Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (Có lời giải)

 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
a). y f x 2 3 sin 2x cos 2x
 2
b). y f x sin x cos x 2cos 2x 3sin xcos x
c). y f x sin x 2cos x 2sin x cos x 1
d). y 4sin2 x 3 3 sin 2x 2cos2 x
 LỜI GIẢI
a). Áp dụng bất đẳng thức: ac bd a2 b2 c2 d2 .
 2
Ta có 2 3 sin 2x cos 2x 2 3 1 2 3 sin 2x cos 2x 2 2 3
 2 2 3 2 3 sin 2x cos 2x 2 2 3
Vậy min f x 2 2 3 , maxf x 2 3 .
 2
b). y f x sin x cos x 2cos 2x 3sin xcos x
 1
 f x 1 sin 2x 2cos 2x
 2
 1 1 1 17
Ta có sin 2x 2cos 2x 4 sin 2x 2cos 2x 
 2 4 2 4
 17 1 17
 sin 2x 2cos 2x 
 2 2 2
 17 1 17
 1 1 sin 2x 2cos 2x 1 (cộng thêm 1 vào ba vế)
 2 2 2
 17 17
 1 f x 1 
 2 2
 17 17
Vậy min f x 1 , maxf x 1 .
 2 2
c). Khai triển và rút gọn f(x)
 f x sin x 2cos x 2sin x cos x 1 2sin2 x 3sin xcos x 2cos2 x 1
 3 3
 1 2 cos2 x sin2 x sin 2x 1 cos 2x sin 2x
 2 2
 3 9 3 5
Ta có sin 2x 2cos 2x 4 sin 2x 2cos 2x 
 2 4 2 2
 5 3 5
 sin 2x 2cos 2x 
 2 2 2 5 3 5
 sin 2x 2cos 2x (nhân thêm (-1) vào ba vế )
 2 2 2
 5 3 5
 1 1 sin 2x 2cos 2x 1 (cộng thêm (-1) vào ba vế)
 2 2 2
 3 7
 f x 
 2 2
 7 3
Vậy min f x , maxf x .
 2 2
 1 cos 2x 1 cos 2x 
d). y 4. 3 3 sin 2 x 2 
 2 2 
 3 1 
 3 3 sin 2x cos 2x 1 6 sin 2x cos 2x 1 6sin 2x 1
 6 
 2 2 
 5 y 7 (Vì 1 sin 2x 1,x 
 6 
. Giá trị lớn nhất y 7 khi sin 2x 1 x k 
 6 3
. Giá trị nhỏ nhất y 5 khi sin 2x 1 x k 
 6 6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a). y a sin x bcos x (a và b là hằng số, a2 b2 0 ).
b). y sin2 x sin xcos x 3cos2 x
c). y a sin2 x bsin xcos x c cos2 x ( a, b, c hằng số).
LỜI GIẢI
a). Ta có a sin x bcos x a2 b2 a2 b2 a sin x bcos x a2 b2
Kết luận max y a2 b2 , min y a2 b2
 1 cos 2x 1 1 cos 2x
 y sin2 x sin xcos x 3cos2 x sin 2x 3
 2 2 2
 1
 2 sin 2x sin 2x
 2
 1 1 1 5
Ta có: sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x 
 2 4 2 2
 5 1 5 5 1 5
 sin 2x cos 2x 2 2 sin 2x cos 2x 2 
 2 2 2 2 2 2
 5 5
 2 y 2 
 2 2
 5 5
Kết luận max y 2 , min y 2 .
 2 2
c). y a sin2 x bsin xcos x c cos2 x 1 cos 2x b 1 cos 2x a c b c a
 y a  sin 2x c  sin 2x cos 2x
 2 2 2 2 2 2
 b c a b2 (c a)2
Ta có sin 2x cos 2x 
 2 2 4 4
 b2 (c a)2 b c a b2 (c a)2
 sin 2x cos 2x 
 4 4 2 2 4 4
 a c b2 (c a)2 a c b c a a c b2 (c a)2
 sin 2x cos 2x 
 2 4 4 2 2 2 2 4 4
 a c b2 (c a)2 a c b2 (c a)2
 y 
 2 4 4 2 4 4
 a c b2 (c a)2 a c b2 (c a)2
Kết luận: max y ,min y 
 2 4 4 2 4 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a). y 3sin x 4cos x 7
b). y sin2 x 4sin xcos x 5
c). y 2sin2 x sin 2x cos2 x 3
 sin x 3cos x 5
d). y 
 sin x cos x 2
LỜI GIẢI
a). Ta có 3sin x 4cos x 32 ( 4)2 3sin x 4cos x 5
 7 5 7 3sin x 4cos x 7 5 2 y 12
Kết luận: max y 12,min y 2
b). y sin2 x 4sin xcos x 5
 1 cos 2x 1 9
 y 2sin 2x 5 2sin 2x co2x 
 2 2 5
 1 1 17 1 17
Ta có 2sin 2x co2x 4 2sin 2x co2x 
 2 4 2 2 2
 17 9 1 9 17 9
 2sin 2x co2x 
 2 2 2 2 2 2
 17 9 17 9
 y 
 2 2 2 2
 17 9 17 9
Kết luận: max y ,min y 
 2 2 2 2
 1 cos 2x 1 cos 2x
c). y 2sin2 x sin 2x cos2 x 3 y 2. sin 2x 3
 2 2
 7 3 7 3 
 y sin 2x cos 2x y sin 2x cos 2x 
 2 2 2 2 3 9 13 3 13
Ta có sin 2x cos 2x 1 sin 2x cos 2x 
 2 4 4 2 4
 13 3 13
 sin 2x cos 2x (nhân ba vế cho (-1))
 4 2 4
 7 13 7 3 7 13 7
 sin 2x cos 2x (cộng vào ba vế )
 2 4 2 2 2 4 2
 7 13 7 13
 y .
 2 4 2 4
 7 13 7 13
Kết luận: max y ,min y 
 2 4 2 4
 sin x 3cos x 5
d). y (1)
 sin x cos x 2
Ta có sin x cos x 12 12 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 0
 1 sin x cos x 2 y sin x 3cos x 5
 y 1 sin x y 3 cos x 5 2y (1')
Điều kiện để phương trình (1') có nghiệm: 
 2 2 2 14 166 14 166
 y 1 y 3 2y 5 2y2 28y 15 0 y 
 2 2
 14 166 14 166
Kết luận: max y ,min y .
 2 2
 cos 3x 2sin 2x cos x sin x 1 0 1