Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Bài 5: Diện tích hình phẳng (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
 Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
  Dạng ①: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng.
 ①. Hình phẳng giới hạn bởi y f (x),Ox, x a, x b.
  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liênf x tục trên đoạn , a;b
 b
 trục hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức S f x dx (1)
 a
 ②. Phương pháp trắc nghiệm:
 Tính chất: Hàm số y f x liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và a,b,c là ba số bất 
 b c b
 kỳ thuộc K. Khi đó, ta có f x dx f x dx f x dx
 a a c
  Xác định các yếu tố cần thiết như công thức y f x ,Ox, x a, x b.
 Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
 Chú ý: Nếu đề bài chưa cho x a, x b ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ 
 giao điểm f x 0 để tìm cận tích phân.
 A - Bài tập minh họa: 
 Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y cos2 x , trục hoành, đường thẳng x 0 và 
 x là
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 8 6 4 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D  Casio
  Diện tích S cần tìm:
 1 cos 2x 1 sin 2x 
 S cos2 xdx dx x .
 0 0 2 2 0 4 0 2
 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 4x , trục hoành, đường thẳng x 2 
 và x 4 là.
 Ⓐ. 44. Ⓑ.24. Ⓒ. 48. Ⓓ.28.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Casio
 4
 Diện tích cần tìm S x3 - 4xdx
 -2
 3 2 x 0
Ta có: x 4x x x 4 0 
 x 2
 0 2 4
Vậy S x3 4x dx x3 4xdx x3 4xdx
 -2 0 2
 x4 x2 0 x4 4x2 2 x4 x2 4
 4 4 44
 4 2 2 4 2 0 4 2 2
 x 1
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) , trục hoành, hai đường thẳng 
 x
 x 1 và x 2 là.
 Ⓐ. ln2 . Ⓑ. ln 2 1. Ⓒ. ln 2 1. Ⓓ.1 ln 2 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D  Casio 
 x 1
 Phương trình hoành độ giao điểm: 0 x 1
 x
Suy ra 
 2 x 1 2 x 1 2 1 2
 S dx dx 1 x ln x 1 ln 2 .
 1 x 1 x 1 x 1
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục, trục hoành và hai 
 đường thẳng x a, x b được tính theo công thức:
 b b
 Ⓐ. S f x dx . Ⓑ. S f x dx .
 a a
 0 b 0 b
 Ⓒ. S f x dx f x dx . Ⓓ. S f x dx f x dx .
 a 0 a 0
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 x, y 0, x 0 và x 2 được tính bởi 
 công thức:
 2 2 1
 Ⓐ. x x2 dx . Ⓑ. x2 x dx x2 x dx .
 0 1 0
 1 2 1
 Ⓒ. x2 x dx x2 x dx . Ⓓ. x2 x dx .
 0 1 0 Câu 3: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x2 , trục hoành và hai đường 
 thẳng x 1, x 3 là.
 28 28 1 4
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
 9 3 3 3
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y sin x 1, trục hoành và hai đường thẳng 
 7 
 x 0 và x là.
 6
 3 7 3 7 3 7 3 7 
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 1. Ⓒ. 1. Ⓓ. 1.
 2 6 2 6 2 3 4 6
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x x2 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 là.
 2 2+1 3 2 1 2 2 1 3 2
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ.
 3 3 3 3
Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x.ln 3x 1 , trục hoành 
 và hai đường thẳng x 0; x 1
 4 1 2 1 7 1 8 1
 Ⓐ. S ln 2 . Ⓑ. S ln 2 . Ⓒ. S ln 2 . Ⓓ. S ln 2 .
 9 12 9 12 9 12 9 12
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x , trục Ox và đường thẳng x e là.
 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 1. Ⓒ. e. Ⓓ.2.
 e
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x 2 
 là.
 e2
 Ⓐ. e 4 . Ⓑ. e2 e 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. e2 1.
 2
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 2x2 1 và trục Ox
 1 16
 Ⓐ. S 1. Ⓑ. S 2 . Ⓒ. S = . Ⓓ.S = .
 2 15
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x2 và trục hoành là.
 27 5 4 24
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 6 9 7
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x2 2x và trục hoành là
 4 29 8 20
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 3 3
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 1 và trục hoành là
 7 8 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ.1.
 4 5 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.A 11.A 12.B  Dạng ②: Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng.
 -Phương pháp:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: C1 : y f x , C2 : y g x và hai đường 
 b
 thẳng x a, x b được xác định bởi công thức: S f x g x dx .
 a
 y
 (C1 ) : y f1(x)
 (C1 ) 
 (C ) : y f (x)
 (H) 2 2
 x a
 (C )
 2 
 x b
 b
 a c x S f1 (x) f2 (x) dx
 O 1 c2 b 
 a
 Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
 * Giải phương trình: f x g x tìm nghiệm x1, x2 ,..., xn a;b , x1 x2 ... xn .
 x x b
 Tính: S 1 f x g x dx 2 f x g x dx ... f x g x dx
 a x x
 1 n
 x b
 1 f x g x dx ... f x g x dx .
 a x 
 n
 Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối.
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x2 và y x.
 9 11
 Ⓐ. . Ⓑ. 7 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. .
 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Casio:
  Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
 2 2 x 2
 2 x x x x 2 0 .
 x 1
  Diện tích của hình phẳng cần tìm là 
 1 1
 S x2 x 2 dx ( x2 x 2)dx
 2 2
 1
 x3 x2 9
 2x .
 3 2 2
 2
 ln x
Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0 , x 1 , x e . Mệnh 
 x2
 đề nào dưới đây đúng?
 e e 2 2
 ln x ln x e ln x e ln x 
 S dx . S dx . S dx . S dx .
 Ⓐ. 2 Ⓑ. 2 Ⓒ. 2 Ⓓ. 2 
 1 x 1 x 1 x 1 x 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Casio
 e ln x
 Ta có S dx .
 2
 1 x
 ln x e ln x
 Vì x [1;e], ln x 0 0 S dx .
 2 2
 x 1 x
Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ln x , trục hoành và đường 
 thẳng x e .
 e2 5 e2 7 e2 3 e2 9
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 4 6 2 8
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Casio
  Xét phương trình hoành độ giao điểm:
 x 1 ln x 0 (Điều kiện: x 0 ).
 x 1 0 x 1
 .
 ln x 0 x 1
  Vì x 0 nên x 1.
 e e
  Ta có: S x 1 ln x dx x 1 ln xdx .
 1 1
 1
 du dx
 u ln x x
  Đặt .
 dv x 1 dx x2
 v x
 2
 e
 x2 e x2 1 e2 e x 
 S x ln x x dx e 1 dx
 2 2 x 2 2
 1 1 1 
 e
 e2 x2 e2 5
 e x 
 2 4 4
 1
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 4 và y x 2?
 5 8 9
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 9 .
 7 3 2
 x 1
Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số H : y và các trục tọa độ. 
 x 1
 Khi đó giá trị của S bằng Ⓐ. 2 ln 2 1 . Ⓑ. ln 2 1. Ⓒ. ln 2 1 . Ⓓ. 2ln 2 1.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 1 và đường thẳng y x 3 .
 9 13 11 7
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 3 2
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x ; y 6 x và trục hoành.
 22 16 23
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. 2 . Ⓓ. .
 3 3 3
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2 x và y 3x .
 5 16 32
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S 9 . Ⓓ. S .
 3 3 3
 2
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x 2x và đường thẳng d : y x bằng
 17 11 9 23
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 2 2 6
Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường thẳng y x 2 bằng
 9 5 11 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 2 .
 2 2 2 2
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y 2x là
 4 5 3 23
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 2 15
Câu 9: Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong y x3 12x và y x2 .
 937 343 793 397
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 12 12 4 4
 1
Câu 10: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H xác định bởi các đường y x3 x2 , y 0, 
 3
 x 0 và x 3 quanh trục Ox là
 81 81 71 71
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 35 35 35 35
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2 2x 1, y 2x2 4x 1 là
 Ⓐ. 8 . Ⓑ.5 . Ⓒ. 4 . Ⓓ.10 .
 1
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y x2 và y 6 x2 bằng
 2
 2
 3x2 2 3 x2 
 Ⓐ. 6 dx . Ⓑ. 6 dx .
 2 2 2 3 2 
 2
 3x2 2 3 x2 
 Ⓒ. 6 dx . Ⓓ. 6 dx .
 2 2 2 3 2 
Câu 13: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x3 và y x2 2x là
 9 7 37 4
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S . Ⓓ. S .
 4 3 12 3
Câu 14: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x3 3x; y x . Tính S ?
 Ⓐ. S 4 . Ⓑ. S 8 . Ⓒ. S 2 . Ⓓ. S 0 . Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x 1 x và y x3 x có diện tích bằng
 37 5 8 9
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 12 12 3 4
 2 2
Câu 16: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2x 1 và y x 3 là
 9
 Ⓐ. S 9 . Ⓑ. S 9 . Ⓒ. S 3 . Ⓓ. S .
 2
Câu 17: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y x3 3x 2 và 
 y x 2.
 Ⓐ. S 8 . Ⓑ. S 4. Ⓒ. S 12 . Ⓓ. S 16 .
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 3x 1 và đường thẳng y x 1 được tính 
 theo công thức nào dưới đây?
 4 4 4 4
 Ⓐ. x2 4x dx . Ⓑ. x2 4x dx . Ⓒ. x2 4x dx . Ⓓ. x2 2x dx .
 0 0 0 0
Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x 5 0, x y 3 0.
 19 15 37 9
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 2 6 2
Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3, y 10 x và trục Ox là
 Ⓐ. 32 . Ⓑ. 26 . Ⓒ. 36 . Ⓓ. 40 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A
 11.C 12.C 13.C 14.B 15.A 16.A 17.A 18.B 19.D 20.C
  Dạng ③: Diện tích hình phẳng thông qua đồ thị
 -Phương pháp:
 .Minh họa các dạng thường gặp:
 f x 0,x a;b f x 0,x a;b f x có hai loại dấu trên a;b
 b b c b
 S f (x)dx S f x dx S f (x)dx f x dx
 a a a c
 . Ghi nhớ:  Quan sát hình phẳng mang dấu + hay - 
A - Bài tập minh họa: 
 Câu 1: Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị 
 giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành 
 độ a và b . Gọi H là hình phẳng được 
 giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này (phần 
 tô đậm ở hình vẽ).
 Diện tích của H được tính theo công 
 thức
 b b
 Ⓐ. S f x g x dx . Ⓑ. S g x f x dx .
 a a
 b b
 Ⓒ. S f x g x dx . Ⓓ. S f x g x dx .
 a a
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Quan sát nhanh g x f x 
 b
  Áp dụng công thức S f x g x dx . 
 a
 Quan sát hình vẽ ta thấy g x f x trên a,b 
 b b
  Vậy S f x g x dx g x f x dx .
 a a
 b
  S g x f x dx 
 a
Câu 2: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là diện tích 
 hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hoành, hai 
 đường thẳng x a, x b (như hình vẽ dưới đây).
 Giả sử SD là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong 
 các phương án A, B,C, D cho dưới đây?
 0 b 0 b
 S f x dx f x dx . S f x dx f x dx .
 Ⓐ. D Ⓑ. D 
 a 0 a 0
 0 b 0 b
 S f x dx f x dx . S f x dx f x dx
 Ⓒ. D Ⓓ. D 
 a 0 a 0
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Quan sát dấu của hình phẳng
  b 0 b
 S f x dx f x dx f x dx
 D 
 a a 0
 0 b
 f x dx f x dx
 a 0
Câu 3: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , 
 y 0, x 0 , x ln 4 . Đường thẳng x k 0 k ln 4 
 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình 
 vẽ bên. Tìm k để S1 2S2 .
 2
 Ⓐ. k ln 4 . Ⓑ. k ln 2 .
 3
 8
 Ⓒ. k ln . Ⓓ. k ln 3.
 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D A
 exdx
 k 
 k 0
 x k k  Tính Nhập vào máy và 
 Ta có S1 e dx e e 1 và ln 4
 0 x
 0 e dx
 k
 ln 4 ln 4 CALC với các giá trị của A lần lượt 
 S exdx ex 4 ek
 2 ở 4 phương án. Giá trị nào cho kết 
 k 0 quả bằng 2 thì chọn.
 k k
Ta có S1 2S2 e 1 2 4 e k ln 3 .
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây.
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và 
 trục Ox là
 2 0
 Ⓐ. S f x dx f x dx .
 0 1
 2
 Ⓑ. S f x dx .
 1
 2
 Ⓒ. S f x dx .
 1
 0 2
 Ⓓ. S f x dx f x dx .
 1 0 Câu 2: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị C là đường cong như hình bên dưới.
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 là
 1 2
 Ⓐ. f x dx f x dx .
 0 1
 2
 Ⓑ. f x dx .
 0
 1 2
 Ⓒ. f x dx f x dx .
 0 1
 2
 Ⓓ. f x dx .
 0
 3 2 2
Câu 3: Cho đồ thị hai hàm số y x 3x x 3 và y x 2x 1 như hình sau
 Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo 
 công thức nào dưới đây?
 1 2
 Ⓐ. x3 2x2 x 2 dx x3 2x2 x 2 dx .
 1 1
 2
 Ⓑ. x3 2x2 x 2 dx .
 1
 1 2
 Ⓒ. x3 2x2 x 2 dx x3 2x2 x 2 dx .
 1 1
 2
 Ⓓ. x3 2x2 x 2 dx .
 1
Câu 4: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong như hình bên. Diện tích hình 
 phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 2 là
 1 2
 Ⓐ. S f (x)dx f (x)dx .
 0 1
 1 2
 Ⓑ. S f (x)dx f (x)dx .
 0 1
 2
 Ⓒ. S f (x)dx .
 0
 2
 Ⓓ. S f (x)dx .
 0
Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?
 2 2
 Ⓐ. 2x2 2x 4 dx . Ⓑ. 2x 2 dx .
 1 1
 2 2
 Ⓒ. 2x 2 dx . Ⓓ. 2x2 2x 4 dx .
 1 1
 Câu 6: Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ.Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ