Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 4: Số phức - Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ④: SỐ PHỨC
 Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 
  Dạng ①: Tìm Căn bậc hai của số thực âm 
 . Lý thuyết cần nắm:
 ①. Căn bậc hai của 1 là i và i vì i2 1 và i 2 1 .
 ②. Căn bậc hai của số thực a 0 là i a và i a .
 a 2 3 4
 Căn bậc hai của a i 2 i 3 2i
 .Tổng quát : Số phức z được gọi là một căn thức bậc 2 của số phức w nếu z2 w .
 . Phương pháp giải: 
 ①. Cách 1: 
  Gọi z x yi (x, y ¡ ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2 w 
 (x yi)2 a bi
 x2 y2 a x ...
 2xy b y ...
  Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc 
 hai z x yi của số phức w .
 ②. Cách 2: Có thể biến đổi w z2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và z .
 ③. Casio 570NV Plus
  Cách 1: Lệnh Pol & Rec. 
  Cách 2: Mode 2 dùng lệnh shift 2.
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1. Trong £ , căn bậc hai của 121 là
 Ⓐ. 11i Ⓑ. 11i Ⓒ. 11 Ⓓ. 11i và 11i
 Lời giải PP trắc nghiệm nhanh
 Chọn D  Casio:
 Ta có
 z2 121 z2 121 0
 z 11i
 z 11i
 Câu 2. Trong £ , căn bậc hai của 3 là
 Ⓐ. 3i Ⓑ. 3i Ⓒ. 3 Ⓓ. 3i và 3i
 Lời giải PP trắc nghiệm nhanh
  Casio:
 Chọn D
 Ta có
 z2 3 z2 3 0
 z 3i
 z 3i
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1. Tìm các căn bậc hai của 9 .
 Ⓐ. 3i Ⓑ. 3 Ⓒ. 3i Ⓓ. 3
Câu 3. Căn bậc hai của số phức của số 8 bằng bao nhiêu?
 Ⓐ. 2 2i Ⓑ. 2 2i Ⓒ. 2i Ⓓ. 2 
Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
 Ⓐ. 1 1 Ⓑ. 1 i Ⓒ. 1 i Ⓓ. 1 i 
Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai?
 Ⓐ. 3 3 Ⓑ. 3 3i Ⓒ. 4 2i Ⓓ. 1 i 
Câu 6. Căn bậc hai của số phức của số 5 bằng bao nhiêu?
 Ⓐ. 5. Ⓑ. 4 5i. Ⓒ. 5i. Ⓓ. 5i.
Câu 7. Trong tập số phức, mệnh đề nào dưới đây sai? 
 2
 Ⓐ. Căn bậc hai của 25 là 5i. Ⓑ. 6i 36. Ⓒ. Căn bậc hai của 4 là 2i. Ⓓ. Căn bậc hai của 9 là 3.
Câu 8. Trong tập số phức, mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 Ⓐ. Căn bậc hai của 16 là 4i. Ⓑ. Căn bậc hai của 100 là 10.
 Ⓒ. Căn bậc hai của 10 là 10i. Ⓓ. 3i2 9.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.A 3.D 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C
  Dạng ②. Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai – tìm các yếu tố liên quan 
 tới hai nghiệm thức chứa lũy thừa.
 -Phương pháp: 
 ①. Tính b2 4ac .
 ②. Áp dụng công thức nghiệm.
 ③. Casio: Dùng chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính Casio.
 Sto các nghiệm vào A, B: vào mode 2 Alpha gọi nó ra tính các giá trị biểu thức liên quan đến 
 nghiệm
A - Bài tập minh họa: 
 2
Câu 1: Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng
 Ⓐ. 2 5 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 10.
 Quy trình bấm máy PP trắc nghiệm nhanh
 Bấm máy  Casio
 Màn hình hiển thị nghiệm + Lúc giải phương trình là máy ở chế độ 
 tính toán bình thường, nhưng khi tính 
 z1 z2 thì phải chuyển tính năng máy 
 sang chế độ số phức mode 2 
 Chọn A
 2 2 2
Câu 2: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 10 0 . Giá trị của z1 z2 bằng 
 Ⓐ. 16. Ⓑ. 56. Ⓒ. 20. Ⓓ. 26.
 Quy trình bấm máy. PP trắc nghiệm nhanh
 Bấm máy Casio
 Màn hình hiển thị nghiệm.  Bài này có thể nhẩm nhanh hơn bằng 
 định lý viet
 2 2 2
 z1 z2 z1 z2 2z1z2 16
 + Màn hình hiển thị kết quả :
Chọn A
 2 z1
Câu 3: Trong £ , phương trình z z 1 0 có nghiệm là: z1; z2 với z1 có phần ảo âm. Hãy tính 
 z2
 1 3 3 3 1 3 3 3
 Ⓐ. i Ⓑ. i
 2 2 2 2
 1 3 1 3
 Ⓒ. i Ⓓ. i 
 2 2 2 2
 Quy trình bấm máy PP trắc nghiệm nhanh
 Bấm máy Casio
 Màn hình hiển thị nghiệm.  bấm MT ra hai nghiệm
  gán hai nghiệm phù hợp
  bấm mt Chọn D
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Trong £ , cho phương trình bậc hai az2 bz c 0 * a 0 . Gọi b2 4ac . Ta xét các 
 mệnh đề:
 1) Nếu là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
 2) Nếu 0thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt
 3) Nếu 0 thì phương trình có một nghiệm kép
 Trong các mệnh đề trên:
 Ⓐ. Không có mệnh đề nào đúng Ⓑ. Có một mệnh đề đúng
 Ⓒ. Có hai mệnh đề đúng Ⓓ. Cả ba mệnh đề đều đúng
Câu 2: Trong £ , phương trình z2 4 0 có nghiệm là
 z 2i z 1 2i z 1 i z 5 2i
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. 
 z 2i z 1 2i z 3 2i z 3 5i
Câu 3: Trong , £ phương trình z2 z 1 0 có nghiệm là
 3 1 3 5 1 5
 z 1 i z i z 1 i z i
 2 2 2 2 2 2
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. 
 3 1 3 5 1 5
 z 1 i z i z 1 i z i
 2 2 2 2 2 2
 2
Câu 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 10 0 . Giá trị của biểu thức 
 2 2
 A z1 z2 bằng
 Ⓐ. .1 5 Ⓑ. . 19 Ⓒ. 20 . Ⓓ. .17
 2
Câu 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 3 0 . Giá trị của biểu thức bằng 
 z1 z2 bằng 
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 3 3 . Ⓓ. 2 3 . 2
Câu 6. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z 8z 5 0 . Tính S z1 z2 z1z2 .
 13 3
 Ⓐ. S 3. Ⓑ. S 15 . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 5 5
 2 2 2
Câu 7. Giả sử z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 2z 8 0 . Giá trị của A z1 z2 z1z2 
 bằng
 Ⓐ. 16 2 . Ⓑ. 16 2 . Ⓒ. 8 2 . Ⓓ. 8 2 .
 2
Câu 8: Trong £ , biết z1, z2 là nghiệm của phương trình z 6z 34 0 . Khi đó, tích của hai nghiệm 
 có giá trị bằng:
 Ⓐ. -16 Ⓑ. 6 Ⓒ. 9 Ⓓ.34
 2
Câu 9: Trong £ , biết z1, z2 là nghiệm của phương trình z 3z 1 0 . Khi đó, tổng bình phương của 
 hai nghiệm có giá trị bằng:
 Ⓐ. 0 Ⓑ. 1 Ⓒ. 3 Ⓓ. 2 3 
Câu 10: Trong £ , biết z , z là nghiệm của phương trình z2 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z z 2
 1 2 1 2 
 bằng:
 Ⓐ. 0 Ⓑ. 1 Ⓒ. 2 Ⓓ.4
Câu 11: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 2z 2 0
 Ⓐ. 0 Ⓑ. 1 Ⓒ. 2 Ⓓ. Vô số nghiệm.
 2
Câu 12: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm.
 Lúc đó z1 là
 Ⓐ. 1 5i Ⓑ. 1 5i Ⓒ. 5 i Ⓓ. 5 i
 2
Câu 13: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 . Khi đó A z1 z2 có giá trị là
 Ⓐ. 3 Ⓑ. 3 Ⓒ. 7 Ⓓ. 7 
 2
Câu 14: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2z 9 0. Khi đó A 2z1 z2 có giá trị là 
( với z1 có phần ảo dương).
 Ⓐ. 3 2 2 2i Ⓑ. 3 2 2 2i Ⓒ. 3 2 2 2i Ⓓ. 3 2 2 2i
 2
Câu 15. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z 8z 5 0 . Tính S z1 z2 z1z2 .
 13 3
 Ⓐ. S 3. Ⓑ. S 15 . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 5 5
 2
Câu 16. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 9 0 . Giá trị của z1 z2 z1 z2 
 bằng
 Ⓐ. 2 4 2 . Ⓑ. 2 4i 2 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 2 . z1 2
Câu 17: Thương hai nghiệm của phương trình z 2z 3 0 là ( z1 có phần ảo dương)?
 z2
 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
 Ⓐ. i Ⓑ. i Ⓒ. i Ⓓ. i
 3 3 3 3 3 3 3 3
 2
Câu 18: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 3 0 . Khi đó môn đun của số phức có phần 
 ảo âm là
 Ⓐ. 3 Ⓑ. 3 Ⓒ. 2 Ⓓ. 1 
 2 4 4
Câu 19: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 . Khi đó A z1 z2 có giá trị là
 Ⓐ. 23 Ⓑ. 23 Ⓒ. 13 Ⓓ. 13
 2
Câu 20: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị 
 biểu thức M | z1 | | 3z1 z2 | là
 Ⓐ. 6 2 21 Ⓑ. 6 2 21 Ⓒ. 6 4 21 Ⓓ. 6 4 21
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.D 9.B 10.B
 11.A 12.A 13.A 14.A 15.A 16.A 17.A 18.A 19.A 20.B
  Dạng ③. Tìm nghiệm phương trình bậc 3, trùng phương
 ①. Phương pháp giải: 
 Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích, trong đó mỗi nhân tử là phương 
 trình bậc nhất hoặc bậc hai.
 Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
 Với phương trình trùng phương bậc bốn: az4 bz2 c 0 a 0 : Đặt t z2 .
 ②. Casio: 
 Thế các đáp án vào phương trình để loại suy.
 Với phương trình bậc ba: Dùng chức năng giải phương trình bậc ba trên máy tính.
 Với phương trình trùng phương: giải phương trình bậc bốn trên máy tính 580VNX
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Nghiệm của phương trình z4 z2 2 0 là
Ⓐ. 2; 1. Ⓑ. 2; i. Ⓒ. i 2; 1. Ⓓ. 2;i.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B 
 z4 z2 2 0 CÁCH 1:
  Ta có : z2 2 z 2 
 2 
 z 1 z i
 CALC CÁC ĐÁP ÁN
 CÁCH 2: dùng 580vnx
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1.Trong £ , nghiệm của phương trình z3 8 0 là
 Ⓐ. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i Ⓑ. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i
 Ⓒ. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i Ⓓ. z1 2; z2 1 3i; z3 1 3i
Câu 2. Trong £ , phương trình z4 6z2 25 0 có nghiệm là
 Ⓐ. 8; 5i Ⓑ. 3; 4i Ⓒ. 5; 2i Ⓓ. 2 i ; 2 i 
Câu 3. Trong £ , phương trình z3 1 0 có nghiệm thực là
 1 3 1 3
 Ⓐ. 1 Ⓑ. 1 Ⓒ. i Ⓓ. i
 2 2 2 2
Câu 4. Trong £ , phương trình z4 1 0 có nghiệm ảo là
 Ⓐ. 1 Ⓑ. i Ⓒ. i Ⓓ. i 
Câu 5. Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?
 Ⓐ. 1 Ⓑ. 2 Ⓒ. 3 Ⓓ. 0
Câu 6. Trong £ , phương trình z4 4 0 có nghiệm là
 Ⓐ. 1 4i ; 1 4i Ⓑ. 1 2i ; 1 2i 
 Ⓒ. 1 3i ; 1 3i Ⓓ. ± 1 i ; 1 i Câu 7. Trong trường số phức phương trình z3 1 0 có mấy nghiệm?
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0.
Câu 8. Giải phương trình sau trên £ : z 1 z2 1 z3 1 0
 z 1 z 1 z 1 z 1
 Ⓐ. z i Ⓑ. z i Ⓒ. z i Ⓓ. z i
 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3
 z z z z 
 2 2 2 2
Câu 9. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z4 1 0 trên tập số phức là bao nhiêu?
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 1. Ⓒ. 2. Ⓓ. 0.
Câu 10. Phương trình z6 9z3 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 4. Ⓒ. 2. Ⓓ. 6.
Câu 11. Bộ số thực a;b;c để phương trình z 3 az 2 bz c 0 nhận z 1 i và z 2 làm nghiệm.
 Ⓐ. 4;6; 4 Ⓑ. 4; 6;4 Ⓒ. 4; 6; 4 Ⓓ. 4;6;4 
Câu 12. Trong £ , phương trình z4 1 0 có nghiệm. Tổng của các nghiệm đó là
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 2i . Ⓓ. 0.
Câu 13. Giải phương trình sau trên £ : z2 z 9 4z z2 z 9 5z2 0 
 z i z 2i z 3i z 3i
 Ⓐ. z i Ⓑ. z 2i Ⓒ. z 3i Ⓓ. z 3i
 z 3 z 3 z 3 z 3
Câu 14. Giải phương trình sau trên £ : 2z4 2z3 z2 2z 2 0
 z 1 i z 1 i z 1 i
 z 1 i 
 Ⓐ. 1 1 Ⓑ. Ⓒ. 1 1 Ⓓ. 1 1
 z i z 1 i z i z i
 2 2 2 2 2 2
Câu 15. Tập nghiệm trong £ của phương trình z3 z2 z 1 0 là
 Ⓐ. i;i;1; 1 Ⓑ. i;i;1 Ⓒ. i; 1 Ⓓ. i;i; 1
Câu 16. Trong trường số phức phương trình z3 z 0 có mấy nghiệm?
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 0.
Câu 17. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i
 x 3 x 3 x 3 x 3
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. 
 y 1 y 1 y 1 y 1 Câu 18. Tập nghiệm của phương trình z4 2z2 8 0 là
 Ⓐ. 2; 4i . Ⓑ. 2; 2i. Ⓒ. 2i; 2. Ⓓ. 2; 4i .
Câu 19. Tập nghiệm của phương trình z4 2z2 3 0 là
 Ⓐ. 1; 1;3i; 3i Ⓑ. 1; 2;i; i Ⓒ. 1;3 Ⓓ. 1; 1;i 3; i 3
 4 2
Câu 20. Kí hiệu z1, z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z z 12 0 . 
 Tính tổng T z1 z2 z3 z4 
 Ⓐ. T 4 Ⓑ. T 2 3 Ⓒ. T 4 2 3 Ⓓ. T 2 2 3
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.D
 11.A 12.D 13.D 14.A 15.D 16.B 17.C 18.C 19.D 20.C
  Dạng ④. Mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai
 ①. Phương pháp giải: 
 Tìm các nghiệm của phương trình đã cho thay vào biểu thức
 Dùng định lý Vi-ét để giải quyết yêu cầu bài toánc Vi-ét đối với phương trình bậc 2 s: 
 Với Az2 Bz C 0 (A, B,C ¡ ; A 0) có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có:
 B
 S z z 
 1 2 A
  
 C
 P z z . 
 1 2 A
 .Casio: 
  Dùng chức năng giải phương trình trên máy tính casio (với các phương trình bậc hai, 
 bậc ba, bốn) để suy ra nghiệm.
 Dùng chức năng tính toán trên môi trường số phức để suy ra kết quả. 
A - Bài tập minh họa: 
Câu1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm ? 
 Ⓐ. z 2 2z 3 0 Ⓑ. z 2 2z 3 0 Ⓒ. z 2 2z 3 0 Ⓓ. z 2 2z 3 0
 Lời giải Quy trình bấm máy.
Chọn C  Nhập giải phương trình đáp án A
Định lý viet  Màn hình hiển thị