Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 4: Số phức - Bài 2: Các phép toán cộng, nhân số phức

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ④: SỐ PHỨC
 Bài 3: PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC 
  Dạng ①: Thực hiện các phép tính về số phức
 . Phương pháp:
 ①. Dạng đại số của số phức z a bi a,b ¡
  a: phần thực số phức z ;  b : phần ảo của số phức z ;  i : đơn vị ảo (i2 1 )
 ②. Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức: z1 a1 b1i z2 a2 b 2 i (a1,a2 ,b1,b2 ¡ )
 . Phép cộng 2 số phức: z1z2 (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1)i
 . Phép trừ của 2 số phức: z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i
 . Số đối của số phức: z a bi (a,b ¡ ) là số phức z a bi .
 . Phép nhân của số phức: z1z2 (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1)i
 ③. Nhận xét:
  Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi ,
 . k(a bi) ka kbi ; . 0z 0
A - Bài tập minh họa: 
 Câu 1: Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 i . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức 
 2z1 z2 có tọa độ là
 Ⓐ. 3;2 . Ⓑ. 2; 3 . Ⓒ. 3;3 . Ⓓ. 3; 3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn C  Casio: 
 Ta có: 
 2z1 z2 2. 2 i 1 i 4 2i 1 i 3 3i
Vậy điểm biểu diễn số phức 2z1 z2 có tọa độ là 
 3;3 .
Câu 2: Cho hai số phức z1 1 2i và z2 3 4i . Số phức 2z1 3z2 z1z2 là số phức nào sau đây?
 10i . 10i . 11 8i . 11 10i .
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn B  Nhập vào máy tính
 Ta có 2z1 3z2 z1z2
 2 1 2i 3 3 4i 1 2i 3 4i 
 11 8i 11 2i 10i .
Câu 3: Trên tập số phức, cho biểu thức A a bi 1 i ( a, b là số thực). Khẳng định nào sau đây 
 đúng?
 Ⓐ. A a b a b i. Ⓑ. A a b b a i.
 Ⓒ. A a b a b i. Ⓓ. A a b a b i.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D  Công thức
 A a bi 1 i a ai bi bi2
 a b a b i
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hai số phức z1 4 3i và z2 7 3i . Tìm số phức z z1 z2 .
 Ⓐ. z 3 6i . Ⓑ. z 11. Ⓒ. z 1 10i . Ⓓ. z 3 6i .
Câu 2: Cho số phức z 1 i i3 . Tìm phần thực a và phần ảo b của z .
 Ⓐ. a 1,b 2 . Ⓑ. a 2,b 1. Ⓒ. a 1,b 0 . Ⓓ. a 0,b 1.
Câu 3: Cho số phức z 3 2i . Giá trị của z.z bằng
 Ⓐ. 5. Ⓑ. 9. Ⓒ. 13 . Ⓓ. 13 .
Câu 4: Cho số phức z 3 2i . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số 
 phức iz ?
 Ⓐ. 2;3 . Ⓑ. 2; 3 . Ⓒ. 3; 2 . Ⓓ. 2;3i .
Câu 5: Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm Q biểu 
 diễn số phức z2 . Tìm số phức z z1 z2 .
 Ⓐ. 1 3i . Ⓑ. 3 i .
 Ⓒ. 1 2i . Ⓓ. 2 i .
Câu 6: Số phức liên hợp của số phức z i 1 2i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?
 Ⓐ. E 2; 1 . Ⓑ. B 1;2 . Ⓒ. A 1;2 . Ⓓ. F 2;1 . Câu 7: Cho hai số phức z 1 i và z 1 i . Giá trị của biểu thức z iz bằng
 1 2 1 2 
 Ⓐ. 2 2i . Ⓑ. 2i. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 2 2i .
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn (1+ i)z = 14- 2i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng
 Ⓐ. .1 4 Ⓑ. . 2 Ⓒ. . - 2 Ⓓ. . - 14
 3
Câu 9: Môđun của số phức z 5 3i 1 i là
 Ⓐ. 2 5 . Ⓑ. 3 5 . Ⓒ. 5 3 . Ⓓ. 5 2 .
Câu 10: Số phức z i(3 i) biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây?
 Ⓐ. ( 3;1) . Ⓑ. (1;3) . Ⓒ. ( 1; 3) . Ⓓ. (3; 1) .
Câu 11: Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức z1 , điểm B biểu diễn số phức z2 sao cho điểm 
 B đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. 
 Tìm z biết số phức z z1 3z2 .
 Ⓐ. 4. Ⓑ. 2 5 .
 Ⓒ. 5. Ⓓ. 17 .
Câu 12: Cho số phức z 2 5i. Tìm số phức w iz z
 Ⓐ. w 7 3i . Ⓑ. w 3 3i . Ⓒ. w 3 7i. Ⓓ. w 7 7i .
Câu 13: Cho hai số phức z 3 2i và z a a2 11 i . Tìm tất cả các giá trị thực của a để z z là 
 một số thực
 Ⓐ. a 3. Ⓑ. a 3.
 Ⓒ. a 3 hoặc a 3. Ⓓ. a 13 hoặc a 13 .
Câu 14: Cho số phức z 1 2i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w 2z z .
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 5. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2.
Câu 15: Điểm biểu diễn của số phức z là M 1;2 . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w z 2z 
 là.
 Ⓐ. 2; 3 . Ⓑ. 2;1 . Ⓒ. 1;6 . Ⓓ. 2;3 .
 2
Câu 16: Cho z1 2 4i, z2 3 5i . Xác định phần thực của w z1.z2
 Ⓐ. 120 . Ⓑ. 32 . Ⓒ. 88 . Ⓓ. 152 .
 2
Câu 17: Cho số phức z 1 i 1 2i . Số phức z có phần ảo là
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 4 . Ⓒ. - 2. Ⓓ. 2i . Câu 18: Cho hai số phức z 3 5i và w 1 2i . Điểm biểu diễn số phức z z w.z trong mặt phẳng 
 Oxy có tọa độ là
 Ⓐ. 6; 4 . Ⓑ. 4; 6 . Ⓒ. 4; 6 . Ⓓ. 4; 6 .
Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn z (2 i)z 3 5i .
 Ⓐ. z 2 3i . Ⓑ. z 2 3i . Ⓒ. z 2 3i . Ⓓ. z 2 3i .
Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy, A 1;7 , B 5;5 lần lượt biểu diễn hai số phức z1, z2. C biểu diễn số 
 phức z1 z2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
  
 Ⓐ. C có tọa độ 4;12 . Ⓑ. CB biểu diễn số phức z1 .
  
 Ⓒ. AB biểu diễn số phức z1 z2 . Ⓓ. OACB là hình thoi.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A 9.D 10.B
 11.B 12.B 13.C 14.B 15.C 16.D 17.A 18.D 19.C 20.C
  Dạng ②: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán.
 . Phương pháp:
 ①. Số phức z là biểu thức có dạng z a bi a,b R,i2 1 . Khi đó:
  Phần thực của z là a , phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo.
 ②. Đặc biệt:
  Số phức z a 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là z a 
  Số phức z 0 bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) và viết là 
 z bi
  Số i 0 1i 1i .
  Số:0 0 0i vừa là số thực vừa là số ảo. 
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Số phức z 2 3i 5 i có phần ảo bằng
 Ⓐ. 2i . Ⓑ. 4i . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn C 
 Ta có: 
 z 2 3i 5 i 2 5 3 1 i 7 4i .
Nên phần ảo của số phức z là 4 .
 Từ phép tính ta có phần ảo số phức z là 4 .
 Câu 2: Cho các số phức z1 1 i 2 , z2 2 i 3 . Số phức nào sau có phần ảo lớn hơn.
 Ⓐ. z2 z1 . Ⓑ. z1 . Ⓒ. z2. Ⓓ. z2 z1 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn A  Nhập máy tính để tính z2 z1
 Số phức z2 z1 1 2 3 2 i , có phần ảo 
là 3 2 .
Số phức z1 1 i 2 , có phần ảo là 2 .
  Nhập máy tính để tính z2 z1
Số phức z2 2 i 3 , có phần ảo là 3 .
Số phức z2 z1 1 2 3 2 i , có phần ảo 
là 3 2 .
Vậy số phức z2 z1 có phần ảo lớn nhất.
Câu 3: Tìm phần thực a của số phức z i2 ... i2019 .
 Ⓐ. a 1. Ⓑ. a 21009 . Ⓒ. a 21009 . Ⓓ. a 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 2 2019
Chọn B  Ta có z i ... i là tổng của dãy một CSN 
 2 2019 với số hạng đầu tiên u 1, công bội q i và 
 z i ... i 1
 n 2018.
Với n 1, ta có:
 2018
 2 i 1
 4n 4n 1 4n 2 4n 3 Do đó ta có z i 1 i . Suy ra a 1.
 i 1, i i ,i 1,i i i 1
 i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0
 i4 i5 i6 i7 ... i2016 i2017 i2018 i2019 0
 z i2 ... i2019 i2 i3 1 i
 a 1.
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho số phức z 3 2i . Tìm phần ảo của số phức w 1 2i z
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 7 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 4i .
Câu 2: Cho số phức z 2i 1 2 3 i 2 . Tổng phần thực và phần ảo của z là
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 1. Ⓒ. 21. Ⓓ. 21 .
Câu 3: Phần ảo của số phức z 5 2i (1 i)3 bằng:
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 7 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 7 . Câu 4: Cho hai số phức z1 2 3i ; z2 1 i . Tính z1 3z2 .
 Ⓐ. z1 3z2 61 . Ⓑ. z1 3z2 11. Ⓒ. z1 3z2 11 . Ⓓ. z1 3z2 61.
Câu 5: Số phức z 2 3i 5 i có phần ảo bằng:
 Ⓐ. 2i . Ⓑ. 4i . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 .
Câu 6: Cho số phức z a bi (a,b ¡ ) . Tìm phần ảo của số phức z2 .
 Ⓐ. a2 b2 . Ⓑ. a2 b2 . Ⓒ. 2ab . Ⓓ. 2ab.
Câu 7: Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 3i . Phần ảo của số phức w z1 z2 là
 Ⓐ. 5i . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 1. Ⓓ. i .
Câu 8: Cho số phức z 1 2i . Môđun của số phức iz z bằng
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 3 2 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 18.
Câu 9: Cho số phức z khác 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
 z
 Ⓐ. là số thuần ảo. Ⓑ. z.z là số thực Ⓒ. z z là số thực Ⓓ. z z là số ảo.
 z
 2
Câu 10: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu biết z 2 i 1 i 2 .
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 2 .
Câu 11: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức 
 z 1 i 2 i ?
 Ⓐ. M . Ⓑ. P .
 Ⓒ. N . Ⓓ. Q .
Câu 12: Cho số phức z a 2bi a, b ¡ . Khi đó phần thực của số phức w 2z i 3 i bằng
 Ⓐ. 6a 2b 1. Ⓑ. 2a 12b 3 . Ⓒ. 6a 4b 1. Ⓓ. 2a 6b 3 .
Câu 13: Số nào trong các số phức sau là số thực?
 Ⓐ. 1 2i 1 2i . Ⓑ. 3 2i 3 2i .
 Ⓒ. 3 2i 3 2i . Ⓓ. 5 2i 5 2i .
Câu 14: Tìm số phức z thỏa mãn z 2z 2 4i .
 2 2 2 2
 Ⓐ. z 4i . Ⓑ. z 4i . Ⓒ. z 4i . Ⓓ. z 4i .
 3 3 3 3 Câu 15: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z.z 2z ?
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 .
Câu 16: Cho hai số phức z1 2 3i, z2 3 i . Số phức 2z1 z2 có phần ảo bằng
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 3. Ⓒ. 5. Ⓓ. 7 .
Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M 1; 2 biểu diễn số phức; Môđun của số phức iz z2 bằng
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 26 . Ⓓ. 26 .
Câu 18: Nếu z 2 3i thì z3 bằng
 Ⓐ. 27 24i. Ⓑ. 46 9i. Ⓒ. 54 27i. Ⓓ. 46 9i.
Câu 19: Xét các khẳng định sau:
 i) z.z ¡ z £ ii)z z ¡ z £ iii)z2 0  z £
 Số khẳng định đúng là:
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 .
Câu 20: Cho hai số phức z a bi a, b ¡ và z a b i a, b ¡ . Điều kiện giữa a, b, a , b để 
 z z là một số thuần ảo là
 a a ' 0 a a ' 0
 Ⓐ. a a 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. b b 0.
 b b' 0 b b' 0
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.D
 11.D 12.C 13.B 14.C 15.D 16.C 17.D 18.D 19.D 20.B  Dạng ③: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình
 -Phương pháp: 
 ①. Sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau.
 Cho hai số phức z1 a1 b1i , z2 a2 b2i a1 ,a2 ,b2 ,b2 R . Khi đó:
 a1 a2
 z1 z2 
 b1 b2
 ②. Số phức liên hợp, mo đun của số phức: Cho số phức z a bi .
 .Số phức liên hợp của z là z a bi a bi (a,b ¡ ) .
 .Tổng và tích của z và z luôn là một số thực.
  z1 ± z2 = z1 ± z2 . 
  z1.z2 = z1.z2 . 
  
 . Mô đun của số phức z OM a2 b2 . 
  z z.z ; z z . 
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn x 3 2i y 1 4i 1 24i thì x y bằng?
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 7
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D  Casio
 Ta có:
 x 3 2i y 1 4i 1 24i
 3x y 2x 4y i 1 24i
 3x y 1 x 2
 2x 4y 24 y 5
 Vậy: x y 7
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn | z | 5 và | z 3| | z 3 10i | . Tìm số phức w z 4 3i.
 Ⓐ. w 3 8i. Ⓑ. w 1 3i. Ⓒ. w 1 7i. Ⓓ. w 4 8i.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D  Thử lần lượt các đáp án.
 z x yi,(x, y ¡ ) . Theo đề bài ta có: A
 w 3 8i z w 4 3i 1 5i 
 2 2 2 2 2 2
 x y 25 và (x 3) y (x 3) (y 10) . nên | z | 26 (loại).
Giải hệ phương trình trên ta được x 0; y 5.  Tương tự cho đáp án B và C,
Vậy z 5i .  D w 4 8i z w 4 3i 5i 
 thỏa mãn | z | 5 và 
 Từ đó ta có w 4 8i .
 | z 3| | z 3 10i | .
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn 3 z i 2 3i z 7 16i . Môđun của số phức z bằng.
 Ⓐ. 5 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn C Casio: công thức nhanh
 Gọi z x yi với x, y ¡ . c.a bc
 az bz c z 2 2 
 Ta có a b
 3 z i 2 3i z 7 16i
 3 x yi i 2 3i x yi 7 16i
 3x 3yi 3i 2x 2yi 3xi 3y 7 16i
 x 3y 3x 5y 3 i 7 16i
 x 3y 7 x 3y 7 x 1
 .
 3x 5y 3 16 3x 5y 13 y 2
Do đó z 1 2i . Vậy z 5 .
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x 3yi 1 3i 1 6i với i là đơn vị ảo.
 Ⓐ. x 1; y 3 . Ⓑ. x 1; y 3 . Ⓒ. x 1; y 1. Ⓓ. x 1; y 1.
Câu 2: Nếu hai số thực x, y thỏa mãn x 3 2i y 1 4i 1 24i thì x y bằng?
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 7 . Ⓓ. 7 .
Câu 3: Cho cặp số x; y thỏa mãn: 2x y i y 1 2i 3 7i . Khi đó biểu thức P x2 xy nhận giá 
 trị nào sau đây:
 Ⓐ. 30 . Ⓑ. 40 . Ⓒ. 10. Ⓓ. 20 .
Câu 4: Tìm số phức z thỏa mãn z 2z 2 4i .
 2 2 2 2
 Ⓐ. .z Ⓑ.4i . Ⓒ. z. Ⓓ.4i . z 4i z 4i
 3 3 3 3 Câu 5: Tìm các số thực a và b thỏa mãn 4ai 2 bi i 1 6i với i là đơn vị ảo.
 1 1
 Ⓐ. .a Ⓑ.,b . 6Ⓒ. . a Ⓓ. . ,b 6 a 1,b 1 a 1,b 1
 4 4
Câu 6: Giả sử , a làb hai số thực thỏa mãn 2a b 3 i 4 với5i là iđơn vị ảo. Giá trị của , a b
 bằng
 Ⓐ. ,a 1 .b 8 Ⓑ. ,a 8 .b 8 Ⓒ. ,a 2 b . 2 Ⓓ. a, 2 .b 2
Câu 7: Tìm các số thực x , y thỏa mãn 1 3i x 2y 1 2y i 3 6i .
 Ⓐ. ;x 5 .y Ⓑ.4 ; .x 5 Ⓒ.y ;4 . xⒹ. 5 ; y 4 . x 5 y 4
Câu 8: Tìm các số thực x , y thỏa mãn 2x 1 y 2 i 1 i với i là đơn vị ảo.
 Ⓐ. .x 1; y 1Ⓑ. . Ⓒ. x. 1; y Ⓓ.2 . x 1; y 3 x 1; y 3
Câu 9: Cho các số thực x , y thỏa mãn 4 3i 2 4x 2yi . Tính giá trị của P x y .
 Ⓐ. .P 4 Ⓑ. . P 7 Ⓒ. . Ⓓ.P . 1 P 8
Câu 10: Các số thực x , y thỏa mãn đẳng thức x 3 5i y 1 2i 9 16i trong đó i2 1 . Giá trị của 
 biểu thức T x y là
 Ⓐ. .3 Ⓑ. . 5 Ⓒ. . 0 Ⓓ. . 1
Câu 11: Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a b i i 1 2i với i là đơn vị ảo.
 1
 Ⓐ. .a 0, bⒷ. 2 . Ⓒ. . a ,Ⓓ.b .1 a 0, b 1 a 1, b 2
 2
Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 2i y 1 4i 1 24i . Giá trị x y bằng
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 2. Ⓒ. 4. Ⓓ. . 3
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 3 5i . Tính môđun của số phức z .
 Ⓐ. . z 13 Ⓑ. . z 5Ⓒ. . Ⓓ. . z 13 z 5
Câu 14: Cho số phức z a bi, a,b R thỏa mãn 3z 4 5i z 17 11i .Tính ab .
 Ⓐ. .a b 3 Ⓑ. . ab 6Ⓒ. . Ⓓ.a .b 6 ab 3
Câu 15: Cho số phức z a bi,a,b ¡ thỏa mãn: 1 3i z 2 i z 2 4i . Tính P a.b
 Ⓐ. .I 8 Ⓑ. . P 4Ⓒ. . Ⓓ.P . 8 P 4
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 2. z z 2 6i có phần thực là
 2 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . 1 Ⓒ. . Ⓓ. . 6
 5 4