Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx (Có lời giải)

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin VÀ cos:
1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:
 a sin u bcos u c
DẠNG: a sin u bcos u c
 a cos u bsin u c
Điều kiện để phương trình có nghiệm là : a2 b2 c2
Giả sử giải phương trình: a sin u bcos u c * 
Cách giải chia hai vế của (*) cho a2 b2
 a b c
 Ta được : sin u cos u 
 a2 b2 a2 b2 a2 b2
 a b
Đặt cos sin .
 a2 b2 a2 b2
 c c
 sin u.cos sin .cos u sin u (**)
 a2 b2 a2 b2
 c
Đặt sin . 
 a2 b2
 (**) sin u sin . Giải phương trình cơ bản.
Câu 1: Giải các phương trình sau:
1). cos x 3 sin x 2 2). 3sin x 4cos x 5 
3). 3 sin x cos x 2 4). sin x cos x 1 
 6
 5). sin x cos x 6). 5sin 2x 12cos 2x 13
 2
7). sin 8x cos6x 3 sin 6x cos8x 8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x
9). 2sin2 x 3 sin 2x 3 10). 
 2
3cos x 4sin x 3
 3cos x 4sin x 6
 3 2
11). 2sin x sin x 
 4 4 2
 LỜI GIẢI
1). cos x 3 sin x 2 (1) 
Ta có a 1,b 3,c 2 a2 b2 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được: 
 1 3 2 2
 1 cos x sin x cos x.cos sin x.sin 
 2 2 2 3 3 2 7 
 x k2 x k2 
 3 4 12
 cos x cos , k ¢ 
 3 4 
 x k2 x k2 
 3 4 12
 7 
Kết luận nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 12 12
2). 3sin x 4cos x 5 1 . Ta có a 3,b 4,c 5 a2 b2 5 . Chia hai vế 
 3 4 3 4
của (1) cho 5 được: 1 sin x cos x 1 . Đặt cos sin 
 5 5 5 5
 sin x.cos cos x.sin 1 sin x 1 x k2 x k2 
 2 2
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k ¢ 
 2
3). 3 sin x cos x 2 1 . 
Ta có a 3,b 1,c 2 a2 b2 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:
 3 1 2 2 
 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 
 2 2 2 6 6 2
 5 
 x k2 x k2 
 6 4 12
 sin x sin , k ¢ 
 6 4 11 
 x k2 x k2 
 6 4 12
 5 11 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k2 ,x k2 , k ¢ 
 12 12
4). sin x cos x 1 (1)
Ta có a 1,b 1,c 1 a2 b2 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:
 1 1 1 1
 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 
 2 2 2 4 4 2
 x k2 
 4 4 x k2 
 sin x sin 2 , k ¢ 
 4 4 
 x k2 x k2 
 4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 2
 6 6
5). sin x cos x (1) Ta có a 1,b 1,c a2 b2 2 . Chia hai vế 
 2 2
của (1) cho 2 
 1 1 3 3
được: 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 
 2 2 2 4 4 2 
 x k2 x k2 
 4 3 12
 sin x sin , k ¢ 
 4 3 5 
 x k2 x k2 
 4 3 12
 5 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 12 12
6). 5sin 2x 12cos 2x 13 (1) .Ta có a 5,b 12,c 13 a2 b2 13 . Chia hai 
 5 12
vế của (1) cho 13 được: 1 sin 2x cos 2x 1. Đặt 
 13 13
 5 12
 cos sin .
 13 13
 sin 2xcos sin cos 2x 1 sin 2x 1
 2x k2 x k .
 2 2 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ 
 2 4
7). sin 8x cos6x 3 sin 6x cos8x 1 
 1 sin 8x 3 cos8x 3 sin 6x cos6x
 1 3 3 1
 sin 8x cos8x sin 6x cos6x
 2 2 2 2
 sin 8x.cos cos8x.sin sin 6x.cos cos6x.sin
 3 3 6 6
 8x 6x k2 x k 
 3 6 4
 sin 8x sin 6x 
 3 6 k 
 8x 6x k2 x 
 3 6 12 7
8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x (1)
 1 1
 1 sin x cos x 2 sin 2x sin x cos x sin 2x
 2 2
 sin x.cos cos x.sin sin 2x
 4 4
 2x x k2 x k2 
 4 4
 sin x sin 2x , k ¢ 
 4 k2 
 2x x k2 x 
 4 4 3
 k2 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x , k ¢ 
 4 4 3
9). 2sin2 x 3 sin 2x 3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x 2 3 1 
 sin 2x cos 2x 1 sin 2x.cos cos 2x.sin 1 
 2 2 6 6
 sin 2x 1 2x k2 x k 
 6 6 2 3
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ 
 3
 2
10). 3cos x 4sin x 3 1 
 3cos x 4sin x 6
Đặt t 3cos x 4sin x 6 3cos x 4sin x t 6
 2 2 t 1
 1 t 6 3 t 3t 2 0 
 t t 2
 3 4 3 4
Với t 1 3cos x 4sin x 5 cos x sin x 1 . Đặt cos sin . 
 5 5 5 5
 cos x.cos sin x.sin 1
 cos x 1 x k2 x k2 .
 2 2
 3 4 4 3 4
Với t 2 3cos x 4sin x 4 cos x sin x . Đặt cos sin .
 5 5 5 5 5
 cos x.cos sin x.sin sin cos x sin 
 x k2 x 2 k2 
 2 2
 cos x cos , k ¢ .
 2 
 x k2 x k2 
 2 2
Nghiệm phương trình: x k2 , x 2 k2 ,x k2 , k ¢ 
 2 2 2
 3 2
11). 2sin x sin x .
 4 4 2
 sin x cos x sin x cos x 3 2
 2. 3sin x cos x 3
 2 2 2
 3 1 3 3 1
 sin x cos x . Đặt cos sin 
 10 10 10 10 10
 sin x.cos cos x.sin cos sin x sin 
 2 
 x k2 x 2 k2 
 2 
 2 , k ¢ 
 x k2 x k2 
 2 2
Nghiệm phương trình: x 2 k2 ,x k2 , k ¢ 
 2 2 Câu 2: Giải các phương trình sau:
 3 3 cos 2x x
1). cos x . 2). tan .sin x 2cos2 2
 2sin x 7 2
3). 2 cos4 x sin4 x sin x cos x 
4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 2
 6 
5). 3 sin7x cos7x 2sin 5x 6). sin 2x 3 sin 2x 2
 6 2 
7). cos x 3 sin x 2cos 2x 0 8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x 
 3 
9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 . 10). 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x
 LỜI GIẢI
 3 3 cos 2x
1). cos x 1 . Điều kiện sin x 0 x k 
 2sin x
 1 3 3 cos 2x 2sin xcos x 3 cos 2x sin 2x 3
 3 1 3 3
 cos 2x sin 2x cos 2x.cos sin 2x.sin 
 2 2 2 6 6 2
 2x k2 
 6 6 x k 
 cos 2x cos 6 , k ¢ 
 6 6 
 2x k2 x k 
 6 6
So với điều kiện thì nghiệm x k loại.
Vậy nghiệm phương trình: x k , k ¢ 
 6
 x 
2). tan .sin x 2cos2 2 tan .sin x 1 cos x 2 
 7 2 7
 sin 
 7 sin x cos x 1 sin sin x cos cos x cos 
 7 7 7
 cos
 7
 x k2 2 
 7 7 x k2 
 cos x cos 7
 7 7 
 x k2 x k2 
 7 7
 2 
Nghiệm phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 7
3). 2 cos4 x sin4 x sin x cos x 2 cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin x cos x
 2 cos 2x 2 cos x 
 4 
 2x x k2 x k2 
 4 4
 cos 2x cos x , k ¢ 
 4 k2 
 2x x k2 x 
 4 12 3
 k2 
Nghiệm của phương trình: x k2 ,x , k ¢ 
 4 12 3
4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 2
 6 
 3 1 
 cos 2x sin 2x sin 2x 2
 2 2 6 
 cos 2x.cos sin 2x.sin sin 2x 2
 6 6 6 
 cos 2x sin 2x 2
 6 6 
 1 1 
 cos 2x sin 2x 1
 2 6 2 6 
 cos 2x .cos sin 2x sin 1
 6 4 6 4
 5 
 cos 2x 1 2x k2 x k .
 6 4 6 4 24
 5 
Nghiệm của phương trình: x k .
 24
5). 3 sin7x cos7x 2sin 5x 
 6 
 3 1 
 sin7x cos7x sin 5x 
 2 2 6 
 sin7xcos cos7xsin sin 5x sin 7x sin 5x 
 6 6 6 6 6 
 7x 5x k2 x k 
 6 6 
 k 
 x 
 7x 5x k2 9 6
 6 6 
6). sin 2x 3 sin 2x 2 cos 2x 3 sin 2x 2 
 2 
 1 3 
 cos 2x sin 2x 1 cos 2x.cos sin 2x.sin 1 cos 2x 1
 2 2 3 3 3 
 2x k2 x k , k ¢ 
 3 6
7). cos x 3 sin x 2cos 2x 0
 3 
 1 3 
 cos x sin x cos 2x cos xcos sin xsin cos 2x 
 2 2 3 3 3 3 
 4 5 
 2x x k2 x k2 
 4 3 3 3
 cos x cos 2x 
 3 3 4 k2 
 2x x k2 x 
 3 3 3
8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x 
 2 cos2 x sin2 x 1 3 cos x sin x 
 2 cos x sin x cos x sin x 1 3 cos x sin x 
 cos x sin x 2 cos x sin x 1 3 0
 2 cos x 0 cos x 0 1 
 cos x sin x 0 4 4 
 2 cos x sin x 1 3 0 1 3 1 3
 2 cos x cos x 2 
 4 2 4 2 2
Giải (1): x k x k .
 4 2 4
 x k2 x k2 
 4 12 3
Giải (2): cos x cos 
 4 12 
 x k2 x k2 
 4 12 6
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k2 , x k2 , k ¢ 
 4 3 6
9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 .
Ta có a 3 1,b 3 1,c 1 3 a2 b2 2 2
 3 1 3 1 1 3 5 5 1 3
 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 
 2 2 2 2 2 2 12 12 2 2 5 
 x k2 x k2 
 5 12 12 3
 sin x sin 
 12 12 5 3 
 x k2 x k2 
 12 12 2
 3 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 3 2
10). 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x
 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1
 1 3 1 1
 sin 9x cos9x sin 9x.cos cos9x.sin 
 2 2 2 3 3 2
 k2 
 9x k2 x 
 3 6 18 9
 sin 9x sin 
 3 6 7 k2 
 9x k2 x 
 3 6 54 9
 k2 7 k2 
Vậy nghiệm của phương trình: x ,x , k ¢ 
 18 9 54 9
Câu 3: Giải các phương trình sau:
1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 0
 6 
2). 4sin x 2cos x 3 2 0 
 4 4 
3). 8sin xsin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x
 4 4 
 2 
4). 2 3 sin x cos x 2cos x 3 1
 8 8 8 
 1 cos x cos 2x cos 3x 2
5). 3 3 sin x 
 2cos2 x cos x 1 3 
 3 1
6). 8sin x 
 cos x sin x
7). 2cos3 x 2sin3 x 2sin2 xcos x 2cos2 xsin x 2 0
8). 5 cos x sin x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x 
 LỜI GIẢI
1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 0 
 6 
 2 cos 2xcos sin 2xsin 2sin 2x 1 0 3 cos 2x sin 2x 1
 6 6 
 3 1 1 1
 cos 2x sin 2x cos 2xcos sin 2xsin 
 2 2 2 6 6 2 
 2x k2 x k 
 6 3 4
 cos 2x cos , k ¢ 
 6 3 
 2x k2 x k 
 6 3 12
Vậy nghiệm của phương trình: x k ,x k , k ¢ 
 4 12
2). 4sin x 2cos x 3 2 0
 4 4 
 sin x cos x sin x cos x 
 4. 2. 3 2 sin x cos x 1 2 sin x 1
 2 2 4 
 x k2 x k2 
 1 4 4 
 sin x 
 4 2 x k2 
 x k2 2
 4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 2
3). 8sin xsin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x
 4 4 
 4 cos x cos 3x 3 sin 3x sin x 5 7 cos x
 2 
 4 cos x cos 3x 3 sin 3x cos x 5 7 cos x 3sin 3x 4cos 3x 5
 3 4
 sin 3x cos 3x 1 sin 3x.cos cos 3x.sin 1 sin 3x 1
 5 5
 k2 3 4
 3x k2 x . (Với cos , sin )
 2 3 6 3 5 5
 k2 
Vậy nghiệm của phương trình: x 
 3 6 3
 2 
4). 2 3 sin x cos x 2sin x 3 1
 8 8 8 
Áp dụng công thức nhân đôi: 2sin x cos x sin 2x , và hạ bậc 
 8 8 4 
 2 
 2sin x 1 cos 2x ta được:
 8 4 
 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1
 4 4 
 3 sin 2x cos 2x 3
 4 4 3 1 3
 sin 2x cos 2x 
 2 4 2 4 2
 3
 sin 2x cos cos 2x sin 
 4 6 4 6 2
 3 
 2x k2 x k 
 4 6 3 8
 sin 2x sin 
 4 6 3 13 
 2x k2 x k 
 4 6 3 24
 3 13 
Vậy nghiệm của phương trình: x k ,x k , k ¢ 
 8 24
 1 cos x cos 2x cos 3x 2
5). 3 3 sin x * . Điều kiện 
 2cos2 x cos x 1 3 
 2cos2 x cos x 1 0
 1 cos 2x cos 3x cos x 2
 3 3 sin x
 2 
 2cos x 1 cos x 3
 2cos2 x 2cos 2x.cos x 2
 3 3 sin x
 cos 2x cos x 3 
 2cos x cos 2x cos x 2
 3 3 sin x
 cos 2x cos x 3 
 2
 2cos x 3 3 sin x 3 cos x sin x 3
 3 
 3 1 3 3
 cos x sin x cos x.cos sin xsin 
 2 2 2 6 6 2
 x k2 
 6 6 x k2 
 cos x cos 3
 6 6 
 x k2 x k2 
 6 6
Thay hai họ nghiệm của x vào điều kiện ta thấy thỏa.
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 .
 3
 3 1 sin x 0
6). 8sin x . Điều kiện 
 cos x sin x cos x 0
Quy đồng mẫu được: 8sin2 xcos x 3 sin x cos x
Hạ bậc sin2 x được: 4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x
 4cos x 4cos 2xcos x 3 sin x cos x
 4cos x 2 cos x cos 3x 3 sin x cos x
 1 3
 cos x 3 sin x 2cos 3x cos x sin x cos 3x
 2 2