Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
 Bài ❶: NGUYÊN HÀM
  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa và tính chất cơ bản
 .Phương pháp: 
 . Định nghĩa: Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F x f x 
 với mọi x thuộc K .
 . Tính chất: 
 . f x g x dx f x g x dx
 *
  kf x dx k f x dx,k ¡ k. f x l.g x dx k f x dx l g x dx .
 '
  f x dx f x C . 
 . Bảng nguyên hàm: 
  dx x C ▪ kdx kx C
 1 1
 x 1 kx b 
  x dx C 1 ▪ (kx b) dx C 1 
 1 k 1
 dx dx 1
  ln | x | C ▪ ln kx b C
 x kx b k
 dx 1
  C dx
 2 ▪ 2 x C
 x x x
 sin xdx cos x C 1
  ▪ sin(kx b)dx cos(kx b) C
  cos xdx sin x C k
 1 1
  dx tan x C ▪ cos(kx b)dx sin(kx b) C
 cos2 x k
 2 1 1
  1 tan x dx tan x C ▪ dx tan(kx b) C
 cos2 (kx b) k
 1
  dx cot x C 1 1
 sin2 x ▪ dx cot(kx b) C
 sin2 (kx b) k
  1 cot2 x dx cot x C
 x x
  e dx e C kx b 1 kx b
 ▪ e dx e C
 x
 x a k
  a dx C(0 a 1) kx b
 1 a
 ln a ▪ akx bdx C(0 a 1)
 k ln a
 Phương pháp: Casio.
 d
  Xét hiệu: Nhấn shift (F(x)) f (x) 0 
 dx x x0
 d
  Calc x 2.5 hay x 3 ,.(F(x)) f (x) 0 là mệnh đề đúng. 
 dx x x0
A - Bài tập minh họa: 
 1
Câu 1: Tất cả nguyên hàm của hàm số f x là
 2x 3
 1 1
 Ⓐ. ln 2x 3 C . Ⓑ. ln 2x 3 C .
 2 2
 1
 Ⓒ. ln 2x 3 C . Ⓓ. ln 2x 3 C .
 ln 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn A  Casio: 
 1 1 1
 f x dx dx d 2x 3 
 2x 3 2 2x 3
 
 1
 ln 2x 3 C
 2
 Calc: x= 2.5
 Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn 
 nhằm đáp án B
Câu 2: Câu 2: Nếu f x dx 4x3 x2 C thì hàm số f x bằng
 x3
 Ⓐ. f x x4 Cx . Ⓑ. f x 12x2 2x C .
 3
 x3
 Ⓒ. f x 12x2 2x . Ⓓ. f x x4 . 
 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn B  Thử đạo hàm 
 Ta có:  Casio 
 f x f x dx 4x3 x2 C 12x2 2x 
 Chú ý dễ chọn nhằm câu B
 1 1
Câu 3: Cho hàm số f x có f ' x với mọi x và f 1 1. Khi đó giá trị của f 5 bằng
 2x 1 2
 Ⓐ. ln 2 . Ⓑ. ln 3 . Ⓒ. ln 2 1. Ⓓ. ln 3 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D . Tư duy Casio 
 Ta có: f ' x dx f x C nên 5
 f x dx f 5 f 1 
 1 1 d 2x 1 1 1
 f x dx ln 2x 1 C 
 2x 1 2 2x 1 2 5 5
 f 5 f 1 f x dx 1 f x dx
 1 1
 . Tổng quát: Mặt khác theo đề ra ta có: f 1 1 b
 f x dx f b f a 
 1 
 ln 2.1 1 C 1 C 1 nên a
 2 b
 1 f b f a f x dx;
 f x ln 2x 1 1 
 2 a
 b
Do vậy f a f b f x dx
 1 1 a
 f 5 ln 2.5 1 1 ln 9 1 ln 3 1
 2 2
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
 Ⓐ. Nếu f x dx F x C thì f u du F u C.
 Ⓑ. . kf x dx k f x dx ( k là hằng số và k 0 ).
 Ⓒ. Nếu F x và G x đều là nguyên hàm của hàm số f x thì F x G x .
 Ⓓ. f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx.
Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x x 3 4 ?
 x 3 5 x 3 5
 Ⓐ. F x x. Ⓑ. F x .
 5 5
 x 3 5 x 3 5
 Ⓒ. F x 2020 . Ⓓ. F x 1.
 5 5
Câu 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 1
 Ⓐ. 0dx C (C là hằng số). Ⓑ. dx ln x C (C là hằng số).
 x
 x 1
 Ⓒ. x dx C (C là hằng số). Ⓓ. dx x C (C là hằng số).
 1
Câu 4: Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục. Xét các mệnh đề sau:
 1
 (I). k. f x dx f x dx với k là hằng số thực khác 0 bất kỳ.
 k
 (II). f x g x dx f x dx g x dx .
 (III). f x .g x dx f x dx. g x dx .
 (IV). f x dx f x C .
 Số mệnh đề đúng là
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 .
Câu 5: Cho hàm số f x xác định trên K và F x , G x là nguyên hàm của f x trên K . Khẳng 
 định nào dưới đây đúng?
 Ⓐ. G x F x , x K. Ⓑ. G x f x , x K.
 Ⓒ. F x G x C , x K. Ⓓ. F x f x , x K .
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai?
 Ⓐ. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên a;b và C là hằng số thì
 f x dx F x C Ⓑ. Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b .
 Ⓒ. F x là một nguyên hàm của f x trên a;b F / x f x , x a;b 
 /
 Ⓓ. f x dx f x 
 1
Câu 7: Hàm số f x có nguyên hàm trên:
 cos x
 Ⓐ. 0; Ⓑ. ; Ⓒ. ;2 Ⓓ. ;
 2 2 2 2 
Câu 8: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x x 3 4 ?
 x 3 5 x 3 5
 Ⓐ. F x x Ⓑ. F x 
 5 5
 x 3 5 x 3 5
 Ⓒ. F x 2017 Ⓓ. F x 1
 5 5
 3
Câu 9: Hàm số F x ex là một nguyên hàm của hàm số
 3 3
 Ⓐ. f x ex Ⓑ. f x 3x2.ex 
 x3
 e 3
 Ⓒ. f x Ⓓ. f x x3.ex 1
 3x2
 x3
Câu 10: Nếu f x dx ex C thì f x bằng
 3
 x4
 Ⓐ. f x ex Ⓑ. f x 3x2 ex
 3
 x4
 Ⓒ. f x ex Ⓓ. f x x2 ex
 12
 1
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x3 
 x
 1 x4
 Ⓐ. f x dx 3x2 C . Ⓑ. f x dx ln x C .
 x2 4
 1 x4
 Ⓒ. f x dx 3x2 C . Ⓓ. f x dx ln x C .
 x2 4
Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 1 xe 1
 Ⓐ. cos 2xdx sin 2x C . Ⓑ. xedx C
 2 e 1
 1 xe 1
 Ⓒ. dx ln x C . Ⓓ. xedx C
 x x 1
Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là 
 Ⓐ. x3 cos x C . Ⓑ. 6x cos x C .
 Ⓒ. x3 cos x C . Ⓓ. 6x cos x C . 1
Câu 14: Tất cả nguyên hàm của hàm số f x là
 2x 3
 1 1
 Ⓐ. ln 2x 3 C . Ⓑ. ln 2x 3 C .
 2 2
 1
 Ⓒ. ln 2x 3 C . Ⓓ. ln 2x 3 C .
 ln 2
Câu 15: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?
 1
 Ⓐ. dx tan x C . Ⓑ. exdx ex C .
 cos2 x 
 1
 Ⓒ. lnxdx C . Ⓓ. sinxdx cos x C .
 x 
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f x e2x x2 là
 e2x x3
 Ⓐ. F x C . Ⓑ. F x e2x x3 C .
 2 3
 x3
 Ⓒ. F x 2e2x 2x C . Ⓓ. F x e2x C .
 3
Câu 17: Nguyên hàm của hàm số f x x3 3x 2 là hàm số nào trong các hàm số sau ? 
 x4
 Ⓐ. F x 3x2 3x C . Ⓑ. F x 3x2 2x C .
 3
 x4 3x2 x4 x2
 Ⓒ. F x 2x C . Ⓓ. F x 2x C .
 4 2 4 2
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex (3 e x ) là
 1
 Ⓐ. F(x) 3ex C . Ⓑ. F(x) 3ex x C .
 ex
 Ⓒ. F(x) 3ex ex ln ex C . Ⓓ. F(x) 3ex x C . 
Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f x ex cos x là
 1
 Ⓐ. ex sin x C . Ⓑ. ex 1 sin x C .
 x 1
 Ⓒ. xex 1 sin x C . Ⓓ. ex sin x C .
Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f (x)= x+ 3x là
 x2 3x 3x
 Ⓐ. F (x)= + + C . Ⓑ. F (x)= 1+ + C .
 2 ln 3 ln 3
 x2 x2
 Ⓒ. F (x)= + 3x + C . Ⓓ. F (x)= + 3x.ln 3+ C .
 2 2
 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C
 11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A
  Dạng ②: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước 
 thức chứa lũy thừa.
 -Phương pháp: 
 Xác định F x là một nguyên hàm của hàm số f x sao cho F x0 k
 Tìm nguyên hàm F x .
 Thế điều kiện F x0 k tìm hằng số C
  Kết luận cho bài toán.
A - Bài tập minh họa: 
 1 1
Câu 1: Cho hàm số f x có f ' x với mọi x và f 1 1. Khi đó giá trị của f 5 bằng
 2x 1 2
 Ⓐ. ln 2 . Ⓑ. ln 3 . Ⓒ. ln 2 1. Ⓓ. ln 3 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D  Casio 
  Ta có: f ' x dx f x C nên b
 f x dx F b F a 
 1 1 d 2x 1 1 a
 f x dx ln 2x 1 C
 2x 1 2 2x 1 2 b
 F b F a f x dx;
 Mặt khác theo đề ra ta có: f 1 1 a
 b
 1 1
 ln 2.1 1 C 1 C 1 nên f x ln 2x 1 1 F a F b f x dx
 2 2 a
 1 1
 Do vậy f 5 ln 2.5 1 1 ln 9 1 ln 3 1.
 2 2
Câu 2: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x 2x thoả mãn F 0 0 . Ta có F x bằng
 x x
 2 2 1 2 1 2 x 2 x
 Ⓐ. x . Ⓑ. x . Ⓒ.1 2 1 ln 2 . Ⓓ. x 2 1.
 ln 2 ln 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Casio: Thử đáp án
 2x
  Ta có: 2x 2x dx x2 C . Do đó .
 ln 2
 20 1
 Theo giả thiết F 0 0 02 C 0 C .
 ln 2 ln 2
 2x 1 2x 1
 Vậy F x x2 x2 .
 ln 2 ln 2 ln 2
 æ ö
Câu 3: Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x)= sin( - 2x) thỏa mãn F ç ÷= 1.
 èç2 ø÷
 - cos( - 2x) 1 cos( - 2x) 1
 Ⓐ. F(x) = + . Ⓑ. F(x) = + .
 2 2 2 2
 cos( - 2x) cos( - 2x) 1
 Ⓒ. F(x) = + 1. Ⓓ. F(x) = - .
 2 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Casio: Thử đáp án
 cos( - 2x)
  F (x)= sin( - 2x)dx = + C
 ò 2
 æ ö 1 1
  F ç ÷= 1Û + C = 1 Û C =
 èç2 ø÷ 2 2
 cos( - 2x) 1
  Vậy F(x) = +
 2 2
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 4x3 4x 5 thỏa mãn F(1) 3
 Ⓐ. F(x) x4 2x2 5x 1. Ⓑ. F(x) x4 4x2 5x 1.
 1
 Ⓒ. F(x) x4 2x2 5x 3. Ⓓ. F(x) x4 2x2 5x .
 2
Câu 2. Hàm số f x 5x4 4x2 6 có một nguyên hàm F x thỏa F 3 1. Tính F 3 .
 Ⓐ. F 3 226 . Ⓑ. F 3 225 . Ⓒ. F 3 451. Ⓓ. F 3 225.
Câu 3. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 2x và F 1. Tính P F .
 4 6 
 5 1 3
 Ⓐ. P . Ⓑ. P 0 . Ⓒ. P . Ⓓ. P .
 4 2 4
Câu 4. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 2x sin x 2cos x thỏa mãn F 0 1.
 Ⓐ. F x x2 cos x 2sin x 2 . Ⓑ. F x x2 cos x 2sin x .
 Ⓒ. F x 2 cos x 2sin x . Ⓓ. F x x2 cos x 2sin x 2 .
 1 2
Câu 5. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x sin x 2 thỏa mãn F .
 cos x 4 2 Ⓐ. F x cos x tan x C . Ⓑ. F x cos x tan x 2 1.
 Ⓒ. F x cos x tan x 2 1. Ⓓ. F x cos x tan x 2 1.
 2x 3 1 
Câu 6. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) e thỏa F(0)  Giá trị của F bằng
 2 2 
 1 1 1 1
 Ⓐ. e 2 . Ⓑ. e 1. Ⓒ. 2e 1. Ⓓ. e 
 2 2 2 2
 2 28
Câu 7. Kí hiệu F x là một nguyên hàm của hàm số f x x2 1 và F 1  Khẳng định 
 15
 nào sau đây là đúng?
 x5 2x3 x5 2x3
 Ⓐ. F x x. Ⓑ. F x x C.
 5 3 5 3
 x5 2x3
 Ⓒ. F x 4x x2 1 . Ⓓ. F x x 1.
 5 3
 1
Câu 8. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và F 2 1. Tính F 3 .
 x 1
 1 7
 Ⓐ. F 3  Ⓑ. F 3  Ⓒ. F 3 ln 2 1. Ⓓ. F 3 ln 2 1.
 2 4
 2
Câu 9. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 5 7 .
 2x 1
 Ⓐ. F x 2 2x 1. Ⓑ. F x 2 2x 1 1.
 Ⓒ. F x 2x 1 4 . Ⓓ. F x 2x 1 10.
 2 1
Câu 10. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 thỏa F 0 . Tính giá trị của 
 3
 biểu thức T log2 3F 1 2F 2 .
 Ⓐ.T 2 . Ⓑ. T 4 . Ⓒ. T 10 . Ⓓ.T 4 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A  Dạng ③: Phương pháp đổi biến số.
 -Định lí: Cho hàm số u u x có đạo hàm và liên tục trên trên K và hàm số y f u 
 liên tục sao cho f u x xác định trên K . Khi đó nếu hàm số F u là một nguyên hàm của 
 f u , tức là: f u x u x du F u x C
 -Phương pháp:
 Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:
  Đặt biến số: t u x 
  Suy ra: dt du x u x dx rồi đưa về việc tính nguyên hàm 
  Iđơn giảnf u hơn. x .u x dx f t dt
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm cos2 xsin x dx ta được kết quả là
 1 1 1
 Ⓐ. cos2 x C . Ⓑ. cos3 x C . Ⓒ. cos3 x C . Ⓓ. sin3 x C .
 3 3 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Casio: xét hiệu
 1
 cos2 xsin x dx cos2 x d cos x cos3 x C .
 3
 1 1
Câu 2: Nguyên hàm cos dx bằng
 x2 x
 1 1 1 1
 Ⓐ. sin C . Ⓑ. sin C . Ⓒ. 2sin C . Ⓓ. 2sin C .
 x x x x
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Casio: xét hiệu
 1 1 1 1 1
 Ta có cos dx cos d sin C .
 2 
 x x x x x
 1
Câu 3: Tính nguyên hàm I dx . 
 x ln x 1
 2
 Ⓐ. I (ln x 1)3 C . Ⓑ. I ln x 1 C .
 3
 1
 Ⓒ. I (ln x 1)2 C . Ⓓ. I 2 ln x 1 C .
 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm