Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx (Có lời giải)

 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI sin VÀ cos
 a sin2 x bsin xcos x c cos2 x d 1 
Cách giải.Xét 2 trường hợp :
 Trường hợp 1 :Xét cos x 0 sin x 1 .Thay vào (1) xem thoả hay 
không thoả.Kết luận
 Trường hợp 2:Xét cos x 0. Chia hai vế của (1) cho cos2 x ,rồi đưa về 
phương trình bậc hai theo tan x ,giải bình thường.
 1 a d tan2 x b tan x c d 0.
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
1). 2sin2 x 3 3 sin cos x cos2 x 4 .
2). 3sin2 2x sin 2xcos 2x 4cos2 2x 2 .
3). 2sin2 x 3 3 sin xcos x 3 1 cos2 x 1 .
 x x
4). 3sin2 4sin x 8 3 9 cos2 0 .
 2 2
5). 3 sin2 x 1 3 sin xcos x cos2 x 1 3 0 .
6). 9sin2 x 30sin xcos x 25cos2 x 25 .
7). sin 2x 2sin2 x 2cos 2x .
 1
8). sin2 x sin 2x 2cos2 x .
 2
LỜI GIẢI
1). 2sin2 x 3 3 sin cos x cos2 x 4 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin2 x 1 : 1 2 4 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos2 x được
 2sin2 x 3 3 sin cos x cos2 x 4
 2 tan2 x 3 3 tan x 1 4 1 tan2 x 
 cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x
 2 tan2 x 3 3 tan x 5 0 phương trình vô nghiệm
2). 3sin2 2x sin 2xcos 2x 4cos2 2x 2 1 
Trường hợp 1: cos 2x 0 sin2 2x 1 : 1 3 2 (vô lý).
Trường hợp 2: cos 2x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos2 2x được
 3sin2 2x sin 2xcos 2x 4cos2 2x 2
 3tan2 2x tan 2x 4 2 1 tan2 2x 
 cos2 2x cos2 2x cos2 2x cos2 2x
 tan2 x tan 2x 6 0 tan 2x 2  tan 2x 3
 1 k 
 otan 2x 2 2x arctan 2 k x arctan 2 , k ¢ 
 2 2
 1
 otan 2x 3 2x arctan 3 k x arctan 3 k , k ¢ 
 2 3). 2sin2 x 3 3 sin xcos x 3 1 cos2 x 1
Trường hợp 1: cos x 0 sin2 x 1 : 1 2 1 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos2 x được:
 2 tan2 x 3 3 tan x 3 1 1 tan2 x 3tan2 x 3 3 tan x 3 0
 3 x k 
 tan x 6
 3 , k ¢ 
 tan x 1 x k 
 4
 x x
4). 3sin2 4sin x 8 3 9 cos2 0 1 
 2 2
 x x x x
 1 3sin2 8sin cos 4 3 9 cos2 0 1' 
 2 2 2 2
 x x
Trường hợp 1: cos 0 sin2 1 : 1' 3 0 (vô lý).
 2 2
 x x
Trường hợp 2: cos 0 . Chia hai vế của (1') cho cos2 được:
 2 2
 x x
 3tan2 8 tan 8 3 9 0
 2 2
 2
 ' 16 3. 8 3 9 16 24 3 27 3 3 4 
 x 4 3 3 4 x 4 3 3 4 3 3 8
 tan 3 hoặc tan 
 2 3 2 3 3
 x x 2 
 otan 3 k x k2 , k ¢ 
 2 2 3 3
 x 3 3 8 x 3 3 8 3 3 8
 otan arctan k x 2arctan k2 , k ¢ 
 2 3 2 3 3
 2 3 3 8
Vậy nghiệm của phương trình x k2 , x 2arctan k2 , k ¢ 
 3 3
5). 3 sin2 x 1 3 sin xcos x cos2 x 1 3 0 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin2 x 1 : 1 1 0 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos2 x được:
 3 tan2 x 1 3 tan x 1 1 3 1 tan2 x 0 tan2 x 1 3 tan x 3 0
 tan x 1 x k 
 4 , k ¢ 
 tan x 3 
 x k 
 3
Nghiệm của phương trình đã cho: x k ,x k , k ¢ 
 4 3 6). 9sin2 x 30sin xcos x 25cos2 x 25 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin2 x 1 : 1 9 25 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos2 x được:
 9 tan2 x 30 tan x 25 25 1 tan2 x 16 tan2 x 30 tan x 0
 tan x 0 x k 
 15 15 , k ¢ 
 tan x x arctan k 
 8 8 
 15 
Phương trình đã cho có các nghiệm: x k ,x arctan k , k ¢ 
 8 
7). sin 2x 2sin2 x 2cos 2x (1)
 1 2sin xcos x 2sin2 x 2 cos2 x sin2 x cos2 x sin xcos x 0
 cos x 0 x k 
 cos x 0 2
 cos x cos x sin x 0 , k ¢ 
 cos x sin x 0 2 cos x 0 
 4 x k 
 4
Nghiệm của phương trình: x k ,x k , k ¢ 
 2 4
 1
8). sin2 x sin 2x 2cos2 x 1 
 2
 1
 1 sin2 x 2sin xcos x 2cos2 x 1' 
 2
 1
Trường hợp 1: cos x 0 sin2 x 1 : 1' 1 (vô lý).
 2
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1') cho cos2 x được:
 1
 tan2 x 2 tan x 2 1 tan2 x tan2 x 4 tan x 5 0 tan x 1 tan x 5
 2
Với tan x 1 x k ,k ¢
 4
Với tan x 5 x arctan( 5) k ,k ¢ .
Nghiệm của phương trình x k , x arctan( 5) k ,k ¢
 4
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1). 2sin3 x cos x . 2). 
 3sin3 x 2sin2 xcos x sin xcos2 x .
3). 6sin x 2cos3 x 5sin 2xcos x . 4). sin x 4sin3 x cos x 0 .
5). 3cos4 x 4sin2 xcos2 x sin4 x 0
 2
6). sin x sin2 x sin x 2cos x 3 1 sin x 1 sin x . 5sin 4xcos x
7). sin3 x cos3 x sin x cos x . 8). 6sin x 2cos3 x .
 2cos 2x
 LỜI GIẢI
1). 2sin3 x cos x (1)
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 : 1' 1 0 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1') cho cos3 x được: 
 sin3 x 1
2. 
 cos3 x cos2 x
 2 tan3 x 1 tan2 x 2 tan3 x tan2 x 1 0 tan x 1 x k ,k ¢
 4
2). 3sin3 x 2sin2 xcos x sin xcos2 x (1)
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 : 1 3 0 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos3 x được:
 sin3 x sin2 xcos x sin xcos2 x
3. 2. 3tan3 x 2 tan2 x tan x
 cos3 x cos3 x cos3 x
 1
 3tan3 x 2 tan2 x tan x 0 tan x 0  tan x  tan x 1
 3
Với tan x 0 x k ,k ¢ .
 1 1
Với tan x x arctan k ,k ¢ .
 3 3
Với tan x 1 x k ,k ¢ .
 4
3). 6sin x 2cos3 x 5sin 2xcos x (1)
 6sin x 2cos3 x 10sin xcos2 x 1' 
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 : 1' 6 0 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1') cho cos3 x được:
 sin x cos3 x sin xcos2 x
6 2 10 6 tan x 1 tan2 x 2 10 tan x
 cos3 x cos3 x cos3 x
 3tan3 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k ,k ¢ .
 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k ,k ¢
 4
4). sin x 4sin3 x cos x 0 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 : 1 3 0 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos3 x được:
sin x 4sin3 x cos x
 0 tan x 1 tan2 x 4 tan3 x 1 tan2 x 0
cos3 x cos3 x cos3 x
 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 tan x 1 x k ,k ¢
 4 5). 3cos4 x 4sin2 xcos2 x sin4 x 0
Ta thấy cos x 0 không thỏa (1), chia hai vế (1) cho cos4 x được: 
3 4 tan2 x tan4 x 0 tan x 1,tan x 3
Vậy nghiệm của phương trình là x k ,x k k ¢ .
 4 3
 2
6). sin x sin2 x sin x 2cos x 3 1 sin x 1 sin x 1 
 2
 1 sin x 1 sin x sin x 2cos x 3 1 sin x 1 sin x 
 sin x 1 2 
 1 sin x 1 3 sin2 x 2sin xcos x 3 0 
 1 3 sin2 x 2sin xcos x 3 0 3
Giải (2): x k2 ,k ¢
 2
Giải (3): Ta thấy cos x 0 không phải là nghiệm của (3), chia hai vế (3) cho 
cos2 x được: 
 1 3 tan2 x 2 tan x 3 1 tan2 x 0 tan2 x 2 tan x 3 0
7). sin3 x cos3 x sin x cos x 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 , 1 1 1(đúng).
Vậy x k là một họ nghiệm của phương trình.
 2
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos3 x được:
tan3 x 1 tan x 1 tan2 x 1 tan2 x tan2 x tan x 2 0 phương trình vô 
nghiệm.
 5sin 4xcos x
8). 6sin x 2cos3 x 1 
 2cos 2x
 k 
Điều kiện cos 2x 0 2x k x 
 2 4 2
 10sin 2xcos 2xcos x
 1 6sin x 2cos3 x 6sin x 2cos3 x 10sin xcos2 x 1' .
 2cos 2x
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 , 1' 6 0 (vô lý)
Trường hợp 2: cos x 0 . Chia hai vế của (1) cho cos3 x được:
6 tan x 1 tan2 x 2 10 tan x 6 tan3 x 4 tan x 2 0 tan x 1 x k ,k ¢
 4
So với điều kiện phương trình vô nghiệm.
Giải các phương trình sau:
1). 4 sin3 x cos3 x cos x 3sin x [Dự bị 1 ĐH B04]
 3 
2). 2 2 cos x 3cos x sin x 0 [Dự bị 2 ĐH A05]
 4 3). tan x.sin2 x 2sin2 x 3 cos 2x sin x.cos x 
 3 
4). 8cos x cos 3x 
 3 
5). sin3 x 4sin2 xcos x 5sin xcos2 x 2cos3 x 0 
 LỜI GIẢI
1). 4 sin3 x cos3 x cos x 3sin x
Trường hợp 1: Xét cos x 0 sin x 1 thay vào (1) được 4 3 (vô lý).
Trường hợp 2: cos x 0 , chia hai vế của (1) cho cos3 x :
 sin3 x cos3 x cos x sin x
 3 2 2
 4 3 3 3 3 3 4 tan x 1 1 tan x 3tan x 1 tan x 
 cos x cos x cos x cos x
 tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 tan x 1 tan x 3
Với tan x 1 tan x tan x k , k ¢ 
 4 4
Với tan x 3 tan x tan x k , k ¢ 
 3 3
Với tan x 3 tan x tan x k , k ¢ 
 3 3
 3 
2). 2 2 cos x 3cos x sin x 0
 4 
 3
 3
 2 cos x 3cos x sin x 0 (cos x sin x) 3cos x sin x 0 (2)
 4 
Trường hợp 1: Xét cos x 0 sin x 1 , thay vào (2) được 0 0 (đúng).
Vậy cos x 0 x k , k ¢ là một họ nghiệm của phương trình.
 2
Trường hợp 2: Xét cos x 0 , chia hai vế của (2) cho cos3 x :
 3
 (cos x sin x)3 cos x sin x cos x sin x 1 1
 3 0 3. tan x. 0
 cos3 x cos3 x cos3 x cos x cos2 x cos2 x
 3 
 1 tan x 3 1 tan2 x tan x 1 tan2 x 0 tan x 1 x k , k ¢ 
 4
Kết luận nghiệm của phương trình: x k , x k , k ¢ 
 2 4
3). tan x.sin2 x 2sin2 x 3 cos 2x sin x.cos x 
 tan x.sin2 x 2sin2 x 3 2cos2 x 1 sin xcos x 
 sin2 x 2sin2 x 2cos2 x 1 sin xcos x 
 tan x. 2 2 3 2 2 2 
 cos x cos x cos x cos x cos x tan x.tan2 x 2 tan2 x 3 2 1 tan2 x tan x 
 tan3 x 2 tan2 x 6 3 3tan2 x 3tan x
 tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 tan x 3  tan x 1 tan x 3
 otan x 3 x k k ¢ 
 3
 otan x 1 x k k ¢ 
 4
 otan x 3 x k k ¢ .
 3
 3 
4). 8cos x cos 3x 
 3 
 3 
e) 8cos x cos 3x 1 
 3 
Đặt t x x t 
 3 3
 3 3 3
 1 8cos t cos 3 t 8cos t cos 3t 8cos t sin 3t 
 3 
 8cos3 t 3sin t 4sin3 t 
Ta thấy cos t 0 không phải là nghiệm của phương trình 
Chia hai vế của cho cos3 t được: 8 3tan t 1 tan2 t 4 tan3 t 
 8 3tan t 3tan3 t 4 tan3 t tan3 t 3tan t 8 0.
5). sin3 x 4sin2 xcos x 5sin xcos2 x 2cos3 x 0 1 
Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 1 1 0 ( vô lý)
Trường hợp 2: cos x 0 , chia hai vế của 1 cho cos3 x được:
 sin3 x sin2 xcos x 5sin xcos2 x cos3 x
 4 2 0 
 cos3 x cos3 x cos3 x cos3 x
 tan3 x 4 tan2 x 5tan x 2 0 tan x 2  tanx = 1
Với tan x 2 x arctan 2 k k z 
Với tan x 1 x k k z 
 4