Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác (Có lời giải)

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG:
 a sin2 u bsin u c 0 a 0 . Đặt t sin u ,điều kiện 1 t 1
 a cos2 u bcos u c 0 a 0 . Đặt t cos u ,điều kiện 1 t 1
 a tan2 u b tan u c 0 a 0 . Đặt t tan u , điều kiện cos u 0
 a cot2 u bcot u c 0 a 0 . Đặt t cot u ,điều kiện sin u 0
Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1). 2cos2 x 3cos x 1 0 2). 4sin2 x 4sin x 3 0
3). sin2 2x 13sin 2x 5 0 4). tan2 x 3 1 tan x 3 0
5). 4cos2 x 2 1 3 cos x 3 0 6). cot2 x 4cot x 3 0
7). cos 2x 3sin x 2 0 8). sin2 x cos x 1 0
 LỜI GIẢI
1). 2cos2 x 3cos x 1 0 (1). Đặt cos x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở 
 1
thành: 2t2 3t 1 0 t 1 t . So với điều kiện nhận cả hai nghiệm.
 2
Với t 1 cos x 1 x k2 ,(k ¢ )
 x k2 
 1 1 
Với t cos x cos x cos 3 ,(k ¢ )
 2 2 3 
 x k2 
 3
Kết luận nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , x k2 ,(k ¢ )
 3 3
2). 4sin2 x 4sin x 3 0 (1). Đặt sin x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở 
 1 3 1 1
thành: 4t2 4t 3 0 t  t . So với điều kiện nhận t sin x 
 2 2 2 2
 5 
 sin x sin x k2  x k2 , k ¢ 
 6 6 6
 5 
Kết luận nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ 
 6 6
3). sin2 2x 13sin 2x 5 0 (1). Đặt sin 2x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở 
 13 149 13 149
thành: t2 13t 5 0 t  t . So với điều kiện nhận 
 2 2
 13 149 13 149
t , suy ra : sin 2x 
 2 2 13 149
 arcsin
 13 149
 2x arcsin k2 x 2 k 
 2 2
 13 149 13 149
 2x arcsin k2 arcsin
 2 x 2 k 
 2
 13 149
Hoặc đặt sin , suy ra sin 2x sin 
 2
 x k 
 2x k2 2
 , k ¢ 
 2x k2 
 x k 
 2 2
Vậy nghiệm của phương trình: 
 13 149 13 149
 arcsin arcsin
 x 2 k ,x 2 k , k ¢ 
 2 2
 2 
4). tan x 3 1 tan x 3 0 (1). Đặt tan x t, x k . 
 2 
Phương trình (1) trở thành: t2 3 1 t 3 0 t 1 t 3 . 
Với t 1 tan x 1 tan x tan x k ,(k ¢ ) .
 4 4
Với t 3 tan x tan x k ,(k ¢ ) .
 3 3
So với điều kiện nhận cả hai nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k ,(k ¢ )
 4 3
5). 4cos2 x 2 1 3 cos x 3 0 (1)
Đặt cos x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở thành: 4t2 2 1 3 t 3 0
 1 3
 t  t . So với điều kiện hai nghiệm đều nhận
 2 2
 x k2 
 1 1 
Với t cos x cos x cos 3 , k ¢ 
 2 2 3 
 x k2 
 3
 x k2 
 3 3 
Với t cos x cos x cos 6 , k ¢ 
 2 2 6 
 x k2 
 6
Vậy nghiệm của phương trình: 
x k2 ,x k2 x k2 ,x k2 , k ¢ 
 3 3 6 6
6). cot2 x 4cot x 3 0
Đặt cot x t, x k . Phương trình (1) trở thành: t2 4t 3 0 t 1 t 3
Với t 1 cot x 1 cot x cot x k , k ¢ 
 4 4
Với t 3 cot x 3 cot x arc cot 3 x arc cot 3 k , k ¢ .
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x arc cot 3 k , k ¢ 
 4
7). cos 2x 3sin x 2 0
 1 2sin2 x 3sin x 2 0 2sin2 x 3sin x 1 0 (1) . Đặt sin x t,t [ 1;1] . 
 1
Phương trình (1) trở thành: 2t2 3t 1 0 t 1 t 
 2
So với điều kiện hai nghiệm đều nhận.
Với t 1 sin x 1 x k2 , k ¢ 
 2
 x k2 , k ¢ 
 1 1 6
Với t sin x sin x sin 
 2 2 6 7 
 x k2 , k ¢ 
 6
 7 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 ,x k2 , k ¢ 
 2 6 6
8). sin2 x cos x 1 0 (1)
(1) 1 cos2 x cos x 1 0 cos2 x cos x 2 0 (1')
Đặt cos x t,t [ 1;1] . Phương trình (1') trở thành: t2 t 2 0 t 1 t 2 . 
So với điều kiện nhận t 1 . Với t 1 cos x 1 x k2 .
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , (k ¢ )
Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
 3 1
1). tan x cot x 2). cot x 3
 2 sin2 x
 x 2 
3). 5cos x 2sin 7 0 4). cos 2x 3cos x 1 0
 2 3 3 
5). 23sin x sin 3x 24 6). sin3 x 3sin2 x 2sin x 0
 2 
7). cos x 4cos x 4 8). cos 4x 12sin xcos x 5 0
 3 6 
 3
9). 2 3 cot x 6 0 10). 4cos2 6x 2 16cos2 1 3x 13
 sin2 x x
11). cos 2x 3cos x 4cos2 12).
 2
 2 
 2sin 2x 6sin x cos x 2 0
 3 6 6 
13). cos 5x.cos x cos 4x.cos 2x 3cos2 x 1
 LỜI GIẢI
 3 cos x 0 x k 
1). tan x cot x (1) . Điều kiện 2 , k ¢ 
 2 sin x 0 
 x k 
 1 3
 1 tan x 2 tan2 x 3tan x 2 0 1' 
 tan x 2
 1
Đặt tan x t . Phương trình (1') trở thành: 2t2 3t 2 0 t 2  t 
 2
Với t 2 tan x 2 x arctan 2 k , k ¢ .
 1 1 1 
Với t tan x x arctan k , k ¢ .
 2 2 2 
 1 
Vậy nghiệm của phương trình là: x arctan 2 k , x arctan k , k ¢ 
 2 
 1
2). cot x 3 (1) . Điều kiện sin x 0 x k 
 sin2 x
 1 1 cot2 x cot x 3 cot2 x cot x 2 0 1' 
Đặt cot x t . Phương trình (1') trở thành: t2 t 2 0 t 1 t 2
Với t 1 cot x 1 x k , k ¢ .
 4
Với t 2 cot x 2 x arc cot 2 k , k ¢ .
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x arc cot 2 k , k ¢ 
 4
 x 2 x x
3). 5cos x 2sin 7 0 5 1 2sin 2sin 7 0
 2 2 2
 x x x
 10sin2 2sin 12 0 1 . Đặt t sin ,t [ 1;1] . Phương trình (1') trở 
 2 2 2
 6
thành: 5t2 t 6 0 t 1 t (loại).
 5
 x x 
Với t 1 sin 1 k2 x k4 k ¢ .
 2 2 2
Vậy nghiệm của phương trình: x k4 k ¢ 
 2 
4). cos 2x 3cos x 2 0
 3 3 2 
Các bạn để ý: 2x 2 x , nên ta nghĩ ngay đến công thức nhân đôi 
 3 3 
để đưa về phương trình bậc 2 theo cos, ta thực hiện như sau:
 2 2 
 2cos x 1 3cos x 2 0 2cos x 3cos x 1 0
 3 3 3 3 
 1
 cos x 1 cos x , cả hai nghiệm này đều nhận.
 3 3 2
 2 
 cos x 1 x k2 x k2 , k ¢ .
 3 3 3
 2 
 x k2 
 1 2 3 3 x k2 
 cos x cos x cos 3
 3 2 3 3 2 
 x k2 x k2 
 3 3
 2 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 ,x k2 , k ¢ 
 3 3
5). 23sin x sin 3x 24 23sin x 3sin x 4sin3 x 24 
 4sin3 x 20sin x 24 0 (1). Đặt sin x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở 
thành: 4t3 20t 24 0 t 1 sin x 1 x k2 , k ¢ .
 2
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k ¢ 
 2
6). sin3 x 3sin2 x 2sin x 0 1 
Đặt sin x t,t [ 1;1] . Phương trình (1) trở thành: t3 3t2 2t 0
 t 1 t 2  t 0 , so với điều kiện nhận t 1 t 0 .
Với t 1 sin x 1 x k2 , k ¢ 
 2
Với t 0 sin x 0 x k , k ¢ .
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x k , k ¢ 
 2
 2 
7). cos x 4cos x 4 1 
 3 6 
Ta có x x cos x sin x 
 3 6 2 6 3 
 2 
 1 1 sin x 4sin x 4 1' 
 3 3 2
Đặt sin x t,t [ 1;1]. Phương trình (1') trở thành: t 4t 3 0 
 3 
 t 3  t 1 , so với điều kiện nhận t 1 , suy ra sin x 1 
 3 
 x k2 x k2 , k ¢ 
 3 2 6
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k ¢ .
 6
8). cos 4x 12sin xcos x 5 0 1 2sin2 2x 6sin 2x 5 0
 sin2 2x 3sin 2x 2 0 sin 2x 1 sin 2x 2 (loại).
Với sin 2x 1 2x k2 x k , k ¢ 
 2 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ 
 4
 3
9). 2 3 cot x 6 0 . Điều kiện sin x 0 x k ,k ¢
 sin2 x
 3 1 cot2 x 2 3 cot x 6 0 3cot2 x 2 3 cot x 3 0
 3
 cot x  cot x 3 .
 3
 3 
Với cot x cot x cot x k , k ¢ 
 3 3 3
Với cot x 3 cot x cot x k , k ¢ .
 6 6
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k , k ¢ 
 3 6
10). 4cos2 6x 2 16cos2 1 3x 13 1 . Đặt t 3x 1
 1 4cos2 2t 16cos2 t 13 4cos2 2t 16cos2 t 13
 1 cos 2t
 4cos2 2t 16. 13 4cos2 2t 8cos 2t 5 0 
 2
 1 5
 cos 2t  cos 2t (loại).
 2 2
 2t k2 t k 
 1 
Với cos 2t cos 2t cos 3 6
 2 3 
 2t k2 t k 
 3 6
 1 k 
 3x 1 k x 
 6 3 18 3 , k ¢ 
 1 k 
 3x 1 k x 
 6 3 18 3 1 k 1 k 
Vậy nghiệm của phương trình: x ,x , k ¢ .
 3 18 3 3 18 3
 x 1 cos x
11). cos 2x 3cos x 4cos2 2cos2 x 1 3cos x 4.
 2 2
 1
 2cos2 x 5cos x 3 0 cos x  cos x 3 (loại).
 2
 1 2 2 
 cos x cos x cos x k2 , k ¢ .
 2 3 3
 2 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k ¢ .
 3
 2 
12). 2sin 2x 6sin x cos x 2 0 1 
 3 6 6 
 2 
 1 sin 2x 3sin 2x 2 0 sin 2x 0  sin 2x 2 (loại)
 3 3 3 3 
.
 k 
Với sin 2x 0 2x k x , k ¢ 
 3 3 6 2
 k 
Vậy nghiệm của phương trình: x , k ¢ .
 6 2
13). cos 5x.cos x cos 4x.cos 2x 3cos2 x 1 1 
Biến đổi tích về tổng được: 
 1 1
 cos 4x cos6x cos 2x cos6x 3cos2 x 1 cos 4x cos 2x 6cos2 x 2
 2 2
Sau đó sử dụng công thức nhân đôi và hạ bậc:
 2cos2 2x 1 cos 2x 3 1 cos 2x 2 2cos2 2x 4cos 2x 6 0 1' .
Đặt cos 2x t,t [ 1;1] . Phương trình (1') trở thành: 2t2 4t 6 0 
 t 1 t 3 . So với điều kiện nhận t 1 , suy ra: 
 cos 2x 1 2x k2 x k , k ¢ 
 2
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ 
 2
Câu 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
 2 1 1 
1). 4 sin x 4 sin x 7 0
 sin2 x sin x 
 2 4 2 
2). 2 cos x 9 cos x 1 0
 cos2 x cos x 
3). 3 tan2 x cot2 x 4 tan x cot x 2 0
4). tan x tan2 x tan3 x cot x cot2 x cot3 x 6 LỜI GIẢI
 2 1 1 
1). 4 sin x 4 sin x 7 0 1 
 sin2 x sin x 
 2
 1 2 1 2 1 2
Đặt t sin x t sin x sin x t 2
 sin x sin x sin2 x
 5 3
 1 4 t2 2 4t 7 0 4t2 4t 15 0 t  t .
 2 2
 5 1 5
 Với t : sin x 2 , đặt u sin x,u [ 1;1]/ {0}
 2 sin x 2
 1
 2 2u2 5u 2 0 u  u 2 (loại).
 2
 x k2 
 1 1 6
 u sin x sin x sin k ¢ 
 2 2 6 7 
 x k2 
 6
 3 1 3
 Với t sin x 3 , đặt v sin x,v [ 1;1]/ {0}
 2 sin x 2
 3 2v2 3v 2 0 (phương trình vô nghiệm).
 7 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ .
 6 6
 2 4 2 
2). 2 cos x 9 cos x 1 0 1 
 cos2 x cos x 
 2
 2 2 2 2 4 2
Đặt t cos x t cos x cos x t 4
 cos x cos x cos2 x
 7
 1 2 t2 4 9t 1 0 2t2 9t 7 0 t 1 t 
 2
 2
Với t 1 cos x 1 cos2 x cos x 2 0 cos x 1 cos x 2 (loại).
 cos x
 cos x 1 x k2 , k ¢ .
 7 2 7 1
Với t cos x 2cos2 x 7 cos x 4 0 cos x hoặc 
 2 cos x 2 2
 cos x 4 (loại).
 1 2 
 cos x x k2 , k ¢ .
 2 3
 2 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , k ¢ 
 3
3). 3 tan2 x cot2 x 4 tan x cot x 2 0 1 
 2
Đặt t tan x cot x t2 tan x cot x tan2 x cot2 x t2 2 2
 1 3 t2 2 4t 2 0 3t2 4t 4 0 t 2  t 
 3
 1
 Với t 2 tan x cot x 2 tan x 2 tan2 x 2 tan x 1 0
 tan x
 tan x 1 tan x tan x k , k ¢ .
 4 4
 2 2
 Với t tan x cot x 
 3 3
 1 2
 tan x 3tan2 x 2 tan x 3 0 (phương trình vô nghiệm).
 tan x 3
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ .
 4
4). tan x tan2 x tan3 x cot x cot2 x cot3 x 6 1 
Đặt t tan x cot x .
 2
Có: tan2 x cot2 x tan x cot x 2 tan xcot x t2 2 .
 3
Có: tan3 x cot3 x tan x cot x 3tan x.cot x tan x cot x t3 3t .
 1 tan x cot x tan2 x cot2 x tan3 x cot3 x 6 .
 t t2 2 t3 3t 6 t3 t2 2t 8 0 t 2 .
 1
Với t 2 tan x cot x 2 tan x 2 tan2 x 2 tan x 1 0
 tan x
 tan x 1 tan x tan x k , k ¢ .
 4 4
Vậy nghiệm của phương trình: x k , k ¢ .
 4
Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau:
 3 15 1
1). sin4 cos4 x 2sin 2x sin2 2x 0 2). cos6 2x sin6 2x cos 4x 
 4 8 2
 5
3). sin4 x cos4 x 1 4). 
 3
 4 4 3 1 4 6
 sin x cos x cos x sin x 5). sin x cos 2x 4sin x 0 
 4 4 2
6). cos8x sin3 xcos x cos3 xsin x 1 0
 LỜI GIẢI
 3
1). sin4 cos4 x 2sin 2x sin2 2x 0 1 
 4
 1 2 3 2 1 2
 1 sin 2x 2sin 2x sin 2x 0 sin 2x 2sin 2x 1 0 1' 
 2 4 4 1
Đặt sin 2x t,t [ 1;1] . Phương trình (1') trở thành: t2 2t 1 0
 4
 t 4 2 3  t 4 2 3 . So với điều kiện nhận t 4 2 3 sin 2x 4 2 3
 arcsin 4 2 3 
 ¢
 2x arcsin 4 2 3 k2 x k , k 
 2
 2x arcsin 4 2 3 k2 arcsin 4 2 3 
 x k , k ¢ 
 2
Vậy nghiệm của phương trình:
 arcsin 4 2 3 arcsin 4 2 3 
 x k ,x k , k ¢ .
 2 2
 15 1
2). cos6 2x sin6 2x cos 4x 1 
 8 2
 3 15 1 3 1 cos 4x 15 1
 1 1 sin2 2x cos 4x 1  cos 4x 
 4 8 2 4 2 8 2
 3
 8 3 1 cos 4x 15cos 4x 4 cos 4x 
 4
 3 1 3 k 
 4x arccos k2 x arccos k ¢ 
 4 4 4 2
 1 3 k 
Vậy nghiệm của phương trình: x arccos k ¢ .
 4 4 2
 5 2 5 2
3). sin4 x cos4 x 1 sin2 x cos2 x 1
 3 3
 2 2
 1 cos 2x 5 1 cos 2x 
 1 1 . Đặt cos 2x t,t [ 1;1]
 2 3 2 
 1 2t t2 5 1 2t t2 1
 1  1 8t2 4t 4 0 t 1 t .
 4 3 4 2
Với t 1 cos 2x 1 2x k2 x k , k ¢ 
 2
 2x k2 x k 
 1 1 
Với t cos 2x 3 6 , k ¢ 
 2 2 
 2x k2 x k 
 3 6
Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k ,x k , k ¢ 
 2 6 6
 4 4 3 1
4). sin x cos x cos x sin x 
 4 4 2
 1 2 1 1 1 2 1 1
 1 sin 2x sin sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 
 2 2 2 2 2 2 2
 sin2 2x sin 2x 0 sin 2x 0  sin 2x 1