Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 3: Vi phân. Đạo hàm cấp cao (Có đáp án)

 CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM
 BÀI 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Trình bày được định nghĩa vi phân.
 + Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.
 + Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,, cấp n.
 ❖ Kĩ năng
 + Tính được vi phân của hàm số f x tại x0 cho trước. 
 + Tìm vi phân của hàm số f x .
 + Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.
 + Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,., cấp n.
 + Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan 
 đến đạo hàm cấp 2,3.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
 Vi phân
 Cho hàm số y f x xác định trên a;b và có đạo hàm tại Nếu chọn hàm số y x thì ta 
x a;b . Gọi x là số gia của x . có dy dx 1. x x .
 Do vậy ta thường kí hiệu 
 Ta gọi tích f x . x là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số 
 x dx và dy f x dx .
gia x . Kí hiệu df x hoặc dy , tức là
 dy df x f x . x .
 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
 Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là
 f x0 x f x0 f x0 . x.
 Đạo hàm cấp cao
 + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f . Nếu f cũng có 
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được 
kí hiệu là f , tức là f f .
 + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1 
 n 1 n 1 
( với n ¥ ,n 2 ) là f . Nếu f cũng có đạo hàm thì đạo hàm 
 n 
của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f , tức là 
 n n 1 
f f .
 + Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
 Đạo hàm cấp hai s t là gia tốc tức thời của chuyển động s s t 
tại thời điểm t .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính vi phân
Bài toán 1. Tìm vi phân của hàm số
 Phương pháp giải
 Trang 2 Ví dụ. Cho hàm số y x3 3x2 2x 7
 a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1,ứng với 
 số gia x 0, 02 .
 b) Tìm vi phân của hàm số.
 Hướng dẫn giải
a) Tính vi phân của hàm số f x tại x cho trước: 
 0 a) Ta có y f x 3x2 6x 2 .
- Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .
 Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0 1,ứng với 
- Vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x là 
 0 số gia x 0,02 là
df x f x . x . 2
 0 0 df 1 f 1 . x 3.1 6.1 2 .0,02 0,14 .
b) Tìm vi phân của hàm số f x .
 b) dy f x . x 3x2 6x 2 dx .
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Vi phân của hàm số dy df x f x . x .
 Ví dụ mẫu
 3 2
 Ví dụ 1. Cho hàm số y x 4x 5. Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1, ứng với số gia 
 x 0,02 .
 Hướng dẫn giải
 2
 Ta có y f x 3x 4x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0 1,ứng với số gia x 0,02 là 
 df 1 f 1 . x 3.12 4.1 .0,02 0,02 .
 x
 Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số y 
 x2 1
 Hướng dẫn giải
 x x2 1 2x2 x2 1 x2 1
 Ta có y 2 2 2 dy y dx 2 dx .
 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 
Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số
 Phương pháp giải
 Để tính gần đúng giá trị của hàm số f x Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của 49,25 (lấy 5 
 chữ số thập phân trong kết quả).
 tại điểm x x0 x cho trước, ta áp dụng 
 Hướng dẫn giải
 công thức f x0 x f x0 f x0 . x .
 Ta có 49,25 49 0,25 .
 1
 Xét hàm số f x x f x .
 2 x
 Trang 3 Chọn x0 49 và x 0,25 , ta có
 f x0 x f x0 f x0 . x
 1
 49 0,25 49 .0,25 7 0,01786
 2 49
 7,01786
 Vậy 49 0,25 7,01786 .
 Ví dụ mẫu
 1
 Ví dụ 1. Tính gần đúng .
 0,9995
 Hướng dẫn giải
 1 1
 a) Ta có .
 0,9995 1 0,0005
 1 1
 Xét hàm số f x f x .
 x x2
 Chọn x0 1 và x 0,0005 , ta có f x0 x f x0 f x0 . x
 1
 1 1. 0,0005 1,0005
 1 0,0005
 Ví dụ 2. Tính gần đúng sin 46 .
 Hướng dẫn giải
 Ta có sin 46 sin 45 1 sin .
 4 180 
 Xét hàm số f x sin x f x cos x .
 Chọn x và x , ta có f x x f x f x . x
 0 4 180 0 0 0
 2 2 
 sin sin cos . .
 4 180 4 4 180 2 360
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là
 A. -0,07.B. 10.C. 1,1. D. -0,4.
Câu 2: Vi phân của hàm số y x2 5x bằng biểu thức nào sau đây?
 1 2x 5
 A. dy dx .B. dy dx .
 2 x2 5x x2 5x
 2x 5 2x 5
 C. dy dx .D. dy dx .
 2 x2 5x 2 x2 5x
Câu 3: Vi phân của hàm số y xsin x cos x là
 Trang 4 A. dy 2sin x x cos x dx .B. dy x cos xdx
 C. dy x cos x D. dy sin x cos x dx
 3 
Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan được kết quả
 3 80 
 A. 1,2608.B. 1,2611.C. 1,3391 D. 1,3392.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng?
 d sin x d sin x 
 A. cot x .B. tan x .
 d cos x d cos x 
 d sin x d sin x 
 C. cot x .D. tan x .
 d cos x d cos x 
Câu 6: Cho hàm số y f x x 1 2 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f x ?
 A. dy 2 x 1 dx .B. dy x 1 2 dx .C. dy 2 x 1 . D. dy x 1 dx .
Câu 7: Vi phân của hàm số y x3 9x2 12x 5 là 
 A. dy 3x2 18x 12 dx .B. dy 3x2 18x 12 dx .
 C. dy 3x2 18x 12 dx .D. dy 3x2 18x 12 dx
Câu 8: Vi phân của hàm số là y 1 x2 là
 1 x
 A. dy dx .B. dy dx .
 1 x2 1 x2
 2x 1 x2
 C. dy dx . D. dy dx .
 1 x2 1 x2
Câu 9: Vi phân của hàm số là y 3x 2 là
 3 1
 A. dy dx .B. dy dx . 
 3x 2 2 3x 2
 1 3
 C. dy dx . D. dy dx .
 3x 2 2 3x 2
 2x 3
Câu 10: Vi phân của hàm số y là
 2x 1
 8 4
 A. dy dx .B. dy dx .
 2x 1 2 2x 1 2
 4 7
 C. dy dx . D. dy dx .
 2x 1 2 2x 1 2
Câu 11: Hàm số y xsin x cos x có vi phân là
 A. dy x cos x sin x dx .B. dy x cos x dx .
 C. dy cos x sin x dx .D. dy xsin x dx .
 Trang 5 Câu 12: Xét hàm số y f x 1 cos2 2x . Khẳng định nào sau đây đúng?
 sin 4x sin 4x
 A. df x dx .B. df x dx .
 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x
 cos 2x sin 2x
 C. df x dx .D. df x dx .
 1 cos2 2x 1 cos2 2x
 tan x
Câu 13: Vi phân của hàm số y là
 x
 2 x sin 2 x 
 A. dy dx .B. dy dx .
 4x x cos2 x 4x x cos2 x
 2 x sin 2 x 2 x sin 2 x 
 C. dy dx .D. dy dx .
 4x x cos2 x 4x x cos2 x
 1
Câu 14: Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là
 3x3
 1 1 1
 A. dy dx .B. dy dx .C. dy dx . D. dy x4dx .
 4 x4 x4
Dạng 2: Đạo hàm cấp cao
Bài toán 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số
 Phương pháp giải
+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y cos2 x .
hai y y . Tính y x0 . Hướng dẫn giải
 1
+ Cấp 3,4 ta tính tương tự. Ta có y cos2 x 1 cos 2x y sin 2x
 2
 y 2cos 2x y 4sin 2x .
 Ví dụ mẫu
 3x 1
 Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y .
 x 2
 Hướng dẫn giải
 2 
 7 7 x 2 14
 Ta có y y 
 x 2 2 x 2 4 x 2 3
 3 4 
 14 x 2 42 42 x 2 168
 y y 4 .
 x 2 6 x 2 4 x 2 8 x 2 5
 Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y sin2 2x .
 Hướng dẫn giải
 Trang 6 1
 Ta có y sin2 2x 1 cos 4x 
 2
 y 2sin 4x y 8cos 4x y 32sin 4x
 y 4 128cos 4x y 5 512sin 4x
Bài toán 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
 Phương pháp giải
 Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số
 y sin x n ¥ * .
 Hướng dẫn giải
 Bước 1: Tính y , y , y . Dựa vào các đạo hàm Ta có: y cos x sin x 1. ;
 2 
 n 
 vừa tính, dự đoán công thức tính y . 
 y sin x sin x 2. ;
 2 
 n *
 Dự đoán: y sin x n ,n ¥ . 1 
 2 
 Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là Chứng minh 1 bằng quy nạp:
 đúng bằng phương pháp quy nạp.
 • n 1: 1 Hiển nhiên đúng.
 • Giả sử 1 đúng với n k 1nghĩa là
 k 
 y sin x k 
 2 
 Ta phải chứng minh 1 đúng với n k 1 nghĩa là 
 ta phải chứng minh
 k 1 
 y sin x k 1 . 2 
 2 
 Thật vậy, xét 2 ta có
 k 1 k ' 
 VT y y sin x k cos x k 
 2 2 
 sin x k 1 VP .
 2 
 Suy ra 2 đúng,nghĩa là 1 đúng với n k 1.
 Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức
 n *
 y sin x n ,n ¥
 2 
 Trang 7 Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y , y , y , tìm ra quy luật để dự đoán công thức 
 y n chính xác
 Ví dụ mẫu
 3x 1
 Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y .
 x 2
 Hướng dẫn giải
 7 7.2 7.2.3
 Ta có: y , y , y .
 x 2 2 x 2 3 x 2 4
 n
 n 1 .7.n!
 Bằng quy nạp ta chứng minh y . 2 
 x 2 n 1
 • Với n 1ta thấy 2 đúng.
 k
 k 1 .7.k!
 • Giả sử 2 đúng với n k , tức là y .
 x 2 k 1
 k k k 1
 k 1 1 .7.k 1 .7.k!. k 1 1 .7. k 1 !
 Ta có: y .
 k 1 k 2 k 2
 x 2 x 2 x 2 
 Do đó 2 đúng với mọi số tự nhiên n .
 Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số 
 n
 3x 1 n 1 .7.n!
 y là y .
 x 2 x 2 n 1
Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
 Phương pháp giải
 Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ. Cho hàm số y xsin x
 chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh x.y 2 y sin x xy 0.
 phương trình, bất phương trình.
 Hướng dẫn giải
 Ta có 
 y xsin x y ' x .sin x x. sin x 
 y sin x x cos x
 y sin x x cos x ' sin x x cos x 
 cos x x '.cos x x. cos x 2cos x xsin x .
 Ta có x.y 2 y sin x xy 0
 Trang 8 x 2cos x xsin x 2 sin x x cos x sin x x2 sin x 0
 2x cos x x2 sin x 2x cos x x2 sin x 0
 0 0
 (điều phải chứng minh).
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y 2x x2 . Chứng minh y3.y 1 0 .
 Hướng dẫn giải
 1 1 x
 Ta có: y 2x x2 y ' . 2x x2 .
 2 2x x2 2x x2
 1 x . 2x x2 2x x2 . 1 x 
 y 2
 2x x2 
 1 x
 2x x2 . 1 x 
 2x x2
 2
 2x x2 
 2 2
 2x x 1 x 1
 2 3 .
 2x x2 . 2x x2 2x x2 
 3 1
 Ta có y3.y 1 0 2x x2 . 1 0 1 1 0
 3
 2x x2 
 (điều phải chứng minh).
 sin3 x cos3 x
Ví dụ 2. Cho hàm số y . Chứng minh y y 0 .
 1 sin x.cos x
 Hướng dẫn giải
 sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x 
 Ta có: y 
 1 sin x cos x
 sin x cos x 1 sin x cos x 
 sin x cos x
 1 sin x cos x
 y cos x sin x y sin x cos x .
 Trang 9 Ta có y y 0 sin x cos x sin x cos x 0 0 0 (điều phải chứng minh).
 2x 4
 Ví dụ 3. Cho hàm số y . Giải phương trình y 0 .
 x2 4x 3
 Hướng dẫn giải
 2x 4 2 x 2 
 Ta có y 
 x2 4x 3 x 2 2 1
 2 2
 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 .2 x 2 2 x 2 2
 y 
 2 2 2 2 2
 x 2 1 x 2 1 x 2 1 
 2 
 2 x 2 2 
 y 
 2 
 x 2 2 1 
 2
 4 x 2 x 2 2 1 2 x 2 2 2 .2 x 2 2 1 2 x 2
 4
 x 2 2 1 
 4 x 2 x 2 2 1 x 2 2 1 2 x 2 2 2 
 4
 x 2 2 1 
 4 x 2 x 2 2 1 x 2 2 3 
 4 .
 x 2 2 1 
 4 x 2 x 2 2 1 x 2 2 3 
 Ta có y 0 4 0 .
 x 2 2 1 
 Điều kiện: x 2 2 1 0 .
 Khi đó y 0 x 2 0 x 2 .
 Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f x x3 x2 4 tại điểm x 1 là
 A. 1.B. 10.C. 4. D. 16.
 Trang 10