Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phần 3: Phương trình lượng giác tổng hợp (Có lời giải)

 LỜI GIẢI
Câu : Giải các phương trình sau:
 x x 2
1). 4sin sin 3 sin cos 2x cos x 1 cot x 
 2 6 6 2 
2). 2sin3 x 3 3sin2 x 2sin x 3 tan x 
3). 2 tan2 x 1 cos x 2 cos 2x 
 5 2
4). 5sin x 3(1 cos x)cot x 2 
 2 
 3
5). (tan x 1)sin2 x 3cos2 x sin 2x 0 
 2
 2 2
 sin x cos x 2sin x 2 
6). 
 2 sin x sin 3x 
 1 cot x 2 4 4 
 LỜI GIẢI
 x x 2
1). 4sin sin 3 sin cos 2x cos x 1 cot x 
 2 6 6 2 
Điều kiện: sin x 0 x k ,k ¢ 
Các bạn để ý góc ở vế trái, nên ý tưởng biến đổi tích thành tổng ở vế trái
 2 1
 2 cos x cos 3 sin x 2cos x 1 cos x 
 3 sin2 x
 1
 2cos x 1 3 2cos2 x cos x 1 
 sin x
Phân tích 2cos2 x cos x 1 cos x 1 2cos x 1 và quy đồng mẫu được:
 sin x 2cos x 1 3 cos x 1 2cos x 1 
 2cos x 1 sin x 3 cos x 3 0 
 2cos x 1 0  sin x 3 cos x 3 0 
 1 
Với 2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 , k Z . 
 2 3 3
 1 3 3 3
Với sin x 3 cos x 3 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 
 2 2 2 3 3 2
 2 
 sin x sin x k2 hoặc x k2 , k Z 
 3 3 3
Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác : π
 2π π
 2
 3 3
 π* 0
 π
 3π -
 3
 2
Vậy nghiệm x k2 loại
 2 
Kết luận nghiệm phương trình: x k2 , x k2 k Z 
 3 3
2). 2sin3 x 3 3sin2 x 2sin x 3 tan x 
Ý tưởng: Đổi tanx thành sin chia cos, sau đó quy đồng mẫu...
Điều kiện cos x 0 x k ,k ¢
 2
 sin x
 2sin3 x 3 3 sin2 x 1 2sin x 
 cos x
 cos x 2sin3 x 3 3cos2 x 2sin x sin x 
Phân phối sau đó chuyển các phần tử vế phải qua vế trái được:
 2cos xsin3 x 3cos x 3cos2 xsin x 2sin2 x 0 
 2cos x.sin3 x 2sin2 x 3cos2 xsin x 3cos x 0 
 2sin2 x sin xcos x 1 3cos x sin xcos x 1 0 
 sin xcos x 1 2sin2 x 3cos x 0 
 sin xcos x 1 0  2sin2 x 3cos x 0 
 1
Với sin xcos x 1 0 sin 2x 1 sin 2x 2 (loại)
 2
Với 2sin2 x 3cos x 0 2 1 cos2 x 3cos x 0 
 1
 2cos2 x 3cos x 2 0 cos x  cos x 2 (loại)
 2
 1
So với điều kiện thì cos x (nhận) 
 2
 2 2 
 cos x cos x k2 k Z 
 3 3
 2 
Nghiệm phương trình: x k2 k Z 
 3 3). 2 tan2 x 1 cos x 2 cos 2x 
Điều kiện: cos x 0. 
 1 2
 2 2 1 1 cos x 2 2cos x 1 
 cos x 
Đặt t cos x . Điều kiện: t 1,1 / 0. 
 2 2 2 2 3 2
 3 t 3 2t 3t 2t 3 0 2t 3t 3t 2 0 
 t2 t
 1
 t 1 (nhận) t (nhận) t 2 (loại).
 2
Với t 1 cos x 1 x k2 , k Z . 
 1 1 
Với t cos x cos x cos x k2 , k Z . 
 2 2 3 3
Vậy nghiệm của phương trình x k2 , x k2 , k Z .
 3
 5 2
4). 5sin x 3(1 cos x)cot x 2 (1)
 2 
Điều kiện sin x 0 
 5 
Ta có : sin x sin 2 x sin x cos x 
 2 2 2 
 cos2 x
 (1) 5cos x 3(1 cos x). 2 
 sin x
 cos2 x
 5cos x 3(1 cos x) 2 
 1 cos2 x
 cos2 x
 5cos x 3(1 cos x) 2 
 (1 cos x)(1 cos x)
 5cos x(1 cos x) 3cos2 x 2(1 cos x) 
 1
 2cos2 x 3cos x 2 0 cos x hoặc cos x 2 (loại)
 2
 x k2 (k ¢ ) 
 3
Kết luận nghiệm của phương trình : x k2 (k ¢ ) 
 3
 3
5). (tan x 1)sin2 x 3cos2 x sin 2x 0 (1)
 2
Điều kiện cos x 0 
 (1) (tan x 1)sin2 x 3cos2 x 2sin x.cos x 0 
Chia hai vế cho cos2 x ta được : (tan x 1)tan2 x 3 3tan x 0 tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 tan x 3 hoặc tan x 1 
 x k hoặc x k (k ¢ ) 
 3 4
Kết luận nghiệm của phương trình x k ,x k , k ¢ 
 3 4
 2 2
 sin x cos x 2sin x 2 
6). 
 2 sin x sin 3x 
 1 cot x 2 4 4 
Điều kiện sin x 0 x k , k Z 
 2 
 cos 2x sin 2x sin x 2 cos 2x sin x
 4 
 2 cos 2x sin x 2 cos 2x cos 2x 1 sin x 0
 4 4 4 
 3 k 
 2x k x 
 cos 2x 0 4 2 8 2
 4 k Z 
 sin x 1 x k2 x k2 
 2 2
Cả hai họ nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện , vậy phương trình có hai họ 
 3 k 
nghiệm x ; x k2 k Z . 
 8 2 2
Câu : Giải các phương trình sau:
 2 sin2 2x sin 3x
1). tan4 x 1 [Dự bị 3 ĐH02]
 cos4 x
 2 x 
2). tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan [Dự bị 4 ĐH02] 
 2 
 2 x 2 2 x
3). sin tan x cos 0 [ĐH D03]
 2 4 2
4). 3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0 [Dự bị 1 ĐH A03]
5). cos 2x cos x 2 tan2 x 1 2 [Dự bị 2 ĐH A03]
6). 5sin x 2 3(1 sin x)tan2 x [ĐH B04]
 2 cos 2x 1
6). tan x 3tan x [Dự bị 2 ĐH B05]
 2 cos2 x
 3 sin x
7). tan x 2 [Dự bị 1 ĐH D05]
 2 1 cos x
 x 
8). cot x sin x 1 tan x tan 4 [ĐH B06]
 2 
 1 1
9). sin 2x sin x 2cot 2x [Dự bị 1 ĐH A07]
 2sin x sin 2x sin 2x cos x
10). tan x cot x [Dự bị 2 ĐH B07]
 cos x sin x
11). (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x [Dự bị 2 ĐH D07]
 LỜI GIẢI
 2 sin2 2x sin 3x
1). tan4 x 1 (1)
 cos4 x
Điều kiện : cos x 0 
 2 2
 sin4 x 2 sin 2x sin 3x sin4 x cos4 x 2 sin 2x sin 3x
 1 1 
 cos4 x cos4 x cos4 x cos4 x
 sin4 x cos4 x (2 sin2 2x)sin 3x
 sin2 2x
 1 (2 sin2 2x)sin 3x 2 sin2 2x 2(2 sin2 2x)sin 3x
 2
 1
 (2 sin2 2x)(1 2sin 3x) 0 sin 3x hoặc sin2 2x 2 (vô nghiệm)
 2
 k2 5 k2 
 sin 3x sin x hoặc x , k ¢ 
 6 18 3 18 3
 2 x 
2). tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan (1).
 2 
 cos x 0 
 x k 
Điều kiện : x 2 ,k ¢
 cos 0 
 2 x k2 
 x x x x 
 sin xsin cos xcos sin xsin cos 
 x 2 1
Ta có: 1 tan x.tan 1 2 2 2 
 2 x x x cos x
 cos xcos cos xcos cos xcos
 2 2 2
 sin x
(1) tan x cos x cos2 x cos x(1 cos x) 0 cos x 1 
 cos x
 x k2 , k ¢ 
So với điều kiện nghiệm của phương trình x k2 , k ¢ 
 2 x 2 2 x
3). sin tan x cos 0 (1)
 2 4 2
Điều kiện : cos x 0 sin x 1
 1 sin2 x 1
 1 1 cos x 2 1 cos x 0
 2 2 cos x 2
 1 cos2 x
 1 sin x . 1 cos x 0
 1 sin2 x 1 cos x 1 cos x 
 1 sin x 1 cos x 0
 1 sin x 1 sin x 
 1 cos x 1 cos x 
 1 cos x 0
 1 sin x
 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 sin x 0
 1 cos x sin x cos x 0 1 cos x 0 hoặc sin x cos x 0
 x k2 hoặc x k , k ¢ 
 4
So với điều kiện nghiệm phương trình x k2 , x k , k ¢ 
 4
4). 3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0 (1)
Điều kiện : cos x 0
 sin x sin x 2sin xcos x 
(1) 3 6cos x 0
 cos x cos x 
 3cos2 x sin2 x 1 2cos x 6cos2 x 0
 3cos2 x 1 2cos x sin2 x 1 2cos x 0 1 2cos x 3cos2 x sin2 x 0 
 1
 cos x 
 2 1 2cos x 0 2
 1 2cos x 4cos x 1 0 
 4cos2 x 1 0 1
 cos2 x 
 4
 1 1 1 
 cos2 x 1 cos 2x cos 2x x k k ¢ 
 4 2 2 3
So với điều kiện nghiệm phương trình x k k ¢ 
 3
5). cos 2x cos x 2 tan2 x 1 2 (1)
Điều kiện : cos x 0
 2sin2 x 2sin2 x
(1) cos 2x cos x 2 cos x 2 cos 2x
 cos x cos x
 2sin2 x 2sin2 x
 cos x 1 2sin2 x 2sin2 x 1 cos x
 cos x cos x
 2 1 2
 2sin x 1 1 cos x 2(1 cos x)(1 cos x) (1 cos x)cos x
 cos x 
 2 
 1 cos x 2(1 cos x) cos x 0
 cos x 1 x k 
 cos x 1 
 , k ¢
 2 1 
 2cos x 5cos x 2 0 cos x x k2 
 2 3 
So với điều kiện nghiệm phương trình x k ,x k2 , k ¢ 
 3
6). 5sin x 2 3(1 sin x)tan2 x (1)
Điều kiện : cos x 0
 3sin2 x
(1) 5sin x 2 (1 sin x) (5sin x 2)(1 sin x) 3sin2 x
 1 sin2 x
 1
 2sin2 x 3sin x 2 0 sin x hoặc sin x 2 (loại)
 2
 1 5 
Với sin x x k2 hoặc x k2 , k ¢ 
 2 6 6
 5 
So với điều kiện nghiệm phương trình x k2 , x k2 , k ¢ 
 6 6
 2 cos 2x 1
6). tan x 3tan x 1 
 2 cos2 x
 k 
Điều kiện : sin 2x 0 2x k x , k ¢ 
 2
 2sin2 x 1
(1) cot x 3tan2 x tan2 x 0
 cos2 x tan x
 tan3 x 1 tan x 1 x k , k ¢ . 
 4
So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k , k ¢ 
 4
 3 sin x
7). tan x 2 (1)
 2 1 cos x
 3 
Ta có tan x tan x tan x cot x
 2 2 2 
 sin x cos x sin x
 (1) cot x 2 2 
 1 cos x sin x 1 cos x
Điều kiện : sin x 0
 cos x(1 cos x) sin2 x 2sin x(1 cos x) 
 cos x cos2 x sin2 x 2sin x(1 cos x)
 cos x 1 2sin x 1 cos x 
 (1 cos x) 1 2sin x 0 1 cos x 0 hoặc 1 2sin x 0
Với 1 cos x 0 cos x 1 (so với điều kiện loại).
 5 
Với 1 2sin x 0 x k2 hoặc x k2 , k ¢ 
 6 6
 5 
So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , k ¢ 
 6 6 x 
8). cot x sin x 1 tan x tan 4 (1)
 2 
 sin 2x 0
 x 1
Điều kiện : x . Ta có : 1 tan x.tan 
 cos 0 2 cos x
 2
 cos x sin x 1
(1) 4 4 2sin 2x 1
 sin x cos x sin xcos x
 5 
 x k hoặc x k , k ¢ 
 12 12
 5 
So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k , x k k ¢ 
 12 12
 1 1
9). sin 2x sin x 2cot 2x (1)
 2sin x sin 2x
Điều kiện : sin 2x 0
(1) sin2 2x sin 2xsin x cos x 1 2cos 2x
 sin2 2x 1 cos x(2sin2 x 1) 2cos 2x cos2 2x cos 2x.cos x 2cos 2x 0
 cos 2x(cos 2x cos x 2) 0 cos 2x(2cos2 x cos x 1) 0
 cos 2x 0 hoặc 2cos2 x cos x 1 0
 k 
Với cos 2x 0 x ; k ¢
 4 2
Với 2cos2 x cos x 1 0 phương trình vô nghiệm.
 k 
So với điều kiện nghiệm của phương trình x ; k ¢
 4 2
 sin 2x cos 2x
10). tan x cot x (1)
 cos x sin x
 k 
Điều kiện : sin 2x 0 2x k x , k ¢ 
 2
 cos 2x.cos x sin 2x.sin x sin x cos x cos x sin2 x cos2 x
(1) 
 sin xcos x cos x sin x sin xcos x sin xcos x
 1
 cos x cos 2x 0 2cos2 x cos x 1 0 cos x  cos x 1
 2
 1 
Với cos x x k2 , k ¢ 
 2 3
Với cos x 1 x k2 ,(k ¢ ) . So với điều kiện nghiệm này loại.
Kết luận nghiệm của phương trình x k2 , k ¢ 
 3
11). (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x (1)
Điều kiện : cos x 0 cos x sin x sin x cos x
(1) .(sin x cos x)2 
 cos x cos x
 (cos x sin x)(sin x cos x)2 cos x sin x
 (cos x sin x) (cos x sin x)(cos x sin x) 1 0
 (cos x sin x)(cos2 x sin2 x 1) 0
 (cos x sin x)(cos 2x 1) 0 cos x sin x 0  cos 2x 1 0
 3 
Với cos x sin x 0 2 cos x 0 x k , k ¢ 
 4 4
Với cos 2x 1 0 cos 2x 1 x k ,(k ¢ )
 3 
Kết luận nghiệm của phương trình x k , x k ,(k ¢ )
 4
Câu : Giải các phương trình sau:
1). tan x cot x 4cos2 2x (1) [Dự bị 1 ĐH A08]
 tan2 x tan x 2 
2). sin x (1) [Dự bị 2 ĐH D08] 
 tan2 x 1 2 4 
 1 sinx cos2x sin x 
 4 1
3). cos x (1) [ĐH A10]
 1 tanx 2
 1 sin 2x cos2x
4). 2 sin xsin 2x (1) [ĐH A11]
 1 cot2 x
 sin 2x 2cos x sinx 1
5). 0 (1) [ĐH D11] 
 tanx 3
6). 1 tan x 2 2 sin x 1 [ĐH A 2013] 
 4 
 LỜI GIẢI
1). tan x cot x 4cos2 2x (1)
Điều kiện : sin 2x 0
 cos x sin x
(1) 4cos2 2x 0
 sin x cos x
 cos 2x 2cos2 2xsin 2x 0 cos 2x sin 4x.cos 2x 0
 cos 2x(1 sin 4x) 0 cos 2x 0 hoặc sin 4x 1 .
 k k 
 x hoặc x , k ¢ .
 4 2 8 2
 k k 
So với điều kiện nghiệm của phương trình x , x , k ¢ 
 4 2 8 2 tan2 x tan x 2 
2). sin x (1) 
 tan2 x 1 2 4 
Điều kiện : cos x 0
 tan2 x tan x 1
(1) sin x cos x 
 tan2 x 1 2
 2cos2 x tan2 x tan x sin x cos x
 sin2 x sin xcos x 
 2 
 2cos x 2 sin x cos x
 cos x 
 2sin x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x 1 0
 5 
 sin x cos x 0  2sin x 1 x k  x k2  x k2 , k ¢ 
 4 6 6
So với điều kiện nghiệm của phương trình 
 5 
 x k ,x k2 ,x k2 , k ¢ 
 4 6 6
 1 sinx cos2x sin x 
 4 1
3). cos x (1)
 1 tanx 2
 x k 
 1 tan x 0 4
Điều kiện , k ¢ 
 cos x 0 
 x k 
 2
 1
 1 sinx cos2x sin x cos x cos x
 1
 1 2 cos x
 sin x cos x 2
 1 sinx cos2x 1 sin x 1 2sin2 x 0 2sin2 x sin x 1 0
 1
 sin x 1 sin x 
 2
Với sin x 1 x k2 ,k ¢ so với điều kiện nghiệm này loại.
 2
 1 7 
Với sin x x k2 hoặc x k2 , k ¢ 
 2 6 6
 7 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x k2 , k ¢ 
 6 6
 1 sin 2x cos2x
4). 2 sin xsin 2x (1)
 1 cot2 x
Điều kiện sin x 0 x k ,k ¢
 1 1 sin 2x cos 2x sin2 x 2 2 sin2 xcos x
 sin 2x 1 cos 2x 2 2 cos x 2sin xcos x 2cos2 x 2 2 cos x