Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chương 1: Đạo hàm. Ứng dụng - Bài 4: Đường tiệm cận (Có đáp án)

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ①: ĐẠO HÀM - ỨNG DỤNG 
 Bài 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
 : 
  Dạng ①. Tìm tiệm cận bằng định nghĩa, bảng biến thiên hoặc đồ thị. 
 _ Định nghĩa:
 lim y y0
 x 
 .Hàm sốy f (x) thỏa mãn 1 trong các ĐK: y y0 được gọi là TCN.
 lim y y0
 x 
 lim y 
 x x0
 lim y 
 x x 
 .Hàm sốy f (x) thỏa mãn 1 trong các ĐK: 0 x x được gọi là TCĐ.
 lim y 0
 x x0
 lim y 
 x x0
 _ Dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra tiệm cận:
 _Nếu x mà y y0 ( một số) thì y y0 là TCN.
 _Nếu x x0 ( một số) mà y thì x x0 là TCĐ.
A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Cho hàm số y f x có lim f x 0 và lim f x . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
 x x 
 Ⓐ. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
 Ⓑ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng y 0.
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
 Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 l i m y 
 x x 0
 l i m y 
 x x 0
 l i m y 
 x x 0
 Chọn C 
 l i m y 
  x x 
 Sử dụng ĐN, khi 0 mà là 
 x 
  lim f x 0 y 0 tức trục hoành là TCN. TCN. 
 x 
Câu 2: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 
 thiên như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây đúng?
 Ⓐ. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.
 Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2 .
 Ⓒ. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 .
 Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 l i m y 
 x x 0
 l i m y 
 x x 
 0
 l i m y 
  x x 0
 Chọn A
 l i m y 
 x x
  x x 
 Quan sát BBT khi 0 hay 
 0
  Khi x y 1 nên y 1 là TCN. để suy ra tiệm cận.
  Khi x y 1 nên y 1 là TCN.
Câu 3: Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.
 Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận?
 Ⓐ. 4. Ⓑ. Không có tiệm cận.
 Ⓒ. 2. Ⓓ. 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Quan sát nhanh từ đồ thị.
  Đồ thị hàm số có 2 TCN là y 0; y b và 2 TCĐ là 
 x a .
Câu 4: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có 
 bao nhiêu đường tiệm cận?
 Ⓐ. 1 Ⓑ. 3 Ⓒ. 2 Ⓓ. 4 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Quan sát nhanh từ BBT, sử dụng định 
 nghĩa dễ thấy đồ thị có 2 tiệm cận đứng, 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có:
 1 tiệm cận ngang.
 + lim f x , suy ra đường thẳng x 2 là tiệm cận 
 x 2 
đứng của đồ thị hàm số.
 + lim f x , suy ra đường thẳng x 0 là tiệm cận 
 x 0 
đứng của đồ thị hàm số.
 + lim f x 0, suy ra đường thẳng y 0 là tiệm cận 
 x 
ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hàm số y f x có đồ thị C và lim f x , lim f x 2 . Số tiệm cận ngang của 
 x x 
 C là
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 2. Ⓒ. 1. Ⓓ. 3.
Câu 2: Cho hàm số y f x có lim f x và lim f x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 x 1 x 1 
 Ⓐ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1.
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận. Ⓓ. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 .
Câu 3: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 
 thiên như hình vẽ.
 Khẳng định nào dưới đây sai?
 Ⓐ. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y 1 và y 1.
 Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1.
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
 Ⓓ. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x 1 và x 1.
Câu 4: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như bảng dưới đây Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 Ⓐ. Đồ thị của hàm số y f x có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
 Ⓑ. Đồ thị của hàm số y f x có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
 Ⓒ. Đồ thị của hàm số y f x có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
 Ⓓ. Đồ thị của hàm số y f x không có tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
Câu 5: Cho hàm số y f (x) xác định trên R \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 
 thiên như sau:
 Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 1. Ⓒ. 2. Ⓓ. 3.
Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , có bảng biến thiên như hình sau:
 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 Ⓐ. Hàm số có hai điểm cực trị.
 Ⓑ. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 .
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
 Ⓓ. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 , 2; .
Câu 7: Cho hàm số f (x) ax4 bx2 c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số f x có bao nhiêu 
 đường tiệm cận? y
 2
 x
 O
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 .
Câu 8: Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới. Chọn khẳng định sai?
 Ⓐ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1. Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2.
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. Ⓓ. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Câu 9: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y f x có tiệm cận 
 ngang là?
 Ⓐ. y 1 và y 2 . Ⓑ. y 1 và y 2 .
 Ⓒ. y 1 và y 2 . Ⓓ. .y 2
Câu 10: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
 x ∞ 2 +∞
 f'(x)
 5 1
 f(x)
 ∞ 5 
 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là Ⓐ. 4 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 1
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.B
  Dạng ②. Tìm số tiệm cận của những hàm số tường minh thường gặp.
-Phương pháp: 
 _ Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận.
 ax b
 _ Hàm phân thức dạng y c 0; ad bc 0 
 cx d
 a d
  Đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là y và 1 TCĐ x .
 c c
 f (x)
 _Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức y 
 g(x)
  Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN lày 0 .
  Nếu bậc của tử bậc của mẫu thì đồ thị có TCN.
  Nếu bậc của tử bậc của mẫu hoặc có tập xác định là 1 khoảng hữu hạn a;b hoặc a;b
 thì không có TCN.
 f (x)
 _Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức y 
 g(x)
  Hàm phân thức mà mẫu có nghiệm x nhưngx 0 không là nghiệm của tử thì đồ thị có 
 tiệm cận đứng x x 0 ( với đk hàm số xác định trên khoảng K \{x0}; x0 K ).
 . Tìm nghiệm mẫu g(x) 0 .
  Mẫu g(x) 0 vô nghiệm đồ thị hàm số không có TCĐ.
  Mẫu g(x) 0 có nghiệm x0 . 
 f (x)
 . Thay x0 vào tử, nếu f (x0 ) 0 lim thì ta kết luận x x0 là TCĐ.
 x x0 g(x)
 f (x)
 . Thay x0 vào tử, nếu f (x0 ) 0 (tức là x0 là nghiệm của cả tử và mẫu thì ta tính lim 
 x x0 g(x)
 (dùng máy tính Casio để tính giới hạn).
 f (x)
  Nếu lim thì ta kết luận x x0 là TCĐ.
 x x0 g(x)
 f (x)
  Nếu lim thì ta kết luận x x0 không là TCĐ. 
 x x0 g(x)
A - Bài tập minh họa: 
 3x 1
Câu 1: Đồ thị hàm số y có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
 x 2
 Ⓐ. x 2 và y 3 . Ⓑ. x 2 và y 1.
 x 2 và y 3 . x 2 và y 1.
 Ⓒ. Ⓓ. 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Dễ thấy x 2 và y 3 .
 2 3
  TCĐ x 2 ; TCN y 3 . TCĐ: nghiệm mẫu
 1 1
 TCN: Hệ số trước x chia nhau 
 x 1
Câu 2: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y bằng
 x 2 3x 2
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 1. Ⓓ. .0
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B Vì bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN là
 y 0. x 1 x 2 3x 2 0 x 2;x 1
 lim 2 0 y 0 là TCN.  x 2.
 x x 3x 2 x 1 0 x 1
 x 1 x 1 Suy ra đồ thị hàm số có 1 TCĐ x 2 .
 lim 2 1; lim 2 
 x 1 x 3x 2 x 2 x 3x 2
 Suy ra x 2 là TCĐ.
Câu 3: Đồ thị hàm số nào nào sau đây không có tiệm cận đứng?
 1 1 x 3 3x 1
 Ⓐ. y . Ⓑ. y . Ⓒ. y . Ⓓ. y .
 x x2 2x 1 x 2 x2 1
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C
  Ⓐ. TCĐ x 0 . 
  Mẫu có nghiệm x 2 nhưng nó không phải giá trị xác 
 định của hàm số nên đồ thị hàm số không có TCĐ.  Ⓑ. TCĐ x 1.
  Ⓓ. TCĐ x 1. 
  Có thể dùng Casio kiển tra. 
 x + 4 - 2
Câu 4: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là
 x2 + x
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 1.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Nghiệm mẫu 
 x2 + x = 0 Û x = 0; x = - 1.
  Tập xác định D = ¡ \ {- 1; 0}.
  Thay nghiệm mẫu lên tử:
 x + 4 - 2 é 1 x + 4 - 2ù
 Ta có lim = lim ê . ú= + ¥ . x = 0 là nghiệm của phương 
 + 2 +
 x® (- 1) x + x x® (- 1) êx + 1 x ú
 ëê ûú trình x + 4 - 2 = 0. Nên đường 
 thẳng x = 0 không là tiệm cận 
 x + 4 - 2 é 1 x + 4 - 2ù
 lim = lim ê . ú= - ¥ . đứng của đồ thị hàm số đã cho.
 - 2 - ê ú
 x® (- 1) x + x x® (- 1) ëêx + 1 x ûú
  Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy 
 Do đó đường x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã nhất một tiệm cận đứng là x = - 1
 cho. .
 x + 4 - 2 1 1  Có thể dùng Casio kiển tra 
 Ta có lim = lim = . nhanh.
 x® 0 x2 + x x® 0 (x + 1)( x + 4 + 2) 4
 Do đó đường x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
 đã cho.
 Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là 
 đường x = - 1
B - Bài tập rèn luyện: 2- x
Câu 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là
 x + 3
 Ⓐ. x = 2 . Ⓑ. x = - 3 . Ⓒ. y = - 1. Ⓓ. y = - 3 .
Câu 2: Đường thẳng x 3 , y 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
 2x 3 x 3 3x 1 2x 3
 Ⓐ. y . Ⓑ. y . Ⓒ. y . Ⓓ. y .
 x 3 x 3 x 3 x 3
 1 3x
Câu 3: Đồ thị hàm số y có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
 x 2
 Ⓐ. x 2 và y 3 . Ⓑ. x 2 và y 1.
 Ⓒ. x 2 và y 3 . Ⓓ. x 2 và y 1.
Câu 4: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
 x 1 x2 1
 Ⓐ. y x x2 1 . Ⓑ. y . Ⓒ. y x 2018. Ⓓ. y .
 2x 1 2x2 1
 2
Câu 5: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y có phương trình là
 x 3
 Ⓐ. y 0. Ⓑ. y 2 . Ⓒ. x 3. Ⓓ. x 2.
 x- 2
Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm syố = .
 x + 2
 Ⓐ. 2;1 . Ⓑ. 2;2 . Ⓒ. 2; 2 . Ⓓ. 2;1 .
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
 3x 2 x2 2x 1
 Ⓐ. y log x . Ⓑ. y . Ⓒ. y . Ⓓ. .
 2 x 1 x 2 x2 1
 x 1
Câu 8: Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2x 2
 1
 Ⓐ. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y .
 2
 1
 Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x .
 2
 1
 Ⓒ. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y .
 2
 Ⓓ. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 2 .
 x 2 1
Câu 9: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là
 x2 3x 2
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 .
 4- x2
Câu 10: Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
 x2 + 3x
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 3 . Ⓓ. 2 .
 4 x2
Câu 11: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là
 x2 3x 4
 Ⓐ. 3. Ⓑ. 0 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 1. x2 2
Câu 12: Số đường tiệm cận của đồ hàm số y .
 x 3
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 1. Ⓓ. 3 .
 Lời giải
 x 4
Câu 13: Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là
 x 1
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2.
 x 7
Câu 14: Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận?
 x2 3x 4
 Ⓐ. 0. Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2.
 x2 3x 2
Câu 15: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là
 4 x2
 Ⓐ. 2. Ⓑ. 1. Ⓒ. 3. Ⓓ. 4.
 x2 + x + 1
Câu 16: Cho hàm số y = . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
 x- 2
 Ⓐ. 3 Ⓑ. 1 Ⓒ. 0 Ⓓ. 2
 5x 1 x 1
Câu 17: Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
 x2 2x
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 3 .
 x 9 3
Câu 18: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là
 x2 x
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 4 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 1.
 x 2 1
Câu 19: Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là
 x2 3x 2
 Ⓐ. 1 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 .
 x 3 2
Câu 20: Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là
 x2 1
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 1. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 0 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 9.D 10.B
 11.D 12.D 13.C 14.C 15.A 16.A 17.C 18.C 19.D 20.B