Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Bài 6: Thể tích vật thể tròn xoay (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
 Bài 6: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 
  Dạng ①: Bài toán Thể tích vật thể: 
 . Phương pháp:
  Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; 
 S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , 
 (a £ x £ b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [ a;b] .
 b
  Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V S x dx 
 a
 A - Bài tập minh họa: 
 Câu 1: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3 , biết rằng khi cắt 
 vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ x (1 x 3 ) thì được 
 thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 2 .
 124 124
 Ⓐ. V 32 2 15. Ⓑ. V . Ⓒ. V . Ⓓ.V (32 2 15) .
 3 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Ta nhập biểu thức 
 3
 2
  Diện tích thiết diện là: S(x) 3x. 3x2 2 3x. 3x 2dx như sau : 
 1
 3 124
  Thể tích vật thể là: V 3x. 3x2 2dx . y3Q(s3Q(dp2R1E3=
 3
 1  Màn hình hiển thị :
 Chọn C
 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 3 . Biết 
 rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 
 x 0 x 3 là một hình vuông cạnh là 9 x2 . Tính thể tích V của vật thể.
 Ⓐ. V 171 Ⓑ. V 171 . Ⓒ. V 18. Ⓓ.V 18 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Casio
 3 2
 Ta có thể tích của vật thể là V 9 x2 dx
 0
 3
 3 3
 2 x 
 9 x dx 9x 18 .  Chú ý: Diện tích hình vuông
 3
 0 0
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương 
 trình x a , x b a b . Gọi S x là thiết diện của H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 
 Ox tại điểm có hoành độ là x với a x b . Giả sử hàm số y S x liên tục trên đoạn a;b . 
  
 Khi đó thể tích V của vật thể H được cho bởi công thức
 b b b b
 2 2
 Ⓐ. V S x dx .Ⓑ. V S x dx . Ⓒ. V S x dx . Ⓓ.V S x dx .
 a a a a
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng P , Q vuông góc với 
 trục Ox lần lượt tại x a , x b a b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có 
 hoành độ x, (a £ x £ b) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S( x) với y = S ( x) là hàm số 
 liên tục trên a;b . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức
 z
 S(x)
 y
 O
 a x b x
 b b
 Ⓐ. V S 2 x dx . Ⓑ. V S x dx .
 a a
 b b
 Ⓒ. V S x dx . Ⓓ.V S 2 x dx .
 a a
Câu 3: Cho phần vật thế  được giới hạn bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox tại 
 x 0 , x 3 . Cắt phần vật thể  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 
 bằng x 0 x 3 ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và 3 x . 
 Thể tích phần vật thể  bằng 27 12 3 12 3 27
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 5 5 4
Câu 4: Cho phần vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 2 . Cắt phần vật 
 thể  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 2 , ta được 
 thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 x . Tính thể tích V của phần vật thể 
  
 4 3
 Ⓐ. V . Ⓑ. V . Ⓒ. V 4 3. Ⓓ.V 3.
 3 3
Câu 5: Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng 
 vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 1 thì được thiết diện là một tam 
 giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.
 4 3
 Ⓐ. V 3 . Ⓑ. V 3 3 . Ⓒ. V . Ⓓ.V .
 3
Câu 6: Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x . Cắt phần vật 
 3
 thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x ta được 
 3 
 thiết diện là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cos x . Thể 
 tích vật thể B bằng
 3 3 3 3 3 3 3 
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 3 6 6
Câu 7: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x , biết rằng thiết diện của vật 
 thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một 
 tam giác đều cạnh 2 sin x .
 Ⓐ. V 3. Ⓑ. V 3 . Ⓒ. V 2 3 . Ⓓ.V 2 3 .
Câu 8. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x 0 và x 1, biết thiết diện của vật thể khi 
 cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 1) là một hình vuông 
 có độ dài cạnh x ex 1 .
 e 1 1 (e 1)
 Ⓐ. V . Ⓑ. V . Ⓒ. V . Ⓓ.V .
 2 2 2 2
Câu 9. Cắt một vật thể (V ) bởi hai mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt vuông góc với trục Ox 
 tại x , x . Một mặt tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x x cắt (V ) 
 2 2 2 2 
 theo thiết diện có diện tích là S x 1 sin2 x cosx . Tính thể tích vật thể (V ) giới hạn bởi hai 
 mặt phẳng (P), (Q). 8 13 8 
 Ⓐ. 3,14 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 6 3
Câu 10. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 1 và x 1, biết rằng thiết diện của vật thể 
 bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 1 là một tam giác 
 vuông cân có cạnh huyền bằng 1 x4 .
 3 2 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ.4. Ⓓ. .
 4 5 4
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.B 3. C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B
 Hướng dẫn giải
 Lời giải
Câu 3. 
Chọn C
Ta có diện tích thiết diện là S x x 3 x .
 3 3 12 3
Vậy thể tích phần vật thể  là: V S x dx x 3 xdx .
 0 0 5
Câu 4. 
 Lời giải
 Chọn B
 x2 2 x 3
 Diện tích thiết diện: S .
 4
 2
 2 2 2 2
 x 2 x 3 3 2 3 2 3 2 3 1 4 3
 V dx x 2 x dx x 2 x dx x x .
 4 4 4 4 3 4 3
 0 0 0 0
Câu 5. 
 Lời giải
 Chọn C 
 Tại vị trí có hoành độ x 1 x 1 thì tam giác thiết diện có cạnh là 2 1 x2 .
 2 3
 Do đó tam giác thiết diện có diện tích S x 2 1 x2
 4
 3 1 x2 .
 1 4 3
 Vậy thể tích V của vật thể là 3 1 x2 dx .
 1 3
Câu 6. 
 Lời giải
 Chọn C 
 3 3 3 3
 Thể tích vật thể B là V x cos xdx xsin x 3 sin xdx xsin x 3 cos x 3 .
 0 0 0
 0 0 6
Câu 7. 
 Lời giải
 Chọn D 
 2
 3 2 sin x 
 Diện tích tam giác đều S x 3 sin x .
 4
 Vậy thể tích V S x dx 3 sin xdx 2 3 .
 0 0
Câu 8. 
Chọn C
 Lời giải
 1 1 2 1
 Ta có: V S(x)dx x ex 1 dx x ex 1 dx .
 0 0 0
 u x du dx
 Đặt: .
 x x
 dv e 1 dx v e x
 1 1
 1 2
 x x x x 1 1
 Do đó: V x e x e x dx e 1 e e 1 e 1 .
 0 2 2 2
 0 0
Câu 9.
Chọn B
 Lời giải
 2 2
 Ta có thể tích vật thể (V ) cần tính là: V = S x dx 1 sin2 x cosxdx .
 2 2
 Đặt t sinx dt cosx dx .
 Đổi cận: x t 1; x t 1.
 2 2
 1
 1 3
 2 t 8
 V = 1 t dt t . 
 3 3
 1 1
Câu 10.
Chọn B
 Lời giải 2
 1 1 x4 1
 Ta có diện tích thiết diện được cho bằng: S x 1 x4
 2 2 4
 2
 1 1 x4 1
 Ta có diện tích thiết diện được cho bằng: S x 1 x4
 2 2 4
 1 1 1 2
  Thể tích vật thể cần tìm là: V S x .dx 1 x4 dx .
 1 1 4 5
  Dạng ②: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox 
 . Phương pháp:
  Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền D giới hạn bởi y f x ; y 0 và x a, x b
 khi quay quanh trục Ox .
 b
 2
  Phương pháp giải: áp dụng công thức:V f x dx
 a
 A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 
 số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b(a b) . Thể tích khối tròn xoay tạo 
 thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức
 b b b b
 Ⓐ. V 2 f 2 (x)dx . Ⓑ. V f 2 (x)dx . Ⓒ. V 2 f (x)dx . Ⓓ.V 2 f 2 (x)dx .
 a a a a
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Công thức
 b
 2
  x [a;b] ta có V f (x)dx
 a
Câu 2: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 hạn bởi đồ thị của các hàm số y 2ln x, y 0, x 1, x e .
 Ⓐ. . Ⓑ. e 2 . Ⓒ. e 2 . Ⓓ. 4 e 2 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D  Casio
 e
  Có V 4 ln2 xdx 4 I
 1
 1
 u ln2 x du 2ln x dx
  Đặt x
 dv dx
 v x
 e
 2 e
  Suy ra I x ln x 2 ln xdx e 2I'
 1 
 1
 1
 u ln x du dx
  Đặt x
 dv dx
 v x
 e
 e
  Suy ra I' x ln x dx e e 1 1
 1 
 1
  Suy ra I e 2
  Vậy V 4 e 2 
Câu 3: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y sin x ;Ox ; x 0 ; x . Quay H xung 
 quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
 2 
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 2 .
 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  
  Thể tích khối tròn xoay là 
 2
 2 1 
 V sin x.dx 1 cos2x .dx x sin 2x .
 0 2 0 2 2 0 2
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ln x, trục Ox, x 1, x e . Tính thể tích 
 khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox .
 2 2
 e 1 e 1 e 1 e 1 
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 3 3 4 Câu 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y = ln x , trục Ox và đường thẳng 
 x = 2 quay xung quanh trục Ox .
 Ⓐ. 2ln 2+ 1. Ⓑ. 2 ln2+ . Ⓒ. 2 ln2- . Ⓓ. 2ln 2- 1.
Câu 3. Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x 2 1 , trục hoành và các đường thẳng 
 x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao 
 nhiêu?
 4 4
 Ⓐ. V Ⓑ. V 2 Ⓒ. V Ⓓ.V 2
 3 3
Câu 4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin x , trục hoành và các đường thẳng 
 x 0 , x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng 
 bao nhiêu?
 Ⓐ. V 2 2 . Ⓑ. V 2 1 . Ⓒ. V 2 . Ⓓ.V 2 1 .
Câu 5. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 3 , y 0, x 0 , x 2 . Gọi V là thể tích 
 của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây 
 đúng?
 2 2
 2
 Ⓐ. V x2 3 dx . Ⓑ. V x2 3 dx .
 0 0
 2 2
 2
 Ⓒ. V x2 3 dx . Ⓓ.V x2 3 dx .
 0 0
Câu 6: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường thẳng y x2 2, y 0, x 1, x 2. Gọi V là thể 
 tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới 
 đây đúng?
 2 2 2 2
 2 2
 Ⓐ. V x2 2 dx . Ⓑ. V x2 2 dx . Ⓒ. V x2 2 dx . Ⓓ.V x2 2 dx .
 1 1 1 1
Câu 7: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới 
 hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b a b , xung quanh 
 trục Ox .
 b b b b
 Ⓐ. V f 2 x dx . Ⓑ. V f 2 x dx . Ⓒ. V f x dx . Ⓓ.V f x dx .
 a a a a
Câu 8: Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2(x 1)ex , trục tung và trục hoành. 
 Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox
 Ⓐ. V 4 2e . Ⓑ. V 4 2e . Ⓒ. V e2 5 . Ⓓ.V e2 5 .
Câu 9: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 hạn bởi đồ thị của các hàm số y 3x x2 , y 0 .
 16 16 81 16
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 15 15 10 15 Câu 10: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 hạn bởi đồ thị của các hàm số y x3 , y 0, x 1.
 4 
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 7 2 7
Câu 11: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 hạn bởi đồ thị của các hàm số xy 9, y 0, x 1, x 3.
 Ⓐ. 54 . Ⓑ. 6 . Ⓒ.12 . Ⓓ. 6 .
Câu 12: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 1
 hạn bởi đồ thị của các hàm số y cos x , y 0, x 0, x .
 2 sin 2 2 sin 2 2 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 8 4 4 8
Câu 13: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới 
 hạn bởi đồ thị của các hàm số y cos2 x, y 0, x 0, x .
 2 3 3 2 
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 8 8 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.C 3. A 4. B 5. A 6. A 7.A 8.D 9.C 10.D
 11.A 12.B 13.C
  Dạng ③: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox 
 . Phương pháp:
  Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y f x ; y g x quay quanh 
 trục Ox .
  Phương pháp giải:
 ①. Giải phương trình: f x g x có nghiệm x a, x b
 b
 ②. Khi đó thể tích cần tìm : V f 2 x g 2 x dx 
 a
 ③. Casio:
A - Bài tập minh họa: 
 Câu 1: Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol P : y x2 và 
 đường thẳng d : y 2x quay quanh trục Ox bằng
 2 2 2
 2
 Ⓐ. 4x2dx x4dx . Ⓑ. x2 2x dx .
 0 0 0
 2 2 2
 Ⓒ. 4x2dx x4dx . Ⓓ. x2 2x dx .
 0 0 0
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B 
  Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là 
 2 x 0
 x 2x .
 x 2
 2
 2 2
 Thể tích của khối tròn xoay là 2x x2 dx 
 0
 2 2 
 4x2dx x4dx
 0 0
 Câu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm sốy x2 2x
 , y 4 x2 khi nó quanh quanh trục hoành là:
 421 125
 Ⓐ. . Ⓑ. 27 . Ⓒ. . Ⓓ.30 .
 15 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  
  Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
 2 2 2 x 1
  x 2x 4 x 2x 2x 4 0 .
 x 2
  Do khi quay quanh trục hoành thì khối sinh bởi hình 
 phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2x , trục hoành, 
 x 0; x 2 sẽ nằm trong khối sinh bởi hình phẳng giới 
  Chú ý phần rất dễ thiếu phần
 hạn bởi đồ thị hàm số y 4 x2 , trục hoành, x 0; x 2 . 
 2
 2
 V 4 x2 dx
  Vậy thể tích cần tính bằng: 1 
 0 0 2 0
 2 2 2 2 2 2
 V 4 x dx x 2x dx 4 x dx
 1 1 0
 203 38 256 421
 15 15 15 15
B - Bài tập tham khảo rèn luyện: