Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Tìm m để phương trình có nghiệm (Có lời giải)

 Câu 1: Định m để các phương trình sau có nghiệm: 
a). m 1 sin x m 1 cos x m 3 b). cos2 x sin xcos x 2sin2 x m
c). m sin x cos x cos x 1 0 d). sin x 2cos x 3 m 1 cos x
e). 3m 4 cos 2x 4m 3 sin 2x 13m 0
 LỜI GIẢI
a). m 1 sin x m 1 cos x m 3 (1)
Ta có a m 1,b m 1,c m 3
Điều kiện để phương trình có nghiệm 
 2 2 2
a2 b2 c2 m 1 m 1 m 3 
 m2 6m 7 0 m 1 m 7
Kết luận với m ; 1  7; thì phương trình (1) có nghiệm
b). cos2 x sin xcos x 2sin2 x m (1)
 1 cos 2x 1 1 cos 2x
 1 sin 2x 2 m 3cos 2x sin 2x 2m 1 
 2 2 2
Ta có a 3, b 1, c 2m 1
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2 c2
 2 1 10 1 10
 2m 1 10 10 2m 1 10 m 
 2 2
 1 10 1 10 
Kết luận vậy m ; thì phương trình (1) có nghiệm.
 2 2 
c). m sin x cos x cos x 1 0 (1)
 1 m sin x m 1 cos x 1
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2 c2
 2
m2 m 1 1 m2 m 0 m 1 m 0
Kết luận với m ; 1  0; thì phương trình (1) có nghiệm.
d). sin x 2cos x 3 m 1 cos x m sin x 2m 1 cos x 1 3m (1)
Ta có a m, b 2m 1 , c 1 3m .
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2 c2 .
 2 2 1
 m2 2m 1 1 3m 2m2 m 0 0 m .
 2
 1 
Kết luận với m 0; thì phương trình (1) có nghiệm.
 2 
e). 3m 4 cos 2x 4m 3 sin 2x 13m 0
Ta có a 3m 4, b 4m 3, c 13m .
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2 c2 . 2 2 2 5 5
 3m 4 4m 3 13m 144m2 25 m 
 12 12
 5 5 
Kết luận với m ; thì phương trình (1) có nghiệm.
 12 12 
Câu 2: Định m để các phương trình sau vô nghiệm:
a). m sin x m 1 cos x 1 
b). m2 2 cos2 x 4m sin xcos x m2 3
c). m sin x cos x 1 sin x cos x 3 
 LỜI GIẢI
a). m sin x m 1 cos x 1 (1)
Ta có a m,b m 1,c 1
Để phương trình vô nghiệm thì a2 b2 c2
 2
 m2 m 1 1 m2 m 0 1 m 0
Kết luận với m 1;0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
 b). m2 2 cos2 x 4m sin xcos x m2 3 (1)
 1 cos 2x
 1 m2 2 2m sin 2x m2 3 m2 2 cos 2x 4m sin 2x m2 4
 2
Ta có a m2 2, b 4m, c m2 4
Để phương trình vô nghiệm thì a2 b2 c2
 2 2
 m2 2 16m2 m2 4 m2 1 1 m 1
Kết luận với m 1;1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
c). m sin x cos x 1 sin x cos x 3 (1)
 1 m 1 sin x m 1 cos x 3 m
Ta có a m 1,b m 1,c m 3
Để phương trình vô nghiệm thì a2 b2 c2
 2 2 2
 m 1 m 1 m 3 m2 6m 7 0 1 m 7
Kết luận với m 1;7 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Câu 3: Tìm m để phương trình 2sin x m cos x 1 m (1) có nghiệm 
x ; .
 2 2 
 LỜI GIẢI x
Ta có a 2,b m,c 1 m . Do b c 1 0 nên cos 0 không là nghiệm 
 2
của (1). 
 x 2t 1 t2
Đặt t tan thì (1) 2. m. 1 m f t t2 4t 1 2m 0 (2). 
 2 1 t2 1 t2
Để (1) có nghiệm x ; 2 có nghiệm t 1;1 . 
 2 2 
 2 t2 4t 1 2m là phương trình hoành độ giao điểm của 
 (P) : y t2 4t 1
 , số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của (P) 
 d : y 2m, d POx 
và d.
Bảng biến thiên của hàm số y t2 4t 1
 x -∞ -1 1 2 +∞
 6
 y
 -2
Dựa vào bảng biến thiên phương trình (2) có nghiệm 2 2m 6 
 1 m 3 .
Kết luận với 1 m 3 thì (1) có nghiệm x ; .
 2 2 
Câu 4: Tìm m để phương trình 
sin2 x 2m 2 sin xcos x 1 m cos2 x m 1 có nghiệm.
 LỜI GIẢI
Nếu cos x 0 là nghiệm của (1), thì từ (1) suy ra 
 2 m 1
 cos x 0 sin x 1 
 .
 2 2 
 sin x m sin x m x k ,k ¢
 2
Nếu m 1 thì cos x 0 không là nghiệm của (1), khi đó chia hai vế của (1) 
cho 
cos2 x được: tan2 x 2m 2 tan x m 1 m 1 tan2 x 
 m 1 tan2 x 2 m 1 tan x 2m 1 0 . Đặt t tan x 
 f t m 1 t2 2 m 1 t 2m 1 0 (2).
 ' 0 m2 m 2 0
Phương trình (2) có nghiệm (2) 2 m 1 
 m 1 m 1
Kết luận với 2 m 1 thì phương trình (1) có nghiệm. Câu 5: Tìm m để phương trình m sin x cos x sin 2x 0 (1) có nghiệm.
 LỜI GIẢI
 2
Đặt t sin x cos x 2 cos x , điều kiện t 2; 2 sin 2x t 1 
 4 
Khi đó 1 t2 mt 1 0 (2). Đặt f t t2 mt 1 
 2
Ta có (2) m 4 0,m (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 ,t2 .
Vì có t1.t2 1 trong hai nghiệm này bắt buộc phải có một nghiệm thỏa 
t 0;1  2; 2 phương trình (1) luôn có nghiệm  ¡ .
 m
Câu 6: Tìm m để phương trình sin 2x 4 cos x sin x m có nghiệm.
 LỜI GIẢI
 2
Đặt t cos x sin x 2 cos x , điều kiện t 2; 2 sin 2x t 1 
 4 
Khi đó 1 t2 4t 1 m (2). Ta có (2) là phương trình hoành độ giao điểm 
 2
 (P) : y f t t 4t 1
của , số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm 
 d : y m, d POx 
của (P) và d.
Bảng biến thiên của hàm số f t t2 4t 1
 x -∞ -2 - 2 2 +∞
 y 1 + 4 2
 1 - 4 2
Dựa vào bảng biến thiên phương trình (2) có nghiệm 1 4 2 m 1 4 2 .
Kết luận với 1 4 2 m 1 4 2 thì (1) có nghiệm.
Đặt 
Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện
PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đường tròn lượng 
giác. Ta loại những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn 
của điều kiện. Với cách này chúng ta cần ghi nhớ:
Điểm biểu diễn cung và ( k2 ),k ¢ trùng nhau. k2 
Để biểu diễn cung ; k,n ¢ lên đường tròn lượng giác ta cho k n giá 
 n
trị (thường bắt đầu chọn k 0,1,2...,n 1 ) nên ta có được n điểm phân biệt 
cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp 
đường tròn.
Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên
 k2 l2 
Giả sử ta cần dối chiếu hai họ nghiệm và  , trong đó m,n ¢ 
 n m
là 2 số cụ thể đã biết, còn k,l ¢ là các chỉ số chạy.
 k2 l2 
Ta xét phương trình  ak bl c * , với a,b,c ¢
 n m
Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên ak bl c 
(1). Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:
Phương trình (1) có nghiệm d a,b là ước của c.
Nếu phương trình (1) có nghiệm k0 ;l0 thì (1) có vô số nghiệm;
Phương pháp 3: Thử trực tiếp
Phương pháp này là ta giải phương trình, rồi thay nghiệm vào điều kiện để 
kiểm tra.
Giải các phương trình sau:
 1 1 2 cos 2x 1 cos 2x sin 2x
 sin x cos x 
sin 2x cos 2x sin 4x 1 sin 2x cos x 1 cos 2x