Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Tóm tắt lý thuyết chương lượng giác

 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC
I). TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ:
1). Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
 Hàm số y f x với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi x D thì x D 
và f x f x .
 Hàm số y f x với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: với mọi x D thì x D và 
 f x f x .
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
2). Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số y f x xác định trên tập a; b  ¡ . 
 Hàm số y f x gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên a; b nếu x1 ,x2 a; b có 
 x1 x2 f x1 f x2 .
 Hàm số y f x gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên a; b nếu 
 x1 ,x2 a; b có x1 x2 f x1 f x2 .
3). Hàm số tuần hoàn:
Hàm số y f x xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 
sao cho với mọi x D ta có (x T) D và (x T) D và f x T f x .
Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần 
hoàn f.
II). HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1). Hàm số sin: y sin x
Tính chất:
Tập xác định ¡ .
Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1 sin x 1,x ¡ .
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin x k2 sin x với k ¢ .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 và nghịch biến trên mỗi khoảng 
 2 2 
 3 
 k2 ; k2 , k ¢ .
 2 2 
 y sin x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).
 y
 1 f(x) = sin(x)
 π 3π
 -
 -3π -2π -π 2 π 2 2π 3π
 3π O π x
 -
 2 2
 -1
 Hình 1.
Một số giá trị đặc biệt: sin x 0 x k ,(k ¢ ) 
 sin x 1 x k2 ,(k ¢ ) 
 2
 sin x 1 x k2 ,(k ¢ )
 2
2). Hàm số côsin: y cos x
Tính chất:
Tập xác định ¡ .
Tập giá trị: 1;1 ,có nghĩa là 1 cos x 1,x ¡ .
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos x k2 cos x với k ¢ .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 và nghịch biến trên mỗi khoảng 
 k2 ; k2 , k ¢ .
 y cos x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).
 y
 1 f(x) = cos(x)
 -3π -π π 3π
 -2π 3π π O π 3π 2π x
 - -
 2 2 2 2
 -1
 Hình 2.
Một số giá trị đặc biệt:
 cos x 0 x k ,(k ¢ ) 
 2
 cos x 1 x k2 ,(k ¢ ) .
 cos x 1 x k2 ,(k ¢ ) .
 sin x
3). Hàm số tang: y tan x 
 cos x
 
Tập xác định: ¡ \ k k ¢  
 2 
Tâp giá trị là R.
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x,(k ¢ ) .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k ¢ .
 2 2 
 y tan x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi 
đường thẳng x k ,k ¢ làm đường tiệm cận.(Hình 3)
 2 y
 f x = tan x 
 -2π 3π -π π π π 3π 2π
 - - O x
 2 2 2 2
 Hình 3.
Một số giá trị đặc biệt :
 tan x 0 x k ,k ¢ 
 tan x 1 x k ,k ¢ .
 4
 tan x 1 x k ,k ¢ .
 4
 cos x
4). Hàm số cotang: y cot x .
 sin x
Tập xác định: ¡ \ k k ¢  .
Tập giá trị: ¡ .
Tính chất:
Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa cot x k cot x,(k ¢ ) .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k ,k ¢ .
 y cot x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi 
đường thẳng x k ,k ¢ làm đường tiệm cận (Hình 4). y
 f(x)=cotan(x)
 3π π π 3π
 -2π - -π - π 2π
 2 2 O 2 2 x
 Hình 4
Một số giá trị đặc biệt :
 cot x 0 x k ,k ¢ .
 2
 cot x 1 x k ,k ¢ .
 4
 cot x 1 x k ,k ¢ .
 4
 ÔN TẬP: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
HỆ THỨC CƠ BẢN
 sinx cosx
1. sin2x cos2x 1 2. tanx 3. cotx 
 cosx sinx
 1 1
4. tanx.cotx 1 5. 1 tan2x 6. 1 cot2x 
 cos2x sin2x
Điều kiện tồn tại:
 tanx là (x / 2 + k , k Z) cotx là (x k , k Z)
 sinx là – 1 sinx 1 cosx là – 1 cosx 1
chú ý: 
 a 2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)
CÔNG THỨC CỘNG 
7. cos(a b) cosa.cosb sina.sinb 8. cos(a b) cosa.cosb sina.sinb
9. sin(a b) sina.cosb cosa.sinb 10. sin(a b) sina.cosb cosa.sinb
 tana tanb tana tanb
11. tan(a b) 12. tan(a b) 
 1 tana.tanb 1 tana.tanb
 cota.cotb 1 cotacotb 1
13. cot(a b) 14. cot(a b) 
 cota cotb cota cotb
CÔNG THỨC NHÂN
NHÂN ĐÔI 15. sin2a 2sina.cosa 16. cos2a 2cos2a 1 1 2sin2a cos2a sin2a
 2tana
17. tan2a 
 1 tan2a
NHÂN BA
 3tana tan3a
18. cos3a 4cos3a 3cosa 19. sin3a 3sina 4sin3a 20. tan3a 
 1 3tan2a
HẠ BẬC
 1 cos2a
21. sin2a 1 cos2a 2sin2a
 2
 1 cos2a
22. cos2a 1 cos2a 2cos2a
 2
 3sina sin3a
23. sin3a 
 4
 3cosa cos3a
24. cos3a 
 4
 x
GÓC CHIA ĐÔI: với t tan
 2
 2t 1 t2 2t
25. sinx 26. cosx 27. tan x 
 1 t2 1 t2 1 t2
TỔNG THÀNH TÍCH
 a b a b a b a b
28. cosa cosb 2cos cos 29. cosa cosb 2sin sin
 2 2 2 2
 a b a b a b a b
30. sina sinb 2sin cos 31. sina sinb 2cos sin
 2 2 2 2
 sin(a b) sin(a b)
32. tana tanb 33. tana tanb 
 cosacosb cosacosb
 sin(a b) sin(a b)
34. cota cotb 35. cota cotb 
 sinasinb sinasinb
TÍCH THÀNH TỔNG
 1
36. cosacosb cos a b cos(a b) 
 2 
 1
37. sinasinb cos(a b) cos(a b) 
 2
 1
38. sinacosb sin(a b) sin(a b) 
 2
CUNG LIÊN KẾT Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
 cos( ) cos sin( ) sin sin cos 
 2 
 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 
 2 
 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 
 2 
 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 
 2 
 Góc hơn kém Góc hơn kém 
 2
 sin( ) sin sin cos 
 2 
 cos( ) cos cos sin 
 2 
 tan( ) tan tan cot 
 2 
 cot( ) cot cot tan 
 2 
Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt: 3 
 2 3 2 
 0 2
 6 4 3 2 3 4
 23
 76
 00 300 450 600 900 1200 1350 1800
 00
 00
 –
 sin 0 1 2 3 1 3 2 0 0
 2 2 2 2 2 1
 3 2 1 1 2
 cos 1 0 –1 01
 2 2 2 2 2
 3
 tan 0 1 3 3 –1 0 0
 3
 3 3
 cot 3 1 0 –1 0
 3 3
CHÚ Ý:
 2
 1 sin 2x sin x cos x ; 1 sin 2x (sin x cos x)2 ;
 2
 x x 2 x x 
 1 sin x (sin cos ) ; 1 sin x sin cos 
 2 2 2 2 
 1 cos 2x 2sin2 x; 1 cos 2x 2cos2 x .
 x x
 1 cos x 2cos2 ; 1 cos x 2sin2
 2 2
 sin x cos x 2 sin x 2 cos x .
 4 4 
 sin x 3 cos x 2cos x 2sin x .
 6 3 
 3 sin x cos x 2sin x 2cos x 
 6 3 
 1 3
 sin4 x cos4 x 1 sin2 2x; sin6 x cos6 x 1 sin2 2x
 2 4
 CÁC DẠNG TOÁN
VẤN ĐỀ 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC :
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các mệnh đề tương đương sau:
 f x 
 y xác định g x 0 
 g x 
 y 2n f x ,n ¥ * xác định f x 0 .
 y sin u x xác định u x xác định.
 y cos u x xác định u x xác định.
 y tan u x xác định u x xác định và u x k ,k ¢ .
 2
 y cot u x xác định u x xác định và u x k ,k ¢ .
Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 2 x 
a). y 3 2cos x b). y sin c). y sin 
 2x 1 x2 4 
 sin x
d). y 3cot 2x 3 e). y 2sin 3x tan 1 4x f). y 
 sin2 x cos2 x
 LỜI GIẢI
 3
a). y 3 2cos x , hàm số xác định khi 3 2cos x 0 cos x (đúng x ¡ ), vì 
 2
 1 cos x 1,x ¡ . Suy ra tập xác định là D ¡ .
 2 2 1
 b). y sin hàm số xác định xác định 2x 1 0 x .Tập xác 
 2x 1 2x 1 2
 1 
định của hàm số D ¡ \  .
 2 
 x x
c). y sin hàm số xác định xác định x2 4 0 x2 4 
 x2 4 x2 4
 x ; 2  2; . Tập xác định của hàm số D ; 2  2; .
 3cos 2x 3 
d). y 3cot 2x 3 hàm số xác định sin 2x 3 0 
 sin 2x 3 
 3 k 
 2x 3 k x ,(k ¢ ) . 
 2 2
 3 k 
Tập xác định của hàm số D ¡ \ k ¢  .
 2 2 
 sin(1 4x)
 e). y 2sin 3x tan 1 4x 2sin 3x hàm số xác định 
 cos(1 4x)
 1 k 
 cos 1 4x 0 1 4x k x ,k ¢ . Tập xác định của hàm 
 2 4 8 4
 1 k 
số D ¡ \ k ¢  .
 4 8 4  sin x sin x sinx
f). y hàm số xác định cos 2x 0 
 sin2 x cos2 x cos 2x cos 2x
 k k 
 2x k x ,k ¢ . Tập xác định của hàm số D ¡ \ k ¢  . 
 2 4 2 4 2 
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 5 6 6
a). y 2sin x b). y 4 2sin 2x 8 c). y sin x cos x
 3 
 2 
d). y cos 2x cos 2x e). y cos 2x 4sin x f). y sin x cos x 
 3 
g). y 3cos x 2 trên đoạn ; h). y tan x,x ; 
 2 2 3 6 
 2 2
k). y tan x tan x 2,x ; l). y 2sin x sin 2x 7 
 4 4 
 LỜI GIẢI
a). Ta có 1 sin x 1 2 2sin x 2 2 y 2 . Vậy:
 3 3 
 5 
 Miny 2 khi sin x 1 x k2 x k2 ,k ¢ .
 3 3 2 6
 Maxy 2 khi sin x 1 x k2 x k2 ,k ¢ .
 3 3 2 6
b). Ta có 1 sin 2x 1 1 sin5 (2x) 1 2 2sin5 (2x) 2 
 4 2 4 2sin5 (2x) 4 2 6 4 2sin5 (2x) 2 6 4 2sin5 (2x) 2
 6 8 4 2sin5 (2x) 8 2 8 6 8 y 2 8 . Vậy : 
 Miny 2 8 khi sin 2x 1 2x k2 x k ,k ¢ .
 2 4
 Maxy 6 8 khi sin 2x 1 2x k2 x k ,k ¢ .
 2 4
 3 3 3 3
c). y sin6 x cos6 x 1 sin2 2x . Do 0 sin2 2x 1 .0 sin2 2x 
 4 4 4 4
 3 3 1
 1 1 sin2 2x 1 1 y . Vậy :
 4 4 4
 1 k 
 Miny khi sin2 2x 1 cos 2x 0 2x k x ,k ¢ .( vì 
 4 2 4 2
 sin2 2x cos2 2x 1 ).
 k 
 Maxy 1 khi sin2 2x 0 sin 2x 0 2x k x ,k ¢ . 
 2
 2 
d). y cos 2x cos 2x 2cos 2x cos cos 2x . 
 3 3 3 3 
Vì 1 cos 2x 1 1 y 1 .
 3 
e). y cos 2x 4sin x 1 2sin2 x 4sin x 2 sin2 x 2sin x 1 3 
 2
 3 2 sin x 1 
 2 2
Ta có 2 sin x 1 0 4 sin x 1 0 8 2 sin x 1 0 
 2
 3 8 3 2 sin x 1 3 0 5 y 3 . Vậy :
 Miny 5 khi sin x 1 x k2 ,k ¢ .
 2
 Maxy 3 khi sin x 1 x k2 ,k ¢ .
 2
f). y sin x cos x
Vì 0 sin x 1 và 0 cos x 1 Do đó 1 y 1.
Lại có : Khi x 0 thì y 1 .
 Khi x thì y 1 
 2
Kết luận Maxy 1 và Miny 1 
g). y 3cos x 2 trên đoạn ; 
 2 2 
Khi x ; thì 0 cos x 1 nên 2 3cos x 2 5 2 y 5 . 
 2 2 
Vậy : Miny 2 khi x . Maxy 5 khi x 0 . 
 2
h). y tan x,x ; 
 3 6 
Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng ; mà ;  ; 
 2 2 3 6 2 2 
do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn ; . Từ đó ta có 
 3 6 
 3 3
 tan tan x tan 3 tan x 3 y . Vậy :
 3 6 3 3
 3 
 Miny 3 khi x . Maxy khi x . 
 3 3 6
 2
 2 1 7
k). Ta có y tan x tan x 2 tan x 
 2 4