Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Khoảng cách

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ④: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
 Chủ đề: KHOẢNG CÁCH
 _ Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
 -Phương pháp: 
 . Xác định hình chiếu H của A trên d
 . Khi đó ta có: d A,d AH
 . Tính độ dài AH bằng kiến thức hình học phẳng cơ bản, các định 
 lý và hệ thức lượng trong tam giác.
 . Bài tập minh họa: 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc 
 S
và SA AB BC 1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào 
trong các giá trị sau ?
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. 
 3
 Ⓒ.2. Ⓓ. . A
 2 C
 B
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B 
 SA  AB  Casio: Xét tam giác SAC
  Do nên SA  (ABC) SA  AC
 SA  BC
 Như vậy 
 SC SA2 AC 2 SA2 (AB2 BC 2 ) 3
Câu 2: Cho hình chóp A.BCD có AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 và 
 M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng
 3a 2 2a 3 4a 5 a 11
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 3 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
  Casio: 
  Chú ý chọn a=1 khi tính Casio AC  BD
 Ta có: BD  AM (Định lý 3 đường 
 CM  BD
vuông góc) d A; BD AM .
 a 3
CM (vì tam giác BCD đều). 
 2
 3a2 a 11
 Ta có: AM AC 2 MC 2 2a2 .
 4 2
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập 
phương đó đến đường thẳng CD bằng
 a 6 a 3
 Ⓐ. a 2 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. a 3 .
 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn B
Gọi M là trung điểm của CD . Do ABCD.A B C D là  Casio: Pitago cho tam giác vuông AMD’
hình lập phương nên tam giác ACD ' là tam giác đều 
 a 6
cạnh a 2 . AM  CD d A,CD AM 
 2
 B C
 A D
 M
 B'
 C'
 A'
 D'
_Bài tập áp dụng: 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ 60. Biết 
 SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .
 Ⓐ. 4a 3 . Ⓑ. 2a 5 . Ⓒ. 5a 6 . Ⓓ. 3a 2 .
 3 5 2 2
 a 3
Câu 2: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm của đáy và SO . Gọi I là 
 3
 trung điểm của BC và K là hình chiếu của O lên SI. Tính khoảng cách từ điểm O đến SA.
 a 3 a 2 a 6 a 5
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 6 5
 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy, H, K 
 lượt là hình chiếu của A lên SI, SD . Kí hiệu d(A,(SBD)) là khoảng cách giữa điểm A và mặt 
 phẳng (SBD) . Khẳng định nào sau đây đúng?
 Ⓐ. d(A,(SBD)) AD . Ⓑ. d(A,(SBD)) AH .
 Ⓒ. d(A,(SBD)) AI . Ⓓ. d(A,(SBD)) AK .
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm C đến AC.
 a 6 a 6 a 6 a 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 2 7 2 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bµ 600 . Biết 
 SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến SC .
 2a 5 5a 6 3a 2 4a 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 5 2 2 3
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA 3a , 
 AB a 3 , BC a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng
 Ⓐ. a 3 . Ⓑ. a 2 . Ⓒ. 2a . Ⓓ. 2a 3 .
Câu 7: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC  BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC a 2 
 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
 7 4 2 6
 Ⓐ. a . Ⓑ. a . Ⓒ. a . Ⓓ. a .
 5 7 3 11
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là 
 tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC .
 Ⓐ. a 3 . Ⓑ. a 3 . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. a 2 .
 3 4 3 4
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng 
 B D bằng
 a 6 a 6 a 3 a 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 2 3 2
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
 2a
 SA = 2a , AB = AC = a . Gọi M là điểm thuộc AB sao cho AM = . Tính khoảng cách d từ 
 3
 điểm S đến đường thẳng CM .
 a 10 a 110 2a 10 2a 110
 Ⓐ. d . Ⓑ. d . Ⓒ. d . Ⓓ. d .
 5 5 5 5
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. 
 H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SC,SD . Kí hiệu d(A,(SCD)) là khoảng cách giữa điểm 
 A và mặt phẳng (SCD) . Khẳng định nào sau đây đúng?
 Ⓐ. d(A,(SCD)) AH . Ⓑ. d(A,(SCD)) AD .
 Ⓒ. d(A,(SCD)) AC . Ⓓ. d(A,(SCD)) AK .
Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng 
 . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
 a 2 a 2
 Ⓐ. a 2 tan . Ⓑ. cos . Ⓒ. sin . Ⓓ. a 2 cot .
 2 2
Câu 13: Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là a,b,c.
 1 2 2 2 1
 Ⓐ. a b c . Ⓑ. a b c. Ⓒ. a2 b2 c2 . Ⓓ. a b c.
 2 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là 
trung điểm BC , J là trung điểm BM . Kí hiệu d(A,(SBC)) là khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng
(SBC) . Khẳng định nào sau đây đúng?
 Ⓐ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SB . Ⓑ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SM .
 Ⓒ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SC .
 Ⓓ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SJ .
Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a, AD b, AA c . Tính khoảng cách từ điểm A 
 đến đường thẳng BD :
 c b2 c2 abc b2 c2 a b2 c2 b b2 c2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2
Câu 16: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . G là trọng tâm tam giác A BD . Khoảng 
 từ A tới mặt phẳng (A BD) là
 a 6 a 2 a 3 a 3
 Ⓐ. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 . 3 2 3
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là 
 trung điểm BC , J là hình chiếu của A lên BC . Kí hiệu d(A,(SBC)) là khoảng cách giữa điểm 
 A và mặt phẳng (SBC) . Khẳng định nào sau đây đúng?
 Ⓐ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SC.
 Ⓑ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SM.
 Ⓒ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SB.
 Ⓓ. d(A,(SBC)) AK với K là hình chiếu của A lên SJ.
 2a
Câu 18: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và 
 3
 OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng
 a a
 Ⓐ. a 3 . Ⓑ. a 2 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 2 3 2
Câu 19: Cho tam giác ABC có AB 14, BC 10, AC 16 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
 ABC tại A lấy điểm O sao cho OA 8 . Khoảng cách từ điểm O đến cạnh BC là
 Ⓐ.8 3. Ⓑ.16. Ⓒ.8 2. Ⓓ. 24.
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA  ABC và SA a 6 . Gọi M là 
 trung điểm của BC, khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng SM bằng
 Ⓐ. a 6 . Ⓑ. a 11 . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. a 3 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.A 9.B 10.B
 11.D 12.C 13.C 14.B 15.C 16.D 17.D 18.A 19.B 20.C _ Dạng 2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
-Phương pháp: Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng α thì điều quan trọng 
nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm M trên . 
①. A là chân đường cao, tức là A º H .
 . Dựng AK   SAK  SAK và  SAK SK .
 . Dựng AP  SK AP  d A, AP.
②. Dựng đường thẳng AB P P .
 . Khi đó ta có: d B, P d A, P .
③.Đường thẳng AB cắt P tại I:
 d B, P BK BI
 . Khi đó ta có: 
 d A, P AH AI
 1
④. Casio: sử dụng công thức AH 
 1: x2 1: y2
 . Mô hình nhận biết khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp cơ bản
 _Bài tập minh họa: 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA a 3 , 
 AB a 3 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng
 a 3 a 2 2a 5 a 6
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 5 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
 Kẻ AH  SB .  Casio: Chọn a=1; 
 BC  SA 1
Ta có: BC  SAB BC  AH . Dùng công thức: AH 2 2
 BC  AB 1: x 1: y
Suy ra AH  SBC d A; SBC AH .
Trong tam giác vuông SAB ta có:
 1 1 1 SA.AB 6a
 2 2 2 AH .
 AH SA AB SA2 AB2 2
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến BCD bằng: 
 a 6 a 6 a 3 a 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 6 3 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B
  Ta có: AO  BCD O là trọng tâm tam giác BCD . .Casio: Chọn a=1
 3a2 a 6
 d A; BCD AO AB2 BO2 a2 .
 9 3
Câu 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a . Khoảng cách từ A đến 
 SCD bằng
 a 14 a 14 a 14
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. a 14 . Ⓓ. .
 3 4 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
  . Casio: Chọn a=1
 Gọi O AC  BD. 
 Do S.ABCD chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và 
 SO  ABCD .
 d A, SCD AC
 Khi đó: 2
 d O, SCD OC
 d A, SCD 2.d O, SCD 
 .
 2h
 Xét ACD vuông tại D ta có: AC AD2 CD2
 CD 2 2a 2 OC OD a 2 .
 Xét SOC vuông tại O có: SO SC2 OC2
 2 2
 3a a 2 a 7 .
 Trắc nghiệm chỉ cần dựng hình xác 
 Do tứ diện SOCD có ba cạnh OS, OC, OD đôi một vuông định khoảng cách là bấm máy xong.
 góc 
 1 1 1 1
 h2 OS 2 OC 2 OD2
 1 1 1 8 a 14
 2 2 2 2 h .
 a 7 a 2 a 2 7a 4
 a 14
 Vậy khoảng cách từ A đến SCD bằng .
 2
_Bài tập áp dụng: Câu 1: Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC vuông cân và nằm trong mặt phẳng vuông 
 góc với nhau, AB AC DB DC 2a . Tính khoảng cách từ B đến mp (ACD) .
 a 6 a 6 2a 6
 Ⓐ. a 6 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 2 3
 1
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC AD a . Biết SA 
 2
 vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tính theo a khoảng cách từ B đến SDC .
 1 1 a 2
 Ⓐ. d a . Ⓑ. d a . Ⓒ. d a . Ⓓ. d .
 2 4 2
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, AB 2a , AD a . Hình chiếu của S lên mặt 
 phẳng ABCD là trung điểm H của AB , SC tạo với đáy một góc 45o . Khoảng cách h từ 
 điểm A đến SCD là:
 6 3 3 6
 Ⓐ. h a . Ⓑ. h a . Ⓒ. h a . Ⓓ. h a .
 3 3 6 4
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm 
 trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mp SCD bằng
 a 21 a 21 a 21 a 21
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 5 6 8
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB 2a; AD a 3 . Hình chiếu của S 
 lên mặt đáy là trùng với trung điểm của đoạn AB . Biết góc giữa mặt phẳng SCD và đáy là 
 600 . Tính khoảng cách từ B đến SCD .
 2a 15 2a
 Ⓐ. d B, SCD . Ⓑ. d B, SCD .
 5 3
 3a 30
 Ⓒ. d B, SCD . Ⓓ. d B, SCD a .
 2 13
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA  ABC . Gọi M , N lần lượt 
 là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 
 là đoạn thẳng nào sau đây?
 Ⓐ. AN . Ⓑ. AC . Ⓒ. AM . Ⓓ. AB .
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết AB BC a .
 AD 2a , SA a 3 , SA  ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SA . Tính khoảng 
 cách từ M đến NCD theo a
 a 66 a 66 a 66
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 2a 66 .
 11 22 44
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C . Cạnh bên AA a , ABC là tam giác vuông tại A có 
 BC 2a , AB a 3 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng A BC .
 a 21 a 21 a 3 a 7
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 21 7 21
Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt 
 phẳng BCD . a 3 a 6
 Ⓐ. . Ⓑ. a . Ⓒ. a 6 . Ⓓ. .
 2 3
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết 
 6a
 khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD 
 7
 bằng
 12a 3a 4a 6a
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 7 7 7
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 3 và vuông góc với mp 
 đáy. Tính d A, SBC 
 a 2 a 3 a a
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 2 3
Câu 12: Cho tứ diện OABC có OA vuông góc OB ,OA vuông gócOC , góc B· OC 120 . Giả sử OA a ,
 OB b , OC c . Gọi h là khoảng cách từ C đến OAB . Lựa chọn phương án đúng.
 c 2 c 3 c 3 c
 Ⓐ. h . Ⓑ. h . Ⓒ. h . Ⓓ. h .
 2 3 2 2
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt 
 phẳng đáy, SA a. Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB là
 a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. a. Ⓒ. a 2 . Ⓓ. 2a..
 2
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a, SA SB SC . Góc 
 giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 450 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt 
 phẳng ABC .
 a 3 a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. a 3 .
 3 2
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA 2a; AB 3a . Gọi M là trung điểm của SA . Tính 
 khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC .
 3 21 3 3 3 3 3 21
 Ⓐ. a . Ⓑ. a . Ⓒ. a . Ⓓ. a .
 14 2 4 7
Câu 16: Cho tứ diện OABC có OA 2;OB 3;OC 4 và OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. 
 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC là
 12 13 12 6
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 5 61 61 61
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và 
 a 2 3
 SA a 3 . Biết diện tích tam giác SAB là , khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC 
 2
 là
 a 10 a 10 a 2 a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 5 3 2
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A . ·ABC 30, tam giác SBC là tam 
 giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h 
 từ điểm C đến mặt phẳng SAB . 2a 39 a 39 a 39 a 39
 Ⓐ. h . Ⓑ. h . Ⓒ. h . Ⓓ. .
 13 52 13 26
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hai mặt phẳng (SAB) và 
 (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA =1. Gọi M là trung điểm SD . Khoảng cách từ 
 M đến mặt phẳng (SBC) bằng
 2 1 2
 Ⓐ.1. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 2 2
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt 
 đáy, SA a 3 ; gọi M là trung điểm của AC . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SBC .
 a 3 a 6
 Ⓐ. d M , SBC . Ⓑ. d M , SBC .
 3 2
 a 6 a 3
 Ⓒ. d M , SBC . Ⓓ. d M , SBC .
 4 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.C 8.A 9.D 10.D
 11.B 12.C 13.B 14.B 15.A 16.C 17.D 18.C 19.B 20.C