 Þ sin B· SI = = Þ B· SI = 30° .
 SB 2
. Bài tập áp dụng: 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng 
 đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
 Ⓐ. SB và AB . Ⓑ. SB và SC . Ⓒ. SA và SB . Ⓓ. SB và BC .
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường 
 thẳng CD và mặt phẳng ADB là góc Ⓐ. C· DA. Ⓑ. C· AB. Ⓒ. B· DA. Ⓓ.C· DB .
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' góc giữa A'C ' và mặt phẳng BCB 'C ' bằng
 Ⓐ. 450 . Ⓑ. 00 . Ⓒ. 900 . Ⓓ.300 .
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA 2a và SA vuông góc với (ABCD) . 
 Góc giữa SC và ABCD bằng
 Ⓐ. 450 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 600 . Ⓓ.900 .
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a . Góc 
 giữa đường thẳng SB và (SAC) là
 Ⓐ. 30° . Ⓑ. 75° . Ⓒ. 60° . Ⓓ. 45° .
Câu 6: Cho khối chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông tại B , AC 2a , BC a ,
 SB 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC .
 Ⓐ. 45 . Ⓑ. 30 . Ⓒ. 60 . Ⓓ. 90 .
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và 
 SA a . Gọi là góc tạo bởi SB và mặt phẳng ABCD . Xác định cot ?
 1 2
 Ⓐ. cot 2 . Ⓑ. cot . Ⓒ. cot 2 2 . Ⓓ. cot .
 2 4
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc ABC . Góc giữa SC với ABC là góc giữa
 Ⓐ. SC và AC . Ⓑ. SC và AB . Ⓒ. SC và BC . Ⓓ. SC và SB .
Câu 9: Cho hình thoi ABCD tâm O có BD 4a, AC 2a . Lấy điểm S không thuộc ABCD sao cho 
 1
 SO  ABCD . Biết tan S· BO . Tính số đo góc giữa SC và ABCD .
 2
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 750 . Ⓒ. 300 . Ⓓ. 450 .
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA 2a 3 , AB 2a , tam giác ABC vuông cân tại B . 
 Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng SAB bằng
 Ⓐ. 90 . Ⓑ. 60 . Ⓒ. 45 . Ⓓ. 30 .
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC có SA^ (ABC), tam giác ABC vuông tại B , AC = 2a , BC = a , 
 SB = 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).
 Ⓐ. 45° . Ⓑ. 30° . Ⓒ. 60° . Ⓓ. 90° .
Câu 12: Cho hình chóp đều S.ABC có SA 2a, AB 3a. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
 Ⓐ. 300 Ⓑ. 450 Ⓒ. 600 Ⓓ.900
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Góc giữa đường 
 thẳng CD và mặt phẳng ADB là góc
 Ⓐ. C· DA. Ⓑ. C· AB. Ⓒ. B· DA. Ⓓ.C· DB .
Câu 14: Cho hình chóp S.MNP có đáy là tam giác đều, MN = a , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, 
 SP = 2a , với 0 < a Î ¡ . Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng đáy. Ⓐ. 45° . Ⓑ. 90° . Ⓒ. 60° . Ⓓ.30°.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi M là trung điểm của SD . 
 Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD .
 2 1
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 3 3
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , SA  ABC , SA a 3 . Tính góc 
 giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC .
 Ⓐ. 75° . Ⓑ. 45° . Ⓒ. 60° . Ⓓ. 30° .
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh SA vuông góc với đáy, 
 AB a, AD a 2, SA a 3 . Số đo của góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng
 Ⓐ. 300 . Ⓑ. 450 . Ⓒ. 600 . Ⓓ. 750 .
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, tâm O ; SA  (ABCD) . Góc 
 10
 giữa SC và (SAB) bằng với tan . Tính góc giữa SO và ABCD .
 5
 Ⓐ. 900 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 450 . Ⓓ. 600 .
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; 
 SA AB a . Gọi là góc giữa SB và mặt phẳng SAC , tính ?.
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 450 . Ⓓ.Đáp án khác
Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa SC và mặt 
 phẳng (ABCD) ?
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 900 . Ⓓ. 450
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.D 3.A 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
 11.B 12.A 13.D 14.C 15.D 16.C 17.B 18.D 19.B 20.D _ Dạng 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng.
 -Phương pháp: 
 Cho hai mặt phẳng   và   . Trong 
 vẽ đường thẳng a  và trong  vẽ đường thẳng 
 b  . Khi đó, ta có · ,  ·a,b .
 -Mô hình nhanh thường gặp.
  Chú ý: Nếu ABC đều thì I là 
 trung điểm của BC
  Các bước xác định góc:
 ①. Tìm giao tuyến chung của hai 
 mp
 ②. Từ chân đường cao kẽ đường 
 thẳng vuông góc với giao tuyến của 
 hai mp tại điểm I
 ③. Nối I về đỉnh S của 
 chóp.
 ④. Xác định góc S¶IA
 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ACC A bằng:
 Ⓐ. 60 . Ⓑ. 45 . Ⓒ. 90 . Ⓓ. 30 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 A' D'
 C'
 Ta có: B'
 BD  AC 
 D
  BD  ACC A ABCD  ACC A . A
 BD  AA 
 B C
Câu 2: Cho hình vuông ABCD . Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và 
 nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và 
 BC . Góc giữa hai mặt phẳng SHC và SDI bằng
 Ⓐ. 30 . Ⓑ. 60 . Ⓒ. 90 . Ⓓ. 45 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 Do H là trung điểm của AB SH  ABCD DI  SH . µ ¶ ¶ µ S
Ta lại có: BCH CDI c.g.c C1 D1 , mà D1 I1 90
 µ µ
 C1 I1 90 DI  HC
Khi đó DI  SHC SDI  SHC 
 A D
Vậy góc giữa hai mặt phẳng SHC và SDI bằng 90 1
 H
 1 1
 B I C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a. Đường thẳng SO vuông 
 a 3
 góc với mặt phẳng đáy ABCD và SO . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và 
 2
 ABCD .
 Ⓐ. 30 . Ⓑ. 45 . Ⓒ. 60 . Ⓓ. 90 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 Gọi Q là trung điểm BC , suy ra OQ  BC . S
 BC  OQ
Ta có BC  SOQ 
 BC  SO
Do đó · SBC , ABCD S·Q,OQ S· QO.
 A B
 · SO
Tam giác vuông SOQ , có tan SQO 3. O Q
 OQ D C
Vậy mặt phẳng SBC hợp với mặt đáy ABCD một góc 60
.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , SA  ABC , SA 3cm, AB 1cm . Mặt 
 bên SBC hợp với mặt đáy góc bằng
 Ⓐ. 900 Ⓑ. 600 Ⓒ. 450 Ⓓ.300 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  
 s
 SBC  ABC BC
 ABC có AB  BC tại B
 SBC có SB  BC tại B (vì BC  SAB )
 góc giữa SBC và mặt đáy ABC bằng góc giữa SB và AB 
 C
 A
 S· BA .
 SA 3
 tan S· BA 3 S· BA 600 . B
 AB 1
Vậy góc giữa SBC và mặt đáy ABC bằng 600 .
_Bài tập áp dụng: Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy ABCD; Tính góc giữa hai 
 mặt phẳng (SAB) và (SAD)
 Ⓐ. 30 0 . Ⓑ. 450 . Ⓒ. 60 0 . Ⓓ. 90 0 .
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Khi đó mặt bên ABC tạo với mặt đáy BCD một góc thoả 
 mãn điều kiện nào dưới đây?
 1 1 1 2
 Ⓐ. cos = Ⓑ. cos = Ⓒ. cos = Ⓓ.cos =
 2 3 4 2
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD . Góc giữa hai 
 mặt phẳng SBD và ABD là góc nào sau đây
 Ⓐ. S· BA Ⓑ. S·OA Ⓒ. S·CA Ⓓ. S·DA
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ABCD , gọi O là tâm hình 
 vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai?
 Ⓐ. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc ·ABS .
 Ⓑ. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc S· OA .
 Ⓒ. Góc giữa hai mặt phẳng SAD và ABCD là góc S· DA .
 Ⓓ. SAC  SBD .
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Đường thẳng SO vuông góc 
 a 3
 với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (ABCD).
 2
 Ⓐ. 30 0 . Ⓑ. 450 . Ⓒ. 60 0 . Ⓓ. 90 0 .
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ACC A bằng:
 Ⓐ. 60 . Ⓑ. 45 . Ⓒ. 90 . Ⓓ. 30 .
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các đường 
 2
 thẳng AA , BB ,CC thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng 
 MNP và ABCD là.
 Ⓐ. 60 . Ⓑ. 30 . Ⓒ. 45. Ⓓ.120
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông, BA BC a , cạnh bên 
 AA a 2 . Gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng A BC và ABC . Tính tan .
 1 1 6
 Ⓐ. tan . Ⓑ. tan . Ⓒ. tan 2 . Ⓓ. tan .
 2 3 3
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng A AC và ABCD bằng
 Ⓐ. 60 . Ⓑ. 30 . Ⓒ. 90 . Ⓓ. 45 .
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA SC . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và 
 ABCD bằng?
 Ⓐ. 90 . Ⓑ. 30 . Ⓒ. 60 . Ⓓ. 45 .