Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Phần 1: Phương trình lượng giác tổng hợp (Có lời giải)

 Dạng: sin 2x cos 2x sin x cos x  0 
Biến đổi để đưa về dạng: m cos x a sin x b n a sin x b c sin x d 0 
Hoặc m sin x a cos x b n a cos x b c cos x d 0
Câu :Giải các phương trình sau:
1).8 sin6 x cos6 x 3 3 cos 2x 11 3 3 sin 4x 9sin 2x 
2). Tìm nghiệm xcủa 0phương; trình: 5cos x sin x 3 2 sin 2x 
 4 
3).9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 [DB A11]
 3 sin 2x cos 2x 5sin x 2 3 cos x 3 3
4). 1 
 2cos x 3
5). sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x 
6). 2 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 2 cos x 4 0 
7). 2 sin 2x sin x 3cos x 2 
 4 
8). cos 4x 3sin 4x 9cos 2x 3sin 2x 5 0 
 LỜI GIẢI
1).8 sin6 x cos6 x 3 3 cos 2x 11 3 3 sin 4x 9sin 2x 
 LỜI GIẢI
 3 2 
 8 1 sin 2x 3 3 cos 2x 11 6 3 sin 2xcos 2x 9sin 2x 
 4 
Phân phối, chuyển vế phải sang vế trái sau đó rút gọn ta được:
 6sin2 2x 9sin 2x 3 3 3 cos 2x 6 3 sin 2xcos 2x 0 
 2sin2 2x 3sin 2x 1 3 cos 2x 2 3 sin 2xcos 2x 0 
 2 2
Chú ý: ax bx c a x x1 x x2 với x1 ,x2 là nghiệm của ax bx c 0
Áp dụng: 2sin2 2x 3sin 2x 1 sin 2x 1 2sin x 1 
 sin 2x 1 2sin x 1 3 cos 2x sin 2x 1 0 
 2sin 2x 1 sin 2x 1 3 cos 2x 0 
 2sin 2x 1 0  sin 2x 3 cos 2x 1 0 
 1 5 
Với 2sin 2x 1 0 sin 2x x k hoặc x k , k Z 
 2 12 12
 1 3 1 
Với sin 2x 3 cos 2x 1 s in 2x cos 2x sin 2x sin .
 2 2 2 3 6
 7 
 x k hoặc x k , k ¢ 
 4 12 5 7 
Nghiệm phương trình: x k , x k , x k , x k k ¢ 
 12 12 4 12
2). Tìm nghiệm xcủa 0phương; trình: 
5cos x sin x 3 2 sin 2x 
 4 
 LỜI GIẢI
Ý tưởng: Biến đổi vế phải thành sin2x và cos2x , sau đó biến đổi thành 
tích...
 5cos x sin x 3 sin 2x cos 2x 
 5cos x sin x 3 sin 2x 2cos2 x 1 
 2cos2 x 5cos x 2 2sin xcos x sin x 0 
Chú ý: 2cos2 x 5cos x 2 2cos x 1 cos x 1 
 2cos x 1 cos x 1 sin x 2cos x 1 0 
 2cos x 1 cos x sin x 2 0 2cos x 1 0  cos x sin x 2 0 
 x k2 
 1 
Với 2cos x 1 0 cos x cos x cos 3 m,k Z . 
 2 3 
 x m2 
 3
Với cos x sin x 2 0 2 cos x 2 cos x 2 (vô nghiệm)
 4 4 
 2 1 1
 0 k2 k2 k 
 3 3 3 6 3 k 0
Vì x 0; 
 4 1 2 m 0
 0 m2 m2 m 
 3 3 3 6 3
Kết luận nghiệm của phương trình: x . 
 3
3). 9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 (1)
 6cos x 6sin xcos x 1 2sin2 x 9sin x 8 0
 6cos x sin x 1 2sin2 x 9sin x 7 0
 6cos x sin x 1 sin x 1 2sin x 7 0
 sin x 1 6cos x 2sin x 7 0
 sin x 1 0  6cos x 2sin x 7 0
Với sin x 1 0 sin x 1 x k2 ,k ¢
 2
Với 6cos x 2sin x 7 0 phương trình vô nghiệm (vì 62 22 72 )
Nghiệm của phương trình là: x k2 ,k ¢
 2 3 sin 2x cos 2x 5sin x 2 3 cos x 3 3
4). 1 ( )
 2cos x 3
 5 
Điều kiện 2cos x 3 0 x k2 
 6
 ( ) 3 sin 2x cos 2x 5sin x 2 3 cos x 3 3 2cos x 3
 3 sin 2x cos 2x 5sin x 3 cos x 3 0
 3 sin 2x 3 cos x cos 2x 5sin x 3 0
 3 cos x 2sinx 1 2sin2 x 5sin x 2 0
 3 cos x 2sinx 1 2sinx 1 sin x 2 0
 2sinx 1 3 cos x sin x 2 0 2sinx 1 0 hoặc 3 cos x sin x 2 0
 5 
 x k2 hoặc x k2 ,k ¢
 6 6
So với điều kiện nghiệm của phương trình x k2 
 6
5). sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x ( )
 ( ) sin 2x sin x 2cos 2x 4cos x 1 0
 sin 2x sin x 4cos2 x 4cos x 3 0
 sin x 2cos x 1 2cosx 3 2cos x 1 0 2cos x 1 sin x 2cos x 3 0
 2cos x 1 0 hoặc sin x 2cos x 3 0 (vô nghiệm, vì 12 22 32 )
 x k2 ,k ¢ 
 3
Kết luận: Các tập nghiệm cần tìm x k2 ,k ¢
 3
6). 2 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 2 cos x 4 0 ( )
 ( ) 2 2 sin 2x 2 2 cos x cos 2x 7 sin x 4 0
 2 2 cos x 2sin x 1 2sin2 x 7 sin x 3 0
 2 2 cos x 2sin x 1 sin x 3 2sin x 1 0
 2sin x 1 2 2 cos x sin x 3 0 2sin x 1 hoặc 2 2 cos x sin x 3 .
 5 
Với 2sin x 1 x k2 hoặc x k2 ,k ¢
 6 6
Với 2 2 cos x sin x 3 cos x 1 x k2 ,k ¢ 2 2 1
(với cos và sin ).
 3 3
 5 
Kết luận: Các tập nghiệm cần tìm x k2 , x k2 , x k2 ,k ¢
 6 6
7). 2 sin 2x sin x 3cos x 2 ( )
 4 
 ( ) sin 2x cos 2x sin x 3cos x 2 sin 2x sin x cos 2x 3cos x 2 0
 sin x 2cos x 1 2cos2 x 3cos x 1 0
 sin x 2cos x 1 cos x 1 2cos x 1 0
 2cos x 1 sin x cos x 1 0 2cos x 1 hoặc sin x cos x 1 .
 2cos x 1 hoặc sin x cos x 1
 x k2 hoặc x k2 hoặc x k2 ,k ¢ .
 3 2
Kết luận: Các tập nghiệm cần tìmx k2 , x k2 , x k2 ,k ¢
 3 2
8). cos 4x 3sin 4x 9cos 2x 3sin 2x 5 0 
 2cos2 2x 1 6sin 2x.cos 2x 9cos 2x 3sin 2x 5 0
 6sin 2x.cos 2x 3sin 2x 2cos2 2x 9cos 2x 4 0
 3sin 2x 2cos 2x 1 2cos 2x 1 cos 2x 4 0
 2cos 2x 1 3sin 2x 2cos 2x 4 0
 2cos 2x 1 0 hoặc 3sin 2x 2cos 2x 4 0
 1 
Với 2cos 2x 1 0 cos 2x x k ,k ¢
 2 3
Với 3sin 2x 2cos 2x 4 0 . Phương trình vô nghiệm (vì ( 3)2 22 42 ).
1.30: Giải các phương trình :
1). 1 sin x sin x cos x cos x 
2). 1 sin x sin 2x cos x cos 2x 0 
3). sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos x3x 
4). sin 2x 2cos x 3 sin x 3 1 
 LỜI GIẢI
1). 1 sin x sin x cos x cos x 1 
 1 1 sin x sin xcos x cos2 x 
 1 cos2 x sin x sin xcos x 0 sin2 x sin x sin xcos x 0
 sin x sin x 1 cos x 0 sin x 0  sin x cos x 1 Với sin x 0 x k k ¢ 
Với sin x cos x 1 2 sin x 1 x k2 hoặc x k2 , k ¢ .
 4 2
Nghiệm phương trình x k2 , x k2 , k ¢ .
 2
2). 1 sin x sin 2x cos x cos 2x 0
 sin x sin 2x cos x 1 cos 2x 0 sin x 2sin xcos x cos x 2cos2 x 0 
 sin x 2sin xcos x cos x 2cos2 x 0
 sin x 1 2cos x cos x 1 2cos x 0
 1 2cos x sin x cos x 0 1 2cos x 0  sin x cos x 0
 1 2 2 
Với 1 2cos x 0 cos x cos x k2 . 
 2 3 3
Với sin x cos x 0 2 sin x 0 x k k z 
 4 4
3). sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos x3x 
 sin 3x sin x sin 2x cos 3x cos x cos 2x
 2sin 2x.cos x sin 2x 2cos 2x.cos x cos 2x
 sin 2x 2cos x 1 cos 2x 2cos x 1 
 2cos x 1 sin 2x cos 2x 0 2cos x 1 0  sin 2x cos 2x 0
 1 2 
Với 2cos x 1 0 cos x x k2 
 2 3
 k 
Với sin 2x cos 2x 0 2 sin 2x 0 x , k ¢ 
 4 8 2
 2 k 
Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 ,x , k ¢ 
 3 8 2
4). sin 2x 2cos x 3 sin x 3 1 
 1 2sin xcos x 2cos x 3 sin x 3 0 
 2cos x sin x 1 3 sin x 1 0 sin x 1 2cos x 3 0
 3 
 sin x 1 hoặc cos x x k2 hoặc x k2 , k ¢ 
 2 2 6
Nghiệm phương trình x k2 , x k2 , k ¢ 
 2 6
1.31: Giải các phương trình:
 3x
1). cos 2x cos x 2sin2 
 2 cos 2x 1 cos 2x sin 2x
2). sin x cos x 3). 
 1 sin 2x cos x 1 cos 2x
4). sin2 4x sin2 3x sin2 2x sin2 x 5).
 sin2 x sin2 3x cos2 2x cos2 4x 
 LỜI GIẢI
 3x 1 cos 3x
1). cos 2x cos x 2sin2 cos 2x cos x 2. 
 2 2
 cos 2x cos x 1 cos 3x cos 3x cos x cos 2x 1 0 
 2sin 2xsin x 1 cos 2x 0 2sin 2xsin x 2sin2 x 0
 2sin x sin 2x sin x 0 2sin x 2sin xcos x sin x 0 
 2sin2 x 2cos x 1 0 sin x 0  2cosx + 1 = 0
Với sin x 0 x k k ¢ 
 1 2 
Với 2cos x 1 0 cos x x k2 k ¢ . 
 2 3
 2 
Vậy nghiệm của phương trình x k , x k2 k ¢ .
 3
 cos 2x
2). sin x cos x 1 
 1 sin 2x
Điều kiện: 1 sin 2x 0 sin 2x 1 2x k2 x k k ¢ 
 2 4
 cos2 x sin2 x sin x cos x cos x sin x 
 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2
 sin x cos x cos x sin x 
 sin x cos x
 sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x
 cos x sin x
 sin x cos x cos x sin x 1 0 sin x cos x 0  cos x sin x 1 0
Với sin x cos x 0 2 sin x 0 x k x k 
 4 4 4
 1 
Với cos x sin x 1 0 2 cos x 1 cos x cos 
 4 4 2 4
 x k2 x k2 
 4 4 
 k ¢ 
 x k2 
 x k2 2
 4 4
So với điều kiện nghiệm phương trình:
 x k ,x k2 ,x k2 , k ¢ 
 4 2
 1 cos 2x sin 2x
3). 1 
 cos x 1 cos 2x 
 cos x 0 cos x 0 x k x k 
Điều kiện: 2 2 k ¢ 
 1 cos 2x 0 cos 2x 1 
 2x k2 x k 
Sử dụng công thức nhân đôi 
 sin 2x 2sin xcos x, 1 cos 2x 2sin2 x, 1 cos 2x 2cos2 x
 2cos2 x 2sin xcos x cos x
 1 2cos x 2cos xsin x cos x (vì cos x 0 )
 cos x 2sin2 x sin x
 1 5 
 2sin x 1 sin x sin x sin x k2  x= k2 k z 
 2 6 6 6
4). sin2 4x sin2 3x sin2 2x sin2 x 1 
Ý tưởng: Có bình phương ta hạ bậc, sau đó biến đổi tổng thành tích, và đặt 
nhân tử chung...
 1 cos8x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 2x
 1 
 2 2 2 2
 cos8x cos6x cos 4x cos 2x 2cos7x.cos x 2cos 3x.cos x
 cos x cos7x cos 3x 0 cos x 0  cos7x cos 3x 0
Với cos x 0 x k k ¢ 
 2
 k k 
Với cos7x cos 3x 0 cos7x cos 3x x hoặc x , k ¢ 
 2 5
 k k 
Kết luận nghiệm của phương trình: x k , x , x , k ¢ 
 2 2 5
5). sin2 x sin2 3x cos2 2x cos2 4x (1)
 1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos8x
 1 
 2 2 2 2
 cos6x cos 2x cos8x cos 4x 2cos 4x.cos 2x 2cos6x.cos 2x
 2cos 2x cos6x cos 4x 0 4cos 2x.cos 5x.cos x 0
 cos 2x 0 hoặc cos 5x 0 hoặc cos x 0
 k k 
 x hoặc x hoặc x k , k ¢ 
 4 2 10 5 2
 k 
Kết luận nghiệm của phương trình: x k ,x ,x k , k ¢ 
 4 10 5 2
1.33: Giải các phương trình:
1). 1 sin2 x .cos x 1 cos2 x .sin x 1 sin 2x 
2). sin3 x 3 cos3 x sin x.cos2 x 3 sin2 x.cos x 
3). sin 2x cos 2x .cos x 2cos 2x sin x 0 
4). sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0 
 LỜI GIẢI 1). 1 sin2 x .cos x 1 cos2 x .sin x 1 sin 2x 1 
 1 cos x sin2 x.cos x sin x cos2 x.sin x 1 sin 2x
 2
 sin x cos x sin x.cos x sin x cos x sin x cos x 
 sin x cos x 1 sin x.cos x sin x cos x 0
 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x 0
 sin x cos x 1 sin x 1 cos x 0
 x k x k 
 2 sin x 0 4 4
 sin x cos x 0 4 
 1 sin x 0 sin x 1 x k2 x k2 k ¢ 
 2 2
 1 cos x 0 cos x 1 x k2 x k2 
Vậy nghiệm của phương trình: x k ,x k2 ,x k2 , k ¢ 
 4 2
2). sin3 x 3 cos3 x sin x.cos2 x 3 sin2 x.cos x 1 
 1 sin3 x sin x.cos2 x 3 cos3 x 3 sin2 x.cos x 0 
 sin x sin2 x cos2 x 3 cos x cos2 x sin2 x 0
 sin x.cos 2x 3 cos x.cos 2x 0
 cos 2x sin x 3 cos x 0 cos 2x 0  sinx+ 3 cos x 0.
 k 
Với: cos 2x 0 2x k x 
 2 4 2
 1 3
Với: sin x 3 cos x 0 sin x cos x 0 
 2 2
 sin x.cos cos x.sin 0 sin x 0 x k k ¢ 
 3 3 3 3
 k 
Kết luận nghiệm của phương trình: x ; x k k ¢ 
 4 2 3
3). sin 2x cos 2x .cos x 2cos 2x sin x 0 1 
 1 sin 2x.cos x cos 2x.cos x 2cos 2x sin x 0 
 2sin x.cos2 x sin x cos 2x cos x 2 0
 sin x 2cos2 x 1 cos 2x cos x 2 0
 sin x.cos 2x cos 2x cos x 2 0
 cos 2x sin x cos x 2 0 cos 2x 0  sinx + cosx + 2 = 0 k 
Với: cos 2x 0 2x k x k ¢ 
 2 4 2
Với: sin x cos x 2 0 2 sin x 2 sin x 2 (vô nghiệm).
 4 4 
 k 
Kết luận nghiệm của phương trình: x k ¢ 
 4 2
4). sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0 1 
 1 2sin xcos x 1 2sin2 x 3sin x cos x 1 0 
 2sin xcos x cos x 2sin2 x 3sin x 2 0
 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0
 2sin x 1 cos x sin x 2 0
Với sin x cos x 2 0 ( vô nghiệm )
 1 5 
Với: 2sin x 1 0 sin x x k2 hoặc x k2 k ¢ 
 2 6 6
 5 
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k ¢ .
 6 6
1.32: Giải các phương trình:
1). tan x tan 2x sin 3x.cos x 2). cos2 x sin2 x sin 3x cos 4x 
 1
3). 2sin3 x cos 2x sin x 4). sin x.sin 2x.sin 3x sin 4x 
 4
 LỜI GIẢI
1). tan x tan 2x sin 3x.cos x 1 
 x k 
 cos x 0 2
Điều kiện: k ¢ 
 cos 2x 0 k 
 x 
 4 2
 sin x sin 2x
 1 sin 3x.cos x , quy đồng mẫu hai vế ta được:
 cos x cos 2x
 sin x.cos 2x sin 2x.cos x sin 3x.cos2 x.cos 2x
Vì sin x.cos 2x sin 2x.cos x sin 3x
 sin 3x sin 3x.cos2 x.cos 2x sin 3x cos2 x.cos 2x 1 0
 sin 3x 0  cos2 x.cos 2x 1 0
 k 
Với sin 3x 0 3x k x k ¢ 
 3
 1 cos 2x
Với cos2 x.cos 2x 1 0 .cos 2x 1 0 cos2 2x cos 2x 2 0 
 2
 cos 2x 1  cos 2x 2 (loại) 2x k2 x k k ¢ k 
So với điều kiện nghiệm của phương trình: x , x k k ¢ 
 3
2). cos2 x sin2 x sin 3x cos 4x 1 
 1 cos 2x sin 3x cos 4x sin 3x cos 4x cos 2x 0 
 sin 3x 2sin 3x.sin x 0 sin 3x 1 2sin x 0 sin 3x 0  1 2sin x 0
 k 
Với: sin 3x 0 3x k x k ¢ 
 3
 1 5 
Với: 1 2sin x 0 sin x x k2 hoặc x k2 , k ¢ 
 2 6 6
 k 5 
Vậy nghiệm của phương trình: x , x k2 ,x k2 , k ¢ 
 3 6 6
3). 2sin3 x cos 2x sin x 1 
 1 2sin3 x sin x cos 2x 0 sin x 2sin2 x 1 cos 2x 0
 cos 2x.sin x cos 2x 0 cos 2x sin x 1 0
 k 
 cos 2x 0 sin x 1 x x k2 , k ¢ 
 4 2 2
 k 
Vậy nghiệm của phương trình: x , x k2 , k ¢ 
 4 2 2
 1
4). sin x.sin 2x.sin 3x sin 4x 1 
 4
 1
 1 sin x.sin 2x.sin 3x sin 2x.cos 2x 
 2
 1 1
 cos 2x cos 4x .sin 2x sin 2x.cos 2x
 2 2
 sin 2x cos 2x cos 4x cos 2x 0 sin 2x.cos 4x 0 sin 2x.cos 4x 0
 k k 
 sin 2x 0 hoặc cos 4x 0 x hoặc x , k ¢ 
 2 8 4
 k k 
Vậy nghiệm của phương trình: x ,x , k ¢ 
 2 8 4
1). sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x (1) [ĐH B02] 
2). Tìm x 0;14 : cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 [ĐH D02]
3). 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x [ĐH D04]
4). 1 sin x 1 cos x 1 [Dự bị 2 ĐH 
A04]
5). sin 4xsin7x cos 3xcos6x [Dự bị 1 ĐH D04]
6). cos2 3xcos 2x cos2 x 0 [ĐH A05] 
7). 1 sin cos x sin 2x cos 2x 0 [ĐH B05]