Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Bài 3: Tích phân đổi biến số (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
 Bài 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 
  Dạng ①: Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản
 .Phương pháp: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u u(x) có đạo hàm liên 
 tục trên đoạn [a;b] và u(x) . Giả sử có thể viết f (x) g(u(x))u '(x), x [a;b], với g liên tục 
 trên đoạn [ ; ]. Khi đó, ta có
 b b u(b)
 I f (x)dx g(u(x))u' (x)dx g(u)du.
 a a u(a)
 b
 . Để tính tích phân: I g(u(x))u' (x)dx ta thực hiện các bước: 
 a
 .Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t u x dt u (x)dx 
 . Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:
  Với x a thìt u a ; x b thì t u b . (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)
 u(b)
 . Bước 3. Đưa về dạng I f (t)dt đơn giản và dễ tính hơn.
 u(a)
 . Dấu hiệu nhận biết và cách đặt.
 Dấu hiệu Có thể đặt
 . Có căn f x t f (x)
 n
 . Có ngoặc (ax b) t ax b
 f (x)
 . Có mũ a t f (x)
 dx
 . Có và ln x t ln x hoặc biểu thức chứa ln x
 x 
 x x x
 . Có e dx t e hoặc biểu thức chứa e
 . Có sin xdx t cos x
 . Có cos xdx t sin xdx
 dx
 . Có t tan x
 cos2 x 
 dx
 . Có t cot x 
 sin2 x 
 f ' x dx
 . Có mẫu: t mẫu
 f x 
 A - Bài tập minh họa: 
 1
 Câu 1: Tính tích phân I x(1 x2 )4dx 
 0
 16 31 1 1
 Ⓐ. I Ⓑ. I Ⓒ. I Ⓓ. I 
 5 10 10 10
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Casio:
  Đặt t 1 x2 dt 2xdx .
 Đổi cận x 0 t 1; x 1 t 2
 2 t 4 31
 Nên I dt 
 1 2 10
 2
 Câu 2: Tính tích phân I 2x x2 1dx bằng cách đặt u x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
 1
 3 2
 Ⓐ. I 2 udu Ⓑ. I udu
 0 1
 3 1 2
 Ⓒ. I udu Ⓓ. I udu
 0 2 1
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Casio: xét hiệu bằng 0
 2
  I 2x x2 1dx
 1
 Đặt u x2 1 du 2xdx . 
 Đổi cận x 1 u 0 ; x 2 u 3
 3
 Nên I udu
 0
 Câu 3: Tính tích phânI cos3 x.sin xdx .
 0
 1 1
 Ⓐ. I 4 Ⓑ. I 4 Ⓒ. I 0 Ⓓ. I 
 4 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C
 3  Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng 
 Ta có: I cos x.sin xdx . giác phải chuyển về đơn vị radian.
 0 Đặt t cos x dt sin xdx dt sin xdx
 Đổi cận: với x 0 t 1;với x t 1.
 1 4
 1 1 t 4 14 1 
 Vậy I t3dt t3dt 0 .
 1 1 4 1 4 4
B - Bài tập rèn luyện:
 1
Câu 1: Cho tích phân I x 1 x 5 dx . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 0
 0 0
 Ⓐ. I t5 1 t dt . Ⓑ. I t 6 t5 dt .
 1 1
 1 0
 Ⓒ. I t5 1 t dt . Ⓓ. I t 6 t5 dt .
 0 1
 4
Câu 2: Cho I x 1 2x dx và u 2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
 0
 3
 5 3 3
 1 u u 2 2
 Ⓐ. I . Ⓑ. I u u 1 du .
 2 5 3 
 1 1
 1 3 1 3
 Ⓒ. I x2 x2 1 dx . Ⓓ. I u2 u2 1 du .
 2 1 2 1
 3 x
Câu 3: Tính K dx .
 2
 2 x 1
 1 8 8
 Ⓐ. K ln 2 . Ⓑ. K ln . Ⓒ. K 2 ln 2 . Ⓓ. K ln .
 2 3 3
Câu 4: Tích phân cos2 x.sin x dx bằng
 0
 3 2 2 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 3 2
 2
Câu 5: Cho I 2x x2 1dx và u x2 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
 1
 3 2 2 2 3
 Ⓐ. I udu . Ⓑ. I 27 . Ⓒ. I udu . Ⓓ. I 32 .
 0 3 1 3
 2 cot3 x
Câu 6: Cho I dx và u cot x . Mệnh đề nào dưới đây đúng
 2
 sin x
 4
 2 1 1 1
 Ⓐ. I u3du . Ⓑ. I u3du . Ⓒ. I u3du . Ⓓ. I udu .
 0 0 0
 4
 ln5 ex 1 ex
Câu 7: Cho I dx . Đặt t ex 1 . Chọn mệnh đề đúng.
 x
 ln 2 e 1 4 ln5
 Ⓐ. I 2 t 2 2 dt . Ⓑ. I (t 2 2)dt .
 1 ln 2
 2 4
 Ⓒ. I 2 t 2 2 dt . Ⓓ. I t 2 2 dt .
 1 1
 4
Câu 8: Cho I x 1 2x dx và u 2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
 0
 3
 5 3 3
 1 u u 2 2
 Ⓐ. I . Ⓑ. I u u 1 du .
 2 5 3 
 1 1
 1 3 1 3
 Ⓒ. I x2 x2 1 dx . Ⓓ. I u2 u2 1 du .
 2 1 2 1
 3 x
Câu 9: Tính K dx .
 2
 2 x 1
 1 8 8
 Ⓐ. K ln 2 . Ⓑ. K ln . Ⓒ. K 2 ln 2 . Ⓓ. K ln .
 2 3 3
 2 cot3 x
Câu 10: Cho I dx và u cot x . Mệnh đề nào dưới đây đúng
 2
 sin x
 4
 2 1 1 1
 Ⓐ. I u3du . Ⓑ. I u3du . Ⓒ. I u3du . Ⓓ. I udu .
 0 0 0
 4
 ln5 ex 1 ex
Câu 11: Cho I dx . Đặt t ex 1 . Chọn mệnh đề đúng.
 x
 ln 2 e 1
 4 ln5
 Ⓐ. I 2 t 2 2 dt . Ⓑ. I (t 2 2)dt .
 1 ln 2
 2 4
 Ⓒ. I 2 t 2 2 dt . Ⓓ. I t 2 2 dt .
 1 1
 3
Câu 12: Cho I sin x cos2 xdx , khẳng định nào sau đây đúng?
 0
 1 1 1 1 2 2
 Ⓐ. I . Ⓑ. 0 I . Ⓒ. I . Ⓓ. I 1.
 3 2 3 2 3 3
 1 dx
Câu 13: Cho I , m là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của m để I 1.
 0 2x m
 1 1 1 1
 Ⓐ. 0 m . Ⓑ. m . Ⓒ. m 0 . Ⓓ. m .
 4 4 8 4
 2 2
Câu 14: Cho tích phân I 16 x2 dx và x 4sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 0
 4 4
 Ⓐ. I 8 1 cos2t dt . Ⓑ. I 16 sin2 tdt .
 0 0 
 4 4
 Ⓒ. I 8 1 cos2t dt . Ⓓ. I 16 cos2 tdt .
 0 0
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B
 11.C 12.B 13.A 14.A
  Dạng ②: Tích phân đổi biến chứa tham số a, b, c cơ bản
 -Phương pháp: 
 b
 . Để tính tích phân: I g(u(x))u' (x)dx ta thực hiện các bước: 
 a
 .Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t u x dt u (x)dx 
 . Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:
  Với x a thì t u a ; x b thì t u b 
 u(b)
 . Bước 3. Đưa về dạng I f (t)dt đơn giản và dễ tính hơn.
 u(a)
A - Bài tập minh họa: 
 1 a 2 1
Câu 1: Cho biết x x2 1dx với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a2 b2 bằng
 0 b
 Ⓐ. 5. Ⓑ. 5. Ⓒ. 2. Ⓓ.7.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A Tính tích phân rồi lưu lại là A .
 2 2 2 a 2 1
 Đặt x 1 t x 1 t x dx t dt . Rút b .
 A
Ta có x 0 t 1, x 1 t 2 .
 x 2 1
 2 2  table f x với Start: 
 1 t3 2 2 1 A
Khi đó: x x2 1dx t 2 dt a 2, b 3. 
 0 , End: 18 , Step: 1 .
 0 1 3 1 3 
 2 2  x 2 f x 3
Vậy a b 5 . Được cặp số , 
 thỏa mãn. Suy ra a 2,b 3.
 e ln x
Câu 2: Cho dx a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng
 2
 1 x ln x 2 
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 2 . Ⓓ.1 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  
 1
  Đặt t ln x dt dx .
 x
 Đổi cận: x 1 t 0; x e t 1.
 Khi đó:
 e ln x 1 t
 I dx dt
 2 2
 1 x ln x 2 0 t 2 
 1 t 2 2 1 1 2 
 dt dt
 2 t 2 2
 0 t 2 0 t 2 
 1
 1 1
 ln t 2 2. ln 2 ln 3.
 t 2 0 3
 1
 Suy ra: a ; b 1; c 1.
 3
 Do đó: 3a b c 1.
 ln 6 ex
Câu 3: Biết dx a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c .
 x
 0 1 e 3
 Ⓐ. T 1. Ⓑ. T 0 . Ⓒ. T 2. Ⓓ.T 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  
 ln 6 ex
 Xét I dx . Đặt t ex 3 t2 ex 3 
 x
 0 1 e 3
 2tdt exdx .
Đổi cận x 0 t 2 , x ln 6 t 3 .
 3 3
 2t 2 3
Khi đó I dt 2 dt 2t 2ln t 1
 2
 2 t 1 2 t 1 
 2 4ln 2 2ln 3 .
Suy ra a 2 , b 4 , c 2 nên T a b c 0 .
B - Bài tập rèn luyện:
 5 dx
Câu 1: Tính tích phân I ta được kết quả I aln3 bln5. Giá trị S a2 ab 3b2 là
 1 x 3x 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 1 . Ⓓ.5. e ln x c
Câu 2: Cho I dx a ln 3 bln 2 , với a,b,c . Khẳng định nào sau đâu đúng.
 2 ¢
 1 x ln x 2 3
 Ⓐ. a2 b2 c2 1. Ⓑ. a2 b2 c2 11. Ⓒ. a2 b2 c2 9 . Ⓓ. a2 b2 c2 3.
 4 2x 1 3
Câu 3: Cho dx a ln bln c , với a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của 5a 15b 11c bằng
 2
 3 3x x 2 2
 Ⓐ. 12 . Ⓑ. 15. Ⓒ. 14 . Ⓓ.9.
 4 dx
Câu 4: Biết I a ln 2 bln 3 c ln 5 , trong đó a,b,c Z . Tính giá trị của T a b c .
 2
 3 x x
 Ⓐ. T 2 . Ⓑ. T 3. Ⓒ. T 1 . Ⓓ.T 5.
 5 1
Câu 5: Giả sử tích phân I dx a bln 3 c ln 5 a,b,c ¤ . Khi đó:
 1 1 3x 1
 8 4 5 7
 Ⓐ. a b c . Ⓑ. a b c . Ⓒ. a b c . Ⓓ. a b c .
 3 3 3 3
 4 2 3tan x
Câu 6: Cho dx a 5 b 2, với a,b ¡ . Tính giá trị biểu thức A a b.
 0 1 cos 2x
 1 7 2 4
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 12 3 3
 e ln x
Câu 7: Cho dx a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng
 2
 1 x ln x 2 
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 2 . Ⓓ.1 .
 3 ln x a a
Câu 8: Cho dx ln 3 c ln 2 với a, b, c * và phân số tối giản. Giá trị của a b c 
 2 ¥
 1 x 1 b b
 bằng
 Ⓐ. 8. Ⓑ. 7 . Ⓒ. 6 . Ⓓ.9.
 ln 6 ex
Câu 9: Biết dx a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính T a b c .
 x
 0 1 e 3
 Ⓐ. T 1. Ⓑ. T 0 . Ⓒ. T 2. Ⓓ.T 1.
 e ln x 3 a
Câu 10: Cho biết dx b 3 , với a ,b là các số nguyên. Giá trị của biểu
 1 x 3
 1
 thức log a bằng
 2b 2
 7
 Ⓐ. -1. Ⓑ. . Ⓒ. 8. Ⓓ.6.
 2
 1 a 2 1
Câu 11: Cho biết x x2 1dx với a , b là các số tự nhiên. Giá trị của a2 b2 bằng
 0 b
 Ⓐ. 5. Ⓑ. 5. Ⓒ. 2. Ⓓ.7.
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A  Dạng ③: Tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản
 -Phương pháp: 
 b
 Tính tích phân I g(x)dx .Giả sử g(x) được viết dưới dạng f u(x).u (x) ,trong 
 a
 đó hàm số u(x) có đạo hàm trênK , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp 
 f u(x) xác định trên K và a,b là hai số thuộc K . 
 b u(b)
 Khi đó f u(x).u (x)dx f (u)du
 a u(a)
 Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay 
 cho x . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là 
 b b b
 f (x)dx f (u)du f (t)dt ... 
 a a a
A - Bài tập minh họa: 
 9 4
Câu : Biết f x là hàm liên tục trên ¡ và f x dx 9. Khi đó giá trị của f 3x 3 dx là
 0 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 27 . Ⓒ. 3. Ⓓ. 24 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C m
  Nếu có f x dx M thì 
  Đặt u 3x 3, suy ra du 3dx . n
  Đổi cận: x 1 thì u 0 ; x 4 thì u 9 .  M
 f ax b dx ;
  Ta có: 
 a 
 4 9 1 1 9 1 9 1
 f 3x 3 dx f u du f u du f x dx .9 3. . n a. b,m a. b
 1 0 3 3 0 3 0 3
  Áp dụng: 
 4
  Vậy f 3x 3 dx 3. 9
 1 3
 3
Câu 2: Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x3 2x 2) 3x 1 với x R . Tính 
 10
 tích phân I f (x)dx
 1
 151 121 105
 Ⓐ. . Ⓑ. 27 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 4 6
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  
  Đặt x t3 2t 2 dx 3t 2 2t dt , 
 x 1 t3 2t 3 t 1
 Đổi cận : 
 3
 x 10 t 2t 12 t 2
 2 2
Ta có I f (t3 2t 2). 3t 2 2t dt 3t 1 3t 2 2t dt
 1 1
 2
 2 4
 3 2 9t 3 2 151
 9t 3t 2t dt t t 
 4 4
 1 1
 2021
Câu 3: Cho Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x)dx 2 . Tính tích phân 
 0
 2021
 e 1 x
 I . f ln(x2 1) .dx
 2 
 0 x 1
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 5 . Ⓒ. 1. Ⓓ. 3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 2 2x x 1
 Đặt t ln x 1 dt 2 dx 2 dx dt , 
 x 1 x 1 2
 x 0 t 0
 Đổi cận : 
 2021
 x e 1 t 2021
 1 2021 1 2021 1
 Ta có I f (t)dt f (x)dx .2 1
 2 0 2 0 2
B - Bài tập rèn luyện:
 3 1
Câu 1: Cho f x dx 4 , khi đó f 2x 1 dx bằng
 1 0
 1 3
 Ⓐ. 8 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2
 3 1
Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x dx 2 . Tính I f 2x 1 2x 1 dx
 1 0
 .
 Ⓐ. I 11. Ⓑ. I 3 . Ⓒ. I 14 . Ⓓ. I 6 .
 9 1
Câu 3: Cho f x dx 10. Tính tích phân J f 5x 4 dx .
 4 0
 Ⓐ. J 2 . Ⓑ. J 10. Ⓒ. J 50 . Ⓓ. J 4 . 8 3 3
Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 10 . Tính I f 3x 1 dx .
 2 2 1
 Ⓐ. 30 . Ⓑ. 10 . Ⓒ. 20 . Ⓓ.5.
 2 3
Câu 5: Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ . Biết rằng f x dx 8 và f 2x dx 3. Tính tích 
 1 1
 6
 phân f x dx .
 1
 Ⓐ. 14. Ⓑ. 11. Ⓒ. 5. Ⓓ. 2 .
 4 2
Câu 6: Cho f (x)dx 2018. Tính tích phân I  f (2x) f (4 2x)dx
 0 0
 Ⓐ. I 0 . Ⓑ. I 2018. Ⓒ. I 4036 . Ⓓ. I 1009.
 4 5 2 ln 2
Câu 7: Biết f x dx 5 và f x dx 20 . Tính f 4x 3 dx f e2x e2xdx .
 1 4 1 0
 15 5
 Ⓐ. I . Ⓑ. I 15 . Ⓒ. I . Ⓓ. I 25. 
 4 2
 4 2
Câu 8: Cho ò f (x)dx = 2018 . Tính tích phân I = ò[f (2x) + f (4- 2x)]dx .
 0 0
 Ⓐ. I = 0. Ⓑ. I = 2018. Ⓒ. I = 4036. Ⓓ. I = 1009.
 2
Câu 9: Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn 0;2 thỏa mãn f x dx 6 . Tính tích phân
 0
 2
 I f 2sin x cos xdx.
 0
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 6 .
 4 1
Câu 10: Cho I f t dt 9 . Tính tích phân J f 3x 1 dx .
 1 0
 Ⓐ. 9. Ⓑ. 27. Ⓒ. 3. Ⓓ.1.
 1 4
Câu 11: Cho f x dx 2019 . Giá trị của I f cos 2x sin 2xdx bằng
 0 0
 2019 2019 2019
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. 4038 . Ⓓ. .
 4 2 2
 4 2
Câu 12: Cho tích phân I f x dx 32. Tính tích phân J f 2x dx.
 0 0
 Ⓐ. J 32. Ⓑ. J 64. Ⓒ. J 8. Ⓓ. J 16.
 1 2 3
 Câu 13 ho hàm số f (x) liên tục trên ¡ có 2 f x dx 2 và f x 1 dx 4. Tính I f x dx .
 0 0 0
 Ⓐ. I = 5. Ⓑ. I = 4. Ⓒ. I = 6. Ⓓ.I = 7.