Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Bài 2: Tích phân dùng định nghĩa, tính chất (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
 Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT
  Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa
 .Phương pháp: 
 b
 b
  f (x)dx F(x) F(b) F(a)
 a
 a
 b b
 Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f (x)dx hay f (t)dt. Tích phân đó 
 a a
 chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
 . Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.
 A - Bài tập minh họa: 
 b
 Câu 1: Tính tích phân dx .
 a
 Ⓐ. a b . Ⓑ. a.b . Ⓒ. b a . Ⓓ. a b .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 b b
  Ta có: dx x b a
 a a
 0
 Câu 2: Giá trị của ex 1dx bằng
 1
 Ⓐ. 1 e . Ⓑ. e 1. Ⓒ. e. Ⓓ. e.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  
 0
 0
  Ta có ex 1dx = ex 1 = e 1 .
 1
 1
 1
 Câu 3: Tích phân I x2020dx bằng
 0
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ. . Ⓓ. 1 .
 2021 2019
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  
 1
 1 x2021 1
  Ta có I x2020dx .
 0 2021 0 2021
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Biết f x dx F x C .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 b b
 Ⓐ. f x dx F b F a . Ⓑ. f x dx F b .F a .
 a a
 b b
 Ⓒ. f x dx F a F b . Ⓓ. f x dx F b F a .
 a a
Câu 2: Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
 2
 2 2 2 
 x 2 
 Ⓐ. x 1 dx x . Ⓑ. cos xdx sin x .
 2 
 1 1 
 2 3
 1 2 3
 Ⓒ. dx ln x . Ⓓ. exdx ex .
 3 1
 3 x 1
 3
Câu 3: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1;3, f 3 5 và f x dx 6. Khi đó f 1 bằng
 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 11. Ⓒ.1. Ⓓ. 10.
 2 3
Câu 4: F x là nguyên hàm của hàm số f x x 0 , biết rằng F 1 1. Tính F 3 .
 x x2
 Ⓐ. F 3 3ln 3 3 . Ⓑ. F 3 2ln 3 2 . Ⓒ. F 3 2ln 3 3. Ⓓ. F 3 3 .
 3
Câu 5: Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ , f 1 2 và f 3 2. Tính I f ' x dx.
 1
 Ⓐ. I 4. Ⓑ. I 3. Ⓒ. I 0. Ⓓ. I 4.
Câu 6: Cho các số thực a, b a b . Nếu hàm số y f x có đạo hàm là hàm liên tục trên ¡ thì
 b b
 Ⓐ. f x dx f a f b . Ⓑ. f x dx f b f a .
 a a
 b b
 Ⓒ. f x dx f a f b . Ⓓ. f x dx f b f a .
 a a
Câu 7: PT 1.2 Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Khi đó hiệu số F 1 F 2 bằng
 2 1 2 2
 Ⓐ. f x dx . Ⓑ. F x dx . Ⓒ. F x dx . Ⓓ. f x dx .
 1 2 1 1
 b
Câu 8: Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên a;b, f b 5 và f x dx 1, khi đó 
 a
 f a bằng
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 6 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 4 . 1
Câu 9: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 và thoản mãn f x dx 3 . Giá trị của biểu 
 0
 thức f 0 f 1 
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 1 . Ⓒ.3 . Ⓓ. 3 .
Câu 10: Cho hàm số y x3 có một nguyên hàm là F x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 Ⓐ. F 2 F 0 16 . Ⓑ. F 2 F 0 1. Ⓒ. F 2 F 0 8 . Ⓓ. F 2 F 0 4.
Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 1 2 và f 3 9. Tính 
 3
 I f x dx .
 1
 Ⓐ. I 11. Ⓑ. I 2 . Ⓒ. I 7 . Ⓓ. I 18 .
 3 dx
Câu 12: Tính tích phân I .
 0 x 2
 21 5 5 4581
 Ⓐ. I . Ⓑ. I ln . Ⓒ. I log . Ⓓ. I .
 100 2 2 5000
 2 1
Câu 13: Tính tích phân I dx .
 1 2x 1
 Ⓐ. I ln 3 1. Ⓑ. I ln 3 . Ⓒ. I ln 2 1. Ⓓ. I ln 2 1 .
Câu 14: Cho các số thực a,b a b . Nếu hàm số y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x 
 thì
 b b
 Ⓐ. f x dx F a F b . Ⓑ. F x dx f a f b .
 a a
 b b
 Ⓒ. F x dx f a f b . Ⓓ. f x dx F b F a .
 a a
Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên tập ¡ , một nguyên hàm của f x là F x thoả mãn F 1 3 
 1
 và F 0 1. Giá trị f x dx bằng
 0
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 4.
 3
Câu 16: Cho hàm số f x thỏa mãn f 0 1, f x liên tục trên ¡ và f x dx 9 . Giá trị của f 3 
 0
 là
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 3 . Ⓒ.10. Ⓓ. 9 .
 3
Câu 17: Cho hàm số f x thỏa mãn f 0 1, f x liên tục trên ¡ và f x dx 9 . Giá trị của f 3 
 0
 là
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 3 . Ⓒ.10. Ⓓ. 9 .
 1
Câu 18: Tích phân x x2 3 dx bằng
 0 4 7
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 4
 2 dx
Câu 19: bằng
 1 3x 2
 2 1
 Ⓐ. 2ln 2 . Ⓑ. ln 2 . Ⓒ. ln 2 . Ⓓ. ln 2.
 3 3
 b 1
Câu 20: Cho hai số thực a,b 0; thỏa mãn dx 10 . Giá trị của tan a tan b bằng
 2
 2 a cos x
 1 1
 Ⓐ. 10. Ⓑ. . Ⓒ. 10 . Ⓓ. .
 10 10
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D
 11.C 12.B 13 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.B 20.C
  Dạng ②: Tích phân dùng tính chất
 .Phương pháp: 
 Giả sử cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên K,a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có 
 a b a
 ①.② f.( x)dx 0 . f (x)dx f (x)dx
 a a b
 b c b b b b
 ③.④ f.( x)dx f (x)dx f (x)dx . f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
 a a c a a a
 b b
 ⑤. kf (x)dx k. f (x)dx . 
 a a
A - Bài tập minh họa: 
 2 2 2
Câu 1: Cho biết f x dx 3 và g x dx 2 . Tính tích phân I 2x f x 2g x dx .
 0 0 0
 Ⓐ. I 11. Ⓑ. I 18 . Ⓒ. I 5 . Ⓓ. I 3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  
 2
  Ta có I 2x f x 2g x dx
 0
 2 2 2
 2xdx f x dx 2 g x dx 4 3 2. 2 11.
 0 0 0
 2 4 4
Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 9; f x dx 4 . Tính I f x dx ?
 0 2 0
 9
 Ⓐ. I . Ⓑ. I 36 . Ⓒ. I 13. Ⓓ. I 5.
 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 4 2 4
 Ta có f x dx f x dx f x dx 9 4 13.
 0 0 2
 1 5 5
Câu 3: Cho f x dx 2 và 2 f x dx 6 khi đó f x dx bằng
 0 1 0
 Ⓐ. 1 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A 
 5 5
 2 f x dx 6 f x dx 3
 1 1
 5 1 5
 f x dx f x dx f x dx 2 3 1
 0 0 1
B - Bài tập rèn luyện:
 2 5 5
Câu 1: Nếu f x dx 3, f x dx 1 thì f x dx bằng
 1 2 1
 Ⓐ. .2 Ⓑ. . 2 Ⓒ.. 3 Ⓓ. . 4
Câu 2: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên ¡ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
 b b b b b
 Ⓐ. . f x dx f y dyⒷ. . f x g x dx f x dx g x dx
 a a a a a
 a b b b
 Ⓒ.. f x dx 0 Ⓓ. . f x .g x dx f x dx. g x dx
 a a a a
Câu 3: Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên ¡ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
 b b
 Ⓐ. . f x dx f y dy
 a a
 b b b
 Ⓑ. . f x g x dx f x dx g x dx
 a a a
 a
 Ⓒ.. f x dx 0
 a
 b b b
 Ⓓ. . f x g x dx f x dx. g x dx
 a a a
 1 1 1
Câu 4: Cho f x dx 2 và g x dx 5 , khi đó f x 2g x dx bằng
 0 0 0 Ⓐ. . 3 Ⓑ. . 8 Ⓒ.. 12 Ⓓ. . 1
 1 1 1
Câu 5: Cho f x 2g x dx 12 và g x dx 5 , khi đó f x dx bằng
 0 0 0
 Ⓐ. . 2 Ⓑ. . 12 Ⓒ.. 22 Ⓓ. . 2
 1 1 1 1 
Câu 6: Cho f x dx 2 và g x dx 7 , khi đó f x g x dx bằng
 1 1 1 7 
 Ⓐ. . 3 Ⓑ. Ⓒ.. 3 Ⓓ. . 1
 c c a
Câu 7: Cho f x dx 50 , f x dx 20 . Tính f x dx .
 a b b
 Ⓐ. . 30 Ⓑ. . 0 Ⓒ.. 70 Ⓓ. . 30
 1 1 1
Câu 8: Cho f x dx 2 và g x dx 5 , khi đó f x 2g x dx bằng
 0 0 0
 Ⓐ. . 3 Ⓑ. . 12 Ⓒ.. 8 Ⓓ. . 1
 6 10 6
Câu 9: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x dx 7, f x dx 8, f x dx 9 . Giá trị của 
 0 3 3
 10
 I f x dx bằng
 0
 Ⓐ. .I 5 Ⓑ. . I 6 Ⓒ.. I Ⓓ.7 . I 8
 2 2
Câu 10: Cho hàm số f (x) liên tục trên tập R và thỏa mãn f x dx 3, f x dx 5. Giá trị của biểu 
 1 0
 1
 thức f x dx bằng
 0
 Ⓐ. 8 . Ⓑ. 11. Ⓒ. 8 . Ⓓ. 2 .
Câu 11: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 1 1 2 1 1
 Ⓐ. f x dx f x dx . Ⓑ. f x dx 2 f x dx .
 0 2 0 1 0
 1 1 1
 Ⓒ. f x dx 0 . Ⓓ. f x dx f 1 x dx .
 1 0 0
Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , biết f 4 3, f 1 1. Tính 
 4
 2 f x dx
 1
 Ⓐ. 10. Ⓑ. 8 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 5 .
 3
Câu 13: Cho các hàm số f x , g x liên tục trên ¡ có 3 f x 2g x dx 1; 
 1
 3 1
 2 f x g x dx 3. Tính f 2x 1 dx .
 1 0 5 10 11 5
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 7 14 14
Câu 14: Cho f x và g x là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn a;b . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
 b b b b b b
 Ⓐ. . Ⓑ.f x . g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx
 a a a a a a
 b b b b b b
 Ⓒ.. Ⓓ. f .x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx
 a a a a a a
 5 5 5
Câu 15: Biết f x dx 3, g x dx 9. Tích phân f x g x dx bằng
 2 2 2
 Ⓐ. 10. Ⓑ. 3 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 12.
 0 3 3
Câu 16: Cho f (x)dx 3 f (x)dx 3 . Tính tích phân f (x)dx ?
 1 0 1
 Ⓐ. 6 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 0 .
 1 1 1
Câu 17: Cho f (x)dx 2 và g(x)dx 5. Khi đó  f (x) 3g(x)dx bằng
 0 0 0
 Ⓐ. 10 . Ⓑ. 12. Ⓒ. 17 . Ⓓ. 1 .
 0 2 2
Câu 18: Cho f (x)dx 2, f (x)dx 2 . Tích phân f (x)dx bằng
 2 0 2
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 3 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 1 .
 0 4 4
Câu 19: Cho f x dx 1 và f x dx 3. Khi đó, I f x dx bằng
 1 0 1
 Ⓐ. I 4 . Ⓑ. I 2 . Ⓒ. I 4 . Ⓓ. I 2 .
 2 2 3
Câu 20: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0;3 và f (x)dx 1, f (x)dx 4. Tính I f (x)dx .
 0 3 0
 Ⓐ. I 5 . Ⓑ. I 3 . Ⓒ. I 3 . Ⓓ. I 4 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C
 11.D 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B 17.C 18.A 19.B 20.B  Dạng ③: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c
 -Phương pháp: 
 
  dx 1  adx 1
 ①. Dạng 1:I  ln ax b . (với a≠0)
 ax b a ax b a
  dx 1  1
 Chú ý: I = (ax b) k .adx .(ax b) k 1 
 k 
 (ax b) a a(1 k)
  dx
 ②. Dạng 2: I a 0 (ax 2 bx c 0 với mọi x ;  ),é b2 4ac .
 2 
 ax bx c
 b b 
 • 0,thì x ;x 
 1 2a 2 2a
 1  1 1 1
 I dx ln x x ln x x 
 a(x x ) x x x x a(x x ) 1 2 
 1 2 1 2 1 2 
 1 x x
 ln 1 
 a(x1 x2) x x2 
 1 1 b 
 • 0 thì x 
 2 2 0 2a
 ax bx c a(x x0) 
  dx 1  dx 1
 thì I = 
 2 a 2 a(x x ) 
 ax bx c (x x0) 0
  dx  dx
 • 0 thì I 
 2
 ax bx c 2 2 
 b 
 a x 
 2 
 2a 4a 
 b 1 
 Đặt x tant dx 1 tan2 t dt
 2a 4a2 2 a2 
  mx n mx n
 ③. Dạng 3: I dx, a 0 .( f (x) liên tục trên đoạn ;  )
 2 2 
 ax bx c ax bx c
 • Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: 
 mx n A(ax 2 bx c) ' B A(2ax b) B
 ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c
  mx n  A(2ax b)  B
 • Ta có I= dx dx dx
 2 2 2
 ax bx c ax bx c ax bx c
  A(2ax b) 
 Tích phân dx =A ln ax 2 bx c
 2 
 ax bx c
  dx
 Tích phân thuộc dạng 2.
 2
 ax bx c
A - Bài tập minh họa: 
 1 x 1 3
Câu 1: Cho biết dx a bln , với a,b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a 2b bằng
 0 x 2 2
 Ⓐ. 6 Ⓑ. 3 . Ⓒ. 5 . Ⓓ. 7 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D Casio:
 1 1
 x 1 3 1  Bước 1: Tính tích phân rồi lưu lại là A .
  Ta có: dx 1 dx x 3ln x 2
 0
 0 x 2 0 x 2 3
 Bước 2: Rút a A bln . 
 3
 1 3ln 3 0 3ln 2 1 3ln . 2
 2
 3
 Bước 3: Table nhập f x A x ln
 a 1 2 
 Suy ra . Vậy a 2b 7 .
 b 3 với Start: 9 , End: 9, Step: 1 .
 Được cặp số x 3 , f x 1 thỏa mãn. 
 Suy ra a 1 ,b 3 .
 1 xdx
Câu 2: Cho a bln 2 c ln 3 với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng
 2
 0 2x 1 
 1 5 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 12 12 3 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A t 1 1
  Đặt t 2x 1 x ,dx dt 
 2 2
 1 xdx 1 1 2x 1 1 dx 1 1 1 1 
 d 2x 1 3
 2 2 2 t 1 1 1 3 1 1
 0 2x 1 2 0 2x 1 4 0 2x 1 2x 1  I dt ln t ln 3 
 2 
 1 4t 4 4t 1 4 6
 1 1 1 1 1 1 1
 ln 2x 1 ln 3 1 ln 3 . 1
 4 2x 1 0 4 3 4 6 Vậy: a b c 
 12
 1 1 1
Vậy a b c .
 6 4 12
 3 1 5x
Câu 3: Cho dx a ln b c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 9a 11b 22c bằng
 2
 2 9x 24x 16
 Ⓐ. 15. Ⓑ. 10. Ⓒ.7 . Ⓓ. 9.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
 Ta có 
 5 17
 3 3 3 3x 4 
 1 5x 1 5x 
 dx dx 3 3 dx
 2 2 2
 2 9x 24x 16 2 3x 4 2 3x 4 5 3 dx 17 3 dx 5 5 d 3x 4 17 5 d 3x 4 
 2 2
 3 2 3x 4 3 2 3x 4 9 2 3x 4 9 2 3x 4 
 5
 5 17 1 5 2 17
 ln 3x 4 . ln 
 9 9 3x 4 2 9 11 22
 5 2 17
 a ,b ,c 
 9 11 22
 5 2 17
 9a 11b 22c 9. 11. 22. 10
 9 11 22
B - Bài tập rèn luyện:
 a 875
Câu 1: Tìm số thực a 0 thỏa mãn x3 6x dx .
 1 4
 Ⓐ. a 4 . Ⓑ. a 5. Ⓒ. a 6 . Ⓓ. a 3.
 2 dx 1 b
Câu 2: Giá trị của tích phân là ln ,. Tổng a b c bằng
 1 2x 5 a c
 Ⓐ. 18. Ⓑ. 14. Ⓒ.16. Ⓓ. 10.
 5 dx
Câu 3: Giả sử a ln(b 1) , với a,b là các số nguyên không âm. Tính T a b ?
 1 2x 1
 Ⓐ. 9. Ⓑ. 2. Ⓒ.-1. Ⓓ. 1.
 1
 2 2x 1
Câu 4: Biết dx a ln 3 bln 2 c ( a,b,c là các số nguyên). Giá trị a b c bằng
 0 x 1
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. 4 . Ⓒ.3. Ⓓ. 1.
 2
Câu 5: Cho biết 4 sin x dx a b , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a b bằng
 0
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 6 . Ⓒ.1 . Ⓓ. 1 .
 8 b b
Câu 6: Cho I cos2 2xdx , với a, b , c là các số nguyên dương, tối giản. Tính P a b c .
 0 a c c
 Ⓐ. P 15. Ⓑ. P 23. Ⓒ. P 24 . Ⓓ. P 25 .
 1 x2 2x
Câu 7: Cho dx a bln 2 với a , b là các số hữu tỷ. Giá trị của 16a b là
 3
 0 x 1 
 Ⓐ. 17 . Ⓑ. 10. Ⓒ. 8 . Ⓓ. 5 .
 3 2x 1
Câu 8: Cho dx a ln 2 b ln3 c ln 5, (a,b,c ¢ ) . Giá trị của a b c bằng
 2
 1 x 3x 2
 Ⓐ. -1 Ⓑ. 4 Ⓒ.1 Ⓓ. 7