Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 3: Đạo hàm cấp cao (Có lời giải)

 VI PHÂN
 TÓM TẮT GIÁO KHOA
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 . Gọi x là số gia của biến số tại x0 . 
Ta gọi tích f ' x0 . x là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x0 ứng với số gia 
 x . Kí hiệu df(x0 ) f '(x0 ). x .
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f ' x . x là vi phân của 
hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia x (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). 
Kí hiệu df(x) f '(x). x . Nếu chọn hàm số y x thì ta có dy dx 1. x x . 
Vì vậy ta thường kí hiệu x dx và dy f ' x dx .
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f x0 x f x0 f ' x0 . x 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số
PHƯƠNG PHÁP
a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại x0 cho trước:
Tính đạo hàm của hàm số tại x0 .
Suy ra vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là df(x0 ) f '(x0 ). x .
b). Tính vi phân của hàm số f(x).
Tính đạo hàm của hàm số .
Suy ra vo phân của hàm số: dy df(x) f ' x dx
Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 4x2 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm 
x0 1 , ứng với số gia x 0,02 .
 LỜI GIẢI
 2
Ta có y' f '(x) 3x 4x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0 1 , ứng với 
số gia x 0,02 là: df(1) f '(1). x 3.12 4.1 .0,02 0,02 .
Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:
 2x2 3x 1 x
a). y b). y 3x3 2x2 c). y sin xcos d). y xsin x cos x 
 x2 x 1 2
LỜI GIẢI
a). Ta có 
 (2x2 3x 1)'(x2 x 1) (x2 x 1)'(2x2 3x 1)
y' f '(x) 
 2 2
 x2 x 1 x2 x 1 
suy ra dy f '(x)dx 
DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số: Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm x (x0 x) cho trước, ta 
áp dụng công thức f x0 x f x0 f ' x0 . x .
Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).
 1
a). 16,25 b). cos 30015' c). sin 460 d). 
 0,9995
e). tan 53015' . 
 LỜI GIẢI
 1
a). Ta có 16,25 16 0,25 . Xét hàm số f x x f ' x 
 2 x
chọn x0 16 và x 0,25 , ta có f x0 x f x0 f ' x0 . x
 1
 16 0,25 16 .0,25 4 0,03125 4,03125 16 0,25 4,0313 
 2 16
 0 0 
b). Ta có cos 30 15' cos 30 15' cos . 
 6 720 
Xét hàm số f x cos x f ' x sin x .
Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x .
 0 6 720 0 0 0
 3 
 cos cos sin . .
 6 720 6 6 720 2 1440
 0 0 0 
 c). Ta có sin 46 sin 45 1 sin .
 4 180 
 Xét hàm số f x sin x f ' x cos x
Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x .
 0 4 180 0 0 0
 2 2 
 sin sin cos . 
 4 180 4 4 180 2 360
 1 1
d). Ta có .
 0,9995 1 0,0005
 1 1
Xét hàm số f x f ' x .
 x x2
Chọn x0 1 và x 0,0005 , ta có f x0 x f x0 f ' x0 . x .
 1
 1 1.( 0,0005) 1,0005 .
 1 0,0005
 0 0 0 3 
e). tan 53 15' tan 60 (6 45') tan .
 3 80 
Xét hàm số f x tan x f ' x 1 tan2 x . 3 
Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x .
 0 3 80 0 0 0
 3 2 3 
 tan tan 1 tan . 1,2608 . 
 3 80 3 3 80 
 5.ĐẠO HÀM CẤP CAO
 A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x . Hàm số f ' x còn gọi là đạo hàm 
cấp 1 của hàm số f x . Nếu hàm số f ' x có đạo hàm thì đạo hàm đó được 
gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f x , kí hiệu là y’’ hay f '' x . Đạo hàm 
của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f x , kí hiệu là 
y’’’ hay f’’’ x . Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 là đạo 
 n n 
hàm cấp n của hàm số f x , kí hiệu là y hay f x , tức là ta có:
 n n 1 
y y ' n N,n 1 .
2.Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) 
tại thời điểm t.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.
1.PHƯƠNG PHÁP
 n n 1 
Áp dụng trực tiếp định nghĩa: y y ' để tính đạo hàm đến cấp mà đề 
bài yêu cầu.
Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:
a). y xsin 2x, y''' b). y cos2 x, y''' c). y x4 4x3 3x2 1, y(n) 
 3x 1
d). y x4 sin 2x, y(4) e). y sin2 2x, y(5) f). y , y(4) 
 x 2 
 LỜI GIẢI
a). Có y' x'sin 2x x.(sin 2x)' sin 2x 2xcos 2x 
 y'' (sin 2x)' (2x)'cos 2x 2x(cos 2x)' 4cos 2x 4xsin 2x 
 y''' 4(cos 2 x)' (4 x)'sin 2 x 4 x(sin 2 x)' 8sin 2 x 4sin 2 x 8cos 2 x 
 12sin 2 x 8cos 2 x .
 1
b). Ta có y cos2 x 1 cos 2x y' sin 2x 
 2
 y'' 2cos 2x y''' 4sin 2x 
c). y x4 4x3 3x2 1
 y' 4x3 12x2 6x y'' 12x2 24x 6 y''' 24x 24 y(4) 24 y(5) 0 ... y(n) 0 .
d). y x4 sin 2x 
 y' 4x3 2cos 2x y'' 12x2 4sin 2x 
 y''' 24x 8cos 2x y(4) 24 16sin 2x
 1
e). y sin2 2x 1 cos 4x 
 2
 y' 2sin 4x y'' 8cos 4x y''' 32sin 4x 
 y(4) 128cos 4x y(5) 512sin 4x
 3x 1
f). y , y(4)
 x 2 
 /
 2 
 7 x 2 
 7 14
 y' y'' 
 2 4 3
 (x 2) x 2 x 2 
 / /
 3 4 
 14 x 2 42 x 2 
 42 168
 y''' y(4) 
 6 4 8 5
 x 2 x 2 x 2 x 2 
DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1: Tính y',y'',y''' . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức 
tính y(n) .
Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy 
nạp.
Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y',y'',y''' tìm ra quy luật để 
dự đoán công thức y(n) chính xác.
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y sin x n N* 
 LỜI GIẢI
Bước 1: Ta có: y' cos x sin x 1. ; y'' sin x sin x 2 
 2 2 
 n *
Dự đoán: y sin x n 1 ,n N 
 2 
Bước 2: Chứng minh 1 bằng quy nạp:
 n 1 : 1 hiển nhiên đúng.
 k 
 Giả sử 1 đúng với n k 1 nghĩa là ta có: y sin x k ta phải 
 2 
chứng minh 1 cúng đúng với n k 1 nghĩa là ta phải chứng minh k 1 
y sin x k 1 2 
 2 
Thật vậy : vế trái 
 /
 / 
 k 1 k 
 2 y y sin x k cos x k sin x k 1 =vế phải 
 2 2 2 
 2 2 đúng, nghĩa là 1 đúng với n k 1. 
 n *
Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra y sin x n ,n N . 
 2 
 1
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y n N* 
 x 3
 LỜI GIẢI
 / 1 / 1!
Ta có: 
 y' 1 2 1 2 ;
 x 3 x 3 
 2 1.2 2 2!
y'' 1 . 3 1 . 3 .
 x 3 x 3 
 n n!
Dự đoán: n  * 
 y 1 n 1 1 , n N .
 x 3 
Chứng minh 1 bằng phương pháp quy nạp:
 n 1 : 1 hiển nhiên đúng.
 k k k!
 Giả sử đúng với , nghĩa là ta có: ta phải 
 1 n k 1 y 1 k 1
 x 3 
chứng minh 1 cúng đúng với n k 1 , nghĩa là ta phải chứng minh:
 k 1 k 1 k 1 !
y 1 k 2 2 
 x 3 
Thật vậy: vế trái
 /
 / /
 k 1 k k k! k 1 k! k 1 
 2 y y 1 k 1 1 . 2 . x 3 
 k 1 
 x 3 x 3 
 k 1 k! k 1 k 1 k 1 !
 1 . k 2 1 . k 2 vt 2 
 x 3 x 3 
Vậy 2 đúng nghĩa là 1 đúng với n k 1. 
 n n!
Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra n  * 
 y 1 . n 1 , n N .
 x 3 
DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức: Bài 11:
a). Cho hàm số y xsin x . Chứng minh x.y'' 2 y' sin x xy 0 
b). Cho hàm số : y 2x x2 chứng minh: y3 .y'' 1 0 
c). Cho hàm số: y x tan x chứng minh: x2 .y'' 2 x2 y2 1 y 0 
 x 3 2
d). Cho hàm số: y chứng minh: 2 y' y 1 .y'' 
 x 4
 LỜI GIẢI
a). Cho hàm số y xsin x . Chứng minh x.y'' 2 y' sin x xy 0 
 / /
Ta có y' xsin x y' x'.sin x x. sin x y' sin x xcos x 
 / / / /
 y'' sin x xcos x sin x xcos x cos x x'.cos x x. cos x 2cos x xsin x
 1 x 2cos x xsin x 2 sin x xcos x sin x x2 sin x 0 
 2xcos x x2 sin x 2xcos x x2 sin x 0 0 0 (đpcm).
b). Cho hàm số : y 2x x2 chứng minh: y3 .y'' 1 0 
 / 1 / 1 x
Ta có: y' 2x x2 y' . 2x x2 . 
 2 2x x2 2x x2
 /
 / 2 1 x
 2 2 2x x . 1 x 
 1 x . 2x x 2x x . 1 x 2
 2x x
 y'' 2 2
 2x x2 2x x2 
 2 2
 2x x 1 x 1
 2 3 .
 2x x2 . 2x x2 2x x2 
 3 1
 2x x2 . 1 0 1 1 0 (đpcm).
 3
 2x x2 
c). Cho hàm số: y x tan x chứng minh: x2 .y'' 2 x2 y2 1 y 0 
 / /
Ta có: y' x tan x x'.tan x x. tan x tan x x 1 tan2 x 
 / /
 y'' tan x x'. 1 tan x x. 1 tan x 2 1 tan2 x x. 2 tan x . tan2 1 
 2 1 tan2 x 1 x tan x 
 2x2 1 tan2 x . 1 x tan x 2 x2 x2 tan2 x 1 x tan x 0 
 2x2 1 tan2 x 1 x tan x 2x2 1 tan2 x 1 x tan x 0 
 0 0 (đpcm). x 3 2
d). Cho hàm số: y chứng minh: 2 y' y 1 .y'' 
 x 4
 /
 x 3 7
Ta có: 
 y' 2
 x 4 x 4 
 /
 2
 7 x 4 14
y'' 4 3
 x 4 x 4 
 2
 7 x 3 14 98 98
 2 1 . (đpcm).
 2 x 4 3 4 4
 x 4 x 4 x 4 x 4 
e) Cho hàm số y cos2 3x chứng minh: 18 2y 1 y'' 0 
Ta có: y cos2 3x 
 / /
y' 2.cos 3x cos 3x 2cos 3x. sin 3x 3x 3sin 6x 
y'' 18cos6x 
 18 2cos2 3x 1 18cos6x 0 18.cos6x 18cos6x 0 (đpcm).
Bài 12:
 sin3 x cos3 x
a).Cho hàm số y . Chứng minh y'' y 0 
 1 sin x.cos x
 2
b). Cho hàm số y x2 1 . Chứng minh: y4 2xy''' 4y'' 40 
c). Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 4 x2 1 .y'' 4x.y' y 0 
 k
d). Chứng minh 1 x2 .y'' x.y' k2 .y 0 nếu y x x2 1 
 LỜI GIẢI
 sin3 x cos3 x
a).Cho hàm số y chứng minh y'' y 0 
 1 sin x.cos x
 sin x cos x sin2 x cos2 x sin xcos x 
Ta có: y 
 1 sin xcos x
 sin x cos x 1 sin xcos x 
 sin x cos x
 1 sin xcos x
y' cos x sin x 
y'' sin x cos x 
 sin x cos x sin x cos x 0 0 0 (đpcm).
 2
b). Cho hàm số y x2 1 . Chứng minh: y4 2xy''' 4y'' 40 
Ta có: y x4 2x2 1 y' 4x3 4x 
 y'' 12x2 4 
 y''' 24x 
 y'''' 24. 
 24 2x 24x 4 12x2 4 40. 
 24 48x2 48x2 16 40 40 40 (đpcm).
c). Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 4 x2 1 .y'' 4x.y' y 0 
 1 x x 1 x2
Ta có: y' . 1 
 2 2
 2 x 1 x2 1 x 2 1 x
 / /
 2 2 2 2
 x 1 x .2 1 x 2 1 x . x 1 x
 y'' 2
 2 1 x2 
 x 1 x2 . 2 1 x2 4x 
 8 1 x2 . 1 x2
 2 2
 2
 x 1 x 2 1 x 4x x 1 x
 4 x2 1 4x. x 1 x2 0 
 8 1 x2 1 x2 2 1 x2
 2 2
 2
 x 1 x . 2 1 x 4x x 1 x
 2x x 1 x2 0 
 2 1 x2 1 x2
 2x x 1 x2 2x x 1 x2
 x 1 x2 x 1 x2 0 
 1 x2 1 x2
 0 0 (đpcm).
 k
d). Chứng minh 1 x2 .y'' x.y' k2 .y 0 nếu y x x2 1 
 k k 1 x 
 2 2 
Ta có: y x x 1 y' k x x 1 . 1 
 x2 1 
 2
 2
 2 
 k 1 x x 1 x x 1 
 k x x2 1 . k.
 2 2
 x 1 x 1 /
 k / k
 2 2 2 2
 x x 1 . x 1 x 1 . x x 1
y'' k.
 x2 1
 k 
 2 
 k x x 1 x k
 . x2 1 . x x2 1 
 2 2 
 k. x 1 x 1
 x2 1 
 k
 k x x2 1 k x2 1 x 
 x2 1 x2 1
 k k
 k x x2 1 . k x2 1 x x.k x 1 x2 
 1 x2 
 x2 1 x2 1 1 x2
 k k
 2 2 2 2
 k x x 1 . k x 1 x x.k x 1 x k
 k2 x x2 1 0 
 x2 1 1 x2
Quy đồng đặt thừa số chung được:
 k
 x x2 1 
 k2 x2 1 kx kx k2 x2 1 0 0 0 (đpcm).
 x2 1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1 ta có:
 1 n n!
a)Nếu y thì yn 1 . . 
 x xn 1
b) Nếu y cos x thì y4n cos x. 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a)Nếu y sinax thì y4n a4n .sinax (a là hằng số).
b) Nếu y sin2 x thì y4n 24n 1 cos 2x.