Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 4: Phương trình tiếp tuyến (Có lời giải)

 I – Kiến thức cần nhớ
 Phương trình tiếp tuyến của C : y f x tại điểm M xo ; yo có dạng: 
 : y k x xo yo
 Với k y' xo là hệ số góc tiếp tuyến. 
   
 ¾ ¾ ¾® Để viết phương trình tiếp tuyến , ta 
  
 cần tìm ba thành phần xo , yo , k
 Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f x và C2 : y g x tiếp xúc 
 f x g x 
nhau hệ có nghiệm (nhớ: "hàm hàm, đạo đạo")
 f ' x g' x 
II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
 Viết PTTT của C : y f x , biết có hệ số góc k cho trước
 Gọi M xo ; yo là tiếp điểm. Tính y' y' xo .
 Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k y' xo k i 
 Giải i tìm được xo  yo f xo  : y k x xo yo .
 Lưu ý. Hệ số góc k y'(xo ) của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như 
sau:
 Phương trình tiếp tuyến // d : y ax b k a .
 1
 Phương trình tiếp tuyến  d : y ax b k .
 a
 Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc k tan .
 k a
 Phương trình tiếp tuyến tạo với d : y ax b góc tan 
 1 k.a
 Viết PTTT của C : y f x , biết đi qua (kẻ từ) điểm A xA ; yA 
 Gọi M xo ; yo là tiếp điểm. Tính yo f xo và k y' xo theo xo .
 Phương trình tiếp tuyến tại M xo ; yo là : y k x xo yo .
 Do A xA ; yA yA k xA xo yo i 
 Giải phương trình i  xo  yo và k  phương trình .
 Viết PTTT của C : y f x , biết cắt hai trục tọa độ tại A và B 
sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
 Gọi M(xo ; yo ) là tiếp điểm và tính hệ số góc k y'(xo ) theo xo .
 OAB vuông cân tạo với Ox một góc 45o và O i 
 Đề cho 
 S OAB S OA.OB 2S ii 
 Giải i hoặc ii  xo  yo ; k  phương trình tiếp tuyến .  Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c 0 mà từ đó vẽ được 
1,2,3,...,n tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y f x 
 Gọi M xM ; yM d : ax by c 0 (sao cho có một biến xM trong M)
 PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM .
 f x k x xM yM i 
 Áp dụng điều kiện tiếp xúc: 
 f ' x k ii 
 Thế k từ ii vào i , được: f x f ' x . x xM yM iii 
 Số tiếp tuyến của C vẽ từ M số nghiệm x của iii .
 Tìm những điểm M xM ; yM mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ 
thị hàm số C : y f x và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau
 PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM .
 f x k x xM yM i 
 Áp dụng điều kiện tiếp xúc: 
 f ' x k ii 
 Thế k từ ii vào i , được: f x f ' x . x xM yM iii 
 Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C iii có hai nghiệm phân biệt 
x1 ,x2 .
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau k1.k2 1 y' x1 .y' x2 1 .
 Lưu ý. 
 Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai 
 iii có: hai nghiệm phân biệt x ,x .
phía với trục hoành thì 1 2
 f x1 .f x2 0.
 Đối với bài toán tìm điểm M C : y f x sao cho tại đó tiếp tuyến 
song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi 
M xo ; yo và là tiếp tuyến với k f ' xo . Rồi áp dụng k f ' xo kd nếu 
cho song song và f ' xo .kd 1 nếu cho vuông góc xo yo M xo ; yo .
 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Cho đường cong C : y f x x3 3x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của 
 C trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm M0 1 ; 2 . b) Tại điểm thuộc C và có hoành độ x0 1 .
c) Tại giao điểm của C với trục hoành . 
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1 ; 4 .
 LỜI GIẢI
Ta có f '(x) 3x2 6x
a). Ta có f '(x0 ) f '(1) 3
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1 ; 2 : y f '(x0 )(x x0 ) y0
 y 3 x 1 3 y 3x
b). Ta có x0 1 y0 4,f ' x0 9
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N 1; 4 là y f '(x0 )(x x0 ) y0
y 9 x 1 4 y 9x 5 .
c). Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục hoành: 
 3 2 x 0
x 3x 0 
 x 3
Với x0 0 y0 0,f '(x0 ) f '(0) 0
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;0 là y f '(x0 )(x x0 ) y0 y 0
Với x0 3 y0 0,f '(x0 ) f '(3) 9
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 3;0 là y f '(x0 )(x x0 ) y0 
 y 9 x 3 y 9x 27 .
d). Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua 
điểm A
 3 2 2
Vì điểm x0 ; y0 C y0 x0 3x0 , và f ' x0 3x0 6x0
 2 3 2
Phương trình d: y f '(x0 )(x x0 ) y0 y 3x0 6x0 x x0 x0 3x0 
 2 3 2
Vì A 1; 4 d nên: 3x0 6x0 1 x0 x0 3x0 4
 3
 2x0 6x0 4 0 x0 2  x0 1
Với x0 2 y0 4,f ' 2 0 , phương trình tiếp tuyến y 4
Với x0 1 y0 4,f ' 1 9 , phương trình tiếp tuyến 
y 9 x 1 4 y 9x 5
 3x 1
Cho đường cong C : y .
 1 x
a). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : x 4y 21 0 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với 
đường thẳng ( ) : 2x 2y 9 0 .
c). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 
:
 (d) : x 2y 5 0 một góc 300 .
 4
Tập xác định . Ta có 
 D R\{1} y' f ' x 2
 1 x 
 1 21 1
a). Có d : x 4y 21 0 y x k 
 4 4 d 4
 1
Vì tiếp tuyến song song với d nên k k .
 tt d 4
Gọi M x0 ,y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 ktt 
 4 1 2
 x 1 16 x 5  x 3
 2 4 0 0 0
 1 x0 
Với x0 5 y0 4 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 
 1 1 21
y f '(x )(x x ) y y x 5 4 y x (loại, vì trùng với d).
 0 0 0 4 4 4
Với x0 3 y 2 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 
 1 1 5
y f '(x )(x x ) y y x 3 2 y x .
 0 0 0 4 4 4
 9
b). : 2x 2y 9 0 y x k 1
 2 
Vì tiếp tuyến vuông góc với nên, ktt .k 1 ktt 1
Gọi N x0 ,y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 ktt 
 4 2
  .
 2 1 x0 1 4 x0 3 x0 1
 1 x0 
Với x0 3 y 5 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 
y f '(x0 )(x x0 ) y0 y 1 x 3 5 y x 2
Với x0 1 y 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 
y f '(x0 )(x x0 ) y0 y 1 x 1 1 y x 2 .
 1 5 1
c). (d) : x 2y 5 0 y x k 
 2 2 d 2
 k k
Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 300, nên có tt d tan300
 1 ktt kd 1
 2 2
 ktt 
 2 1 1 1 11 2 1
 3 ktt 1 ktt ktt 4ktt 0
 1 2 2 4 4
1 k 3 
 2 tt
 x2 x 2
Cho hàm số y f(x) C 
 x 1
a). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 1 .
LỜI GIẢI
 x2 2x 1
Ta có: f '(x) 
 (x 1)2
a). Ta có x0 2 f '(x0 ) f '(2) 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là y f ' x0 x x0 y0
 y 1 x 2 4 y x 6
b). Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có f ' x0 1
 x 2 2x 1
 0 0 (vô lý). 
 2 1 1 1
 (x0 1)
Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.
Cho hàm số (C): y 1 x x2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
 1
a) Tại điểm có hoành độ x .
 0 2
b) Song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0. 
 LỜI GIẢI
 1 5 1 5 1 2x
Tập xác định D ; . Ta có f ' x 
 2 2 2 1 x x2
 1 1 1 1 1 
a). Với x0 y0 1 ,f ' x0 f ' 2
 2 2 4 2 2 
 1 1 
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ; là y f ' x0 x x0 y0
 2 2 
 1 1 3
y 2 x y 2x .
 2 2 2
 1 1
b). Ta có (d) : x 2y 0 y x k 
 2 d 2 1
Vì tiếp tuyến song song với d nên, k k . Gọi x là hoành độ tiếp 
 tt d 2 0
điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có 
 1 1 2x0 1 2 1 2x0 0
f ' x0 1 2x0 1 x0 x0 
 2 2 2 x 0  x 1
 2 1 x0 x0 0 0
So với điều kiện x0 0 (nhận), x0 1 (loại)
Với x0 0 y0 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;1 là: 
 1 1
y x 0 1 y x 1 .
 2 2
Cho hàm số y x3 3x2 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị 
 C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
 LỜI GIẢI
Ta có y' f ' x 3x2 6x 9
 2
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f ' x0 3x0 6x0 9
 2 2 2
Ta có 3x0 6x0 9 3 x0 2x0 1 12 3 x0 1 12 12,x0 C 
Vậy min f ' x0 12 tại x0 1 y0 16 
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 12 x 1 16 y 12x 4 
 x 2
Cho hàm số y 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
 2x 3
(1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân 
biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) .
LỜI GIẢI
 3 1
Tập xác định . Ta có 
 D R\  y' f ' x 2
 2  2x 3 
Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác 
OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 450.
 0
Vậy có ktt tan 45 ktt 1
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 1
 1
Với (phương trình vô nghiệm).
 f ' x0 1 2 1
 2x0 3 
 1 2
Với  
 f ' x0 1 2 1 2x0 3 1 x0 1 x0 2
 2x0 3 Với x0 1 y0 1 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này 
y 1 x 1 1 y x . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc 
tọa độ nên không tạo thành được tam giác.
Với x0 2 y0 0 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này 
y 1 x 2 y x 2
Cho hàm số y x3 3mx2 m 1 x 1 1 , m là tham số thực. Tìm các giá trị 
của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi 
qua điểm A 1; 2 . (Dự bị A1 - 2008)
 LỜI GIẢI
Tập xác định D R
y' f '(x) 3x2 6mx m 1
Với x0 1 y0 2m 1 , f '( 1) 5m 4
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 2m 1 : y 5m 4 x 1 2m 1 
(d).
 5
Ta có A 1; 2 (d) 5m 4 .2 2m 1 2 m .
 8
 3x 1
Cho hàm số y 1 . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa 
 x 1
độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M 2; 5 .(Dự bị D1 - 
2008)
 LỜI GIẢI
 2
Tập xác định . Có .
 D R\ 1 y' 2
 x 1 
Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M 2; 5 : y 2 x 2 5 y 2x 9
 9 9 
Gọi A là giao điểm của d và trục hoành yA 0 xA , vậy A ;0 
 2 2 
Gọi B là giao điểm của d và trục tung xB 0 yB 9 , vậy B 0;9 .
 1 1 9 81
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên S OA.OB 9 
 OAB 2 2 2 4
Cho hàm số y 3x3 4 C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3y 6 0 góc 300 .
 LỜI GIẢI
Tập xác định D R . Ta có y' 3 3x2 3 3
 d : 3y x 6 0 y x 2 3 k 
 3 d 3
 k k
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 300 nên thỏa tt d tan300
 1 ktt kd
 3
 2 2
 ktt 
 3 1 3 3 2
 3 ktt 1 ktt ktt 3ktt 0 ktt 0  ktt 3
 3 3 3 3 
1 k 
 3 tt
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
 2
Với ktt 0 3 3x0 0 x0 0 y0 4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0 
; 4): y 4 .
 2 2 1 1
Với ktt 3 3 3x0 3 x0 x0 
 3 3
 1 13 1 13
Với x0 y0 , phương trình tiếp tuyến y 3 x 
 3 3 3 3
 10
 y 3x .
 3
 1 11 1 11
Với x0 y0 , phương trình tiếp tuyến y 3 x 
 3 3 3 3
 14
 y 3x .
 3
Cho hàm số y x3 3x2 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị 
 C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
 LỜI GIẢI
Tập xác định D R . Ta có y' 3x2 6x 9
 2
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 3x0 6x0 9
 2 2
 f ' x0 3 x0 2x0 1 12 3 x0 1 12 12
Từ đó suy ra maxf ' x0 12 tại x0 1 .
Với x0 1 y0 16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm: 
y 12 x 1 16 y 12x 4
 2x 1
Cho hàm số y C . Gọi I 1 ; 2 . Tìm điểm M C sao cho tiếp 
 x 1
tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng IM .(Dự bị B2 - 2003)
 LỜI GIẢI 1
Tập xác định . Ta có 
 D R y' 2
 x 1 
 2x0 1
Gọi M x0 ,y0 C y0 
 x0 1
  2x 1  1 1
Ta có IM x 1; 0 2 IM x 1; k 
 0 x 1 0 x 1 IM 2
 0 0 x0 1 
 1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M 
 ktt f ' x0 2
 x0 1 
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có ktt .kIM 1
 1
  
 4 1 x0 1 1 x0 0 x0 2
 x0 1 
Vậy có 2 điểm M1 0;1 ,M2 2; 3 thỏa yêu cầu bài toán.
 2x
Cho hàm số y C . Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến của C tại M cắt 
 x 1
 1
hai trục tọa độ tại A ,B và tam giác OAB có diện tích bằng .(Khối D - 2007)
 4
 LỜI GIẢI
 2
Tập xác định D R\ 1 . Ta có y' 
 (x 1)2
 2x0
Gọi M x0 ; y0 C y0 
 x0 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f ' x0 x x0 y0
 2 2x 2 2x2
 y x x 0 y x 0 d 
 2 0 2 2
 (x0 1) x0 1 (x0 1) (x0 1)
 2 2
Gọi A là giao điểm của d và trục Ox, có yA 0 x x0 . Vậy A x0 ;0 
 2x2
Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có 0 . Vậy 
 xB 0 yB 2
 (x0 1)
 2x2 
B 0; 0 
 2 
 (x0 1) 
 1 1 1
Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có: S OA.OB 
 OAB 4 2 4
 2x2 1 2x2 x 1 2x2 x 1 0
 x2 . 0 4x2 (x 1)2 0 0 0 0
 0 2 0 0 2 2
 (x0 1) 2 2x0 x0 1 2x0 x0 1 0 2
Với 2x0 x0 1 0 phương trình vô nghiệm.
 1
Với 2x2 x 1 0 x 1 x 
 0 0 0 0 2
 1 1 
Với x0 1 ta có M 1;1 . Với x0 ta có M ; 2 
 2 2 
 1 
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M 1;1 , M ; 2 
 2 
 1 3 2 4 4 
 (*) Cho hàm số y x 2x 3x C . Qua điểm A ; có thể kẻ được 
 3 9 3 
mấy tiếp tuyến đến đồ thị C . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .
LỜI GIẢI
 1 x2
Cho hai hàm số y và y . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
 x 2 2
của các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến 
trên.
LỜI GIẢI
 3x 1
Cho hàm số : y C .
 1 x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1 ; 1 ;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục hoành;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của C bết tiếp tuyến song song với đường 
thẳng d : 4x y 1 0 ;
e) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng : 4x y 8 0 .
LỜI GIẢI
 1 2
Tìm các điểm trên đồ thị C : y x3 x mà tiếp tuyến tại đó vuông góc 
 3 3
 1 2
với đường thẳng y x .
 3 3
 LỜI GIẢI
Tập xác định D ¡ . Ta có y' x2 1