Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phương trình đối xứng với sinx và cosx (Có lời giải)

 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sin VÀ cos
4)PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : a sin x cos x bsin xcos x c 0 1 
Cách giải.Đặt :
 t2 1
t sin x cos x sin xcos x 2 t 2
 2 
 1 t2
t sin x cos x sin xcos x 2 t 2
 2 
 1 t2
t cos x sin x sin xcos x 2 t 2
 2 
Thay vào (1) rồi giải phuong trình bậc 2 theo t.
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1). 2sin 2x 3 3 sin x cos x 5 0 2). 2(sin x cos x) 6sin xcos 2 0. 
3). 2 2 sin x cos x 2sin 2x 1 4). sin x cos x 4sin xcos x 1 0. 
5). sin xcos x 2(sin x cos x) 1 0. 6). sin xcos x 6(sin x cos x) 1. 
7). sin x cos x 2 6 sin xcos x. 8). 2 2(sin x cos x) 3 sin 2x. 
9). 2sin 2x 3 3(sin x cos x) 5 0. 10). (1 2)(1 sin x cos x) sin 2x .
11). (1 2)(sin x cos x) 2sin xcos x 1 2 0. 
 LỜI GIẢI
1). 2sin 2x 3 3 sin x cos x 5 0
 2
Đặt t sin x cos x t2 sin x cos x sin 2x t2 1 , điều kiện t 2
 3
 1 2 t2 1 3 3t 5 0 2t2 3 3t 3 0 t 3  t 
 2
 3
So với điều kiện nhận t .
 2
 3 6
 2 cos x cos x 
 4 2 4 4
 6 6
 x arccos k2 x arccos k2 
 4 4 4 4 , k ¢ 
 6 6
 x arccos k2 x arccos k2 
 4 4 4 4
 6 6
Nghiệm phương trình: x arccos k2 ,x arccos k2 , k ¢ 
 4 4 4 4
2). 2(sin x cos x) 6sin xcos 2 0. 2
 2 t 1
Đặt t sin x cos x t2 sin x cos x sin xcos x , điều kiện t 2
 2
 5
Ta được : 2t 3(t2 1) 2 0 3t2 2t 5 0 t 1 t (loại).
 3
 1
Với t 1 sin x.cos x 1 2 sin x 1 sin x 
 4 4 2
 x k2 x k2 
 4 4 
 sin x sin ,(k ¢ )
 4 4 x k2 
 x k2 2
 4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 2
3). 2 2 sin x cos x 2sin 2x 1 1 
 2
Đặt t sin x cos x t2 sin x cos x sin 2x 1 t2 , điều kiện t 2
 2 3 2
 1 2 2t 2 1 t2 1 2t2 2 2t 3 0 t  t 
 2 2
 2 2
So với điều kiện nhận t . Suy ra 2 sin x 
 2 4 2
 5 
 x k2 x k2 
 1 4 6 12
 sin x , k ¢ 
 4 2 5 13 
 x k2 x k2 
 4 6 12
 5 13 
Vậy nghiệm phương trình x k2 ,x k2 , k ¢ .
 12 12
4). sin x cos x 4sin xcos x 1 0. (1)
 t2 1
Đặt t sin x cos x ( ĐK: t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin x.cos x 
 2
 1
 1 t 2(t2 1) 1 0 2t2 t 1 0 t 1 t 
 2
 1
Với t 1 sin x cos x 1 2 sin x 1 sin x 
 4 4 2
 x k2 x k2 
 4 4 
 sin x sin (k ¢ ) 
 4 4 x k2 
 x k2 2
 4 4
 1 1 1
Với t 2 sin x sin x 
 2 4 2 4 2 2 1 1 
 x arcsin k2 x arcsin k2 
 4 2 2 4 2 2 
 ,(k ¢ ) 
 1 3 1 
 x arcsin k2 x arcsin k2 
 4 2 2 4 2 2 
 1 
Nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , x arcsin k2 , 
 2 4 2 2 
 3 1 
 x arcsin k2 ,(k ¢ ) .
 4 2 2 
5). sin xcos x 2(sin x cos x) 1 0. 
 t2 1
Đặt t sin x cos x ( ĐK: t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin x.cos x 
 2
 t2 1 t 1 2
Ta được : 2t 1 0 t2 2 2t 1 0 
 2 t 1 2
So với điều kiện chọn t 1 2 . Có nghĩa sin x cos x 1 2 
 2 2
 2 sin x 1 2 sin x 
 4 4 2
 2 2 2 2 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 2 4 2 
 (k ¢ ) .
 2 2 3 2 2 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 2 4 2 
Nghiệm của phương trình: 
 2 2 3 2 2 
 ¢
 x arcsin k2 ,x arcsin k2 ,(k )
 4 2 4 2 
6). sin xcos x 6(sin x cos x) 1. (1)
 1 t2
Đặt t sin x cos x (ĐK : t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin xcos x 
 2
 1 t2
(1): 6t 1 t2 12t 3 0 t 6 39  t 6 39 (loại).
 2
 6 39
Với t 6 39 2 sin x 6 39 sin x 
 4 4 2
 6 39 6 39 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 2 4 2 
 6 39 5 6 39 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 2 4 2 
Nghiệm của phương trình: 6 39 5 6 39 
 ¢
 x arcsin k2 ,x arcsin k2 ,(k )
 4 2 4 2 
7). sin x cos x 2 6 sin xcos x. (1)
 1 t2
Đặt t sin x cos x (Đk: t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin xcos x 
 2
 1 t2 6 6
 1 t 2 6 6t2 t 6 0 t  t 
 2 3 2
 6 6 3
Với t 2 sin x sin x 
 3 4 3 4 3
 3 3 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 3 4 3 
 3 5 3 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 3 4 3 
 6 6 3
Với t 2 sin x sin x 
 2 4 2 4 2
 x k2 x k2 
 4 3 12 (k ¢ ) .
 19 
 x k2 x k2 
 4 3 12
 19 
Nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , 
 12 12
 3 5 3 
 ¢ ¢
 (k )x arcsin k2 ,x arcsin k2 ,(k )
 4 3 4 3 
8). 2 2(sin x cos x) 3 sin 2x. 
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) t2 (sin cos x)2 sin 2x 1 t2 
 2 2 
Ta được : 2 2t 3 (1 t ) t 2 2t 2 0 t 2 2 sin x 2 
 4 
 3 
 sin x 1 x k2 x k2 (k ¢ ) 
 4 4 2 4
 3 
Nghiệm của phương trình: x k2 (k ¢ )
 4
9). 2sin 2x 3 3(sin x cos x) 5 0. 
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin 2x t2 1 
 3
Ta được : 2(t2 1) 3 3t 5 0 2t2 3 3t 3 0 t 3  t 
 2 3
So với điều kiện t nhận.
 2
 3 3 6
Với t 2 sin x sin x 
 2 4 2 4 4
 6 6 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 4 4 4 
 (k ¢ )
 6 3 6 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 4 4 4 
 Nghiệm của phương trình:
 6 3 6 
 ¢
 x arcsin k2 ,x arcsin k2 ,(k )
 4 4 4 4 
10). (1 2)(1 sin x cos x) sin 2x .
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) sin 2x 1 t2 
Ta được : (1 2)(1 t) 1 t2 t2 (1 2)t 2 0 t 2  t 1 
Với t 2 2 sin x 2 sin x 1 
 4 4 
 3 
 x k2 x k2 (k ¢ ) 
 4 2 4
 1
Với t 1 2 sin x 1 sin x 
 4 4 2
 x k2 x k2 
 4 4 
 3 (k ¢ ) 
 x k2 
 x k2 2
 4 4
 3 3 
Nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 ,x k2 ,(k ¢ )
 4 2
11). (1 2)(sin x cos x) 2sin xcos x 1 2 0. 
 t2 1
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 sin xcos x . Ta được : 
 2
 (1 2)t (t2 1) 1 2 0 t2 (1 2)t 2 0 t 2  t 1 
Với t 2 2 sin x 2 sin x 1 
 4 4 
 x k2 x k2 (k ¢ ) 
 4 2 4
 1
Với t 1 2 sin x 1 sin x 
 4 4 2 
 x k2 x k2 
 4 4 
 (k ¢ ) 
 x k2 
 x k2 2
 4 4
Nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 ,x k2 ,(k ¢ )
 4 2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 1 1 1
1). 2 2. 2). sin x 2sin 2x cos x. 
 sin x cos x 2
3). sin 2x 2 sin x 1. 4). 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0.
 4 
 cos 2x 1
5). cot x 1 sin2 x sin 2x (1) [ĐH A03] 
 1 tan x 2
 1 1 
6). 2 2 cos x 1 [Dự bị 2 ĐH B04]
 cos x sin x 4 
7) sin 2x 2 2 sin x cos x 5 0 [Dự bị 2 ĐH D04] 
LỜI GIẢI
 x k 
 1 1 sin x 0 
1). 2 2. Điều kiên : (k ¢ ) 
 sin x cos x cos x 0 x k 
 2
Phương trình sin x cos x 2 2 sin xcos x 
 t2 1
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) sin xcos x 
 2
 2
Ta được : t 2(t2 1) 2t2 t 2 0 t 2  t 
 2
Với t 2 2 sin x 2 sin x 1 
 4 4 
 x k2 x k2 (k ¢ ) 
 4 2 4
 2 2 1
Với t 2 sin x sin x 
 2 4 2 4 2
 5 
 x k2 x k2 
 4 6 12 (k ¢ )
 11 
 x k2 x k2 
 4 6 12 5 
So với điều kiện phương trình có các nghiệm: x k2 ; x k2 ; 
 4 12
 11 
 x k2 ,(k ¢ ) 
 12
 1
2). sin x 2sin 2x cos x. 
 2
 2(sin x cos x) 4sin 2x 1 .
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) sin 2x t2 1 
 1 13 1 13
Ta được : 2t 4(t2 1) 1 4t2 2t 3 0 t  t 
 4 4
 1 13 1 13 2 26
Với t 2 sin x sin x 
 4 4 4 4 8
 2 26 2 26 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 8 4 8 
 2 26 3 2 26 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 8 4 8 
 1 13 1 13 2 26
Với t 2 sin x sin x 
 4 4 4 4 8
 2 26 2 26 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 8 4 8 
 2 26 3 2 26 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 8 4 8 
Nghiệm của phương trình: 
 2 26 3 2 26 
 , 
 x arcsin k2 x arcsin k2
 4 8 4 8 
 2 26 3 2 26 
 , , ¢
 x arcsin k2 x arcsin k2 (k )
 4 8 4 8 
3). sin 2x 2 sin x 1. 
 4 
 sin 2x (sin x cos x) 1
Đặt t sin x cos x ( Đk : t 2 ) sin 2x 1 t2 
Ta được : 1 t2 t 1 t2 t 0 t 1 t 0 
 1
Với t 1 2 sin x 1 sin x 
 4 4 2 
 x k2 
 4 4 x k2 
 2 (k ¢ )
 x k2 x k2 
 4 4
Với t 0 2 sin x 0 x k x k .
 4 4 4
Nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , x k ,(k ¢ )
 2 4
4). 2sin 2x 3 6 sin x cos x 8 0. 
Đặt t sin x cos x ( Đk : 0 t 2 ) t2 (sin x cos x)2 sin 2x t2 1 
 6
Ta được : 2(t2 1) 3 6t 8 0 2t2 3 6 8 0 t  t 6 (loại).
 2
 6 6 3 3
Với t 2 sin x sin x sin x 
 2 4 2 4 2 4 2
 x k2 x k2 
 3 4 3 12
Với sin x ,(k ¢ ) 
 4 2 5 
 x k2 x k2 
 4 3 12
 7 
 x k2 x k2 
 3 4 3 12
Với sin x ,(k ¢ ) 
 4 2 13 
 x k2 x k2 
 4 3 12
 5 
Nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , 
 12 12
 7 13 
 x k2 ,x k2 ,(k ¢ )
 12 12
 cos 2x 1
5). cot x 1 sin2 x sin 2x (1) [ĐH A03] 
 1 tan x 2
LỜI GIẢI
 sin 2x 0
Điều kiện : 
 tan x 1
 cos x cos2 x sin2 x
(1) 1 sin x(sin x cos x)
 sin x sin x
 1 
 cos x
 cos x sin x cos x(cos2 x sin2 x)
 sin x(sin x cos x)
 sin x sin x cos x
 cos x sin x
 cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x)
 sin x (cos x sin x) sin2 x sin xcos x 1 0
 cos x sin x 0
 2
 sin x sin xcos x 1 0
* cos x sin x 0 2 cos x 0 
 4 
 cos x 0 x k x k ; k ¢
 4 4 2 4
 1 cos 2x sin 2x
* sin2 x sin xcos x 1 0 1 0 
 2 2
 sin 2x cos 2x 3 0 (vô nghiệm) 
 1 1 
6). 2 2 cos x 1 [Dự bị 2 ĐH B04]
 cos x sin x 4 
LỜI GIẢI
 k 
Điều kiện : sin 2x 0 2x k x , k ¢ 
 2
 sin x cos x 
(1) 2 2 cos x 
 sin xcos x 4 
 2 cos x 2 2 sin xcos xcos x 
 4 4 
 x k 
 cos x 0 4 2
 cos x 1 sin 2x 0 4 , k ¢ 
 4 
 sin 2x 1 2x k2 
 2
 x k 
 k 
 4 , k ¢ x , k ¢ 
 4 2
 x k 
 4
 k 
Nghiệm của phương trình: x , k ¢ 
 4 2
7) sin 2x 2 2 sin x cos x 5 0 (1) [Dự bị 2 ĐH D04] 
LỜI GIẢI
Đặt t sin x cos x với 2 t 2 sin 2x t2 1.
(1) t2 2 2t 6 0 t 2  t 3 2 (loại).
Với t 2 sin x cos x 2 2 cos x 2
 4 
 5 
 cos x 1 x k2 x k2 , k ¢ 
 4 4 4