Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm (Có đáp án)

 CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
 BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.
 + Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp. 
 + Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.
 ❖ Kĩ năng
 + Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp. 
 + Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan. 
 + Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng 
 thức, tính giới hạn.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
 c 0,c là hằng số;
 x 1;
 1 1
 2 ;
 x x
 1
 x ;
 2 x
 n n 1
 x n.x ( với n là số tự nhiên).
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
 Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
 1. u v u v ;
 2. u v u v ;
 3. u.v u v v u;
 u u v v u
 4. 2 v v x 0 .
 v v
Chú ý: 
a) k.v kv ( k: hằng số);
 1 v 
b) 2 v v x 0 .
 v v
Mở rộng:
 • u1 u2 ... un u1 u2 ... un ;
 • u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w .
3. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y f u x f u với u u x .
Khi đó: y x yu .u x .
4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp
 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u u x 
 c 0,c là hằng số 1 u 
 2
 u u
 x 1
 Trang 2 u 
 1 1 u 
 2
 x x 2 u
 1
 1 u .u .u
 x 
 2 x
 1
 x a.x
5. Đạo hàm các hàm số lượng giác
 sin x
a) Giới hạn của .
 x
 sin x
Định lý: lim 1.
 x 0 x
Chú ý: Nếu hàm số u u x thỏa mãn điều kiện: u x 0 với mọi x x0 và lim u x 0 thì 
 x x0
 sin u x 
lim 1.
x x0 u x 
b) Đạo hàm của hàm số y sin x
Định lý:
Hàm số y sin x có đạo hàm tại mọi x ¡ và sin x cos x
Chú ý: Nếu y sin u và u u x thì sin u u .cosu .
c) Đạo hàm của hàm số y cos x
Định lý:
Hàm số y cos x có đạo hàm tại mọi x ¡ và cos x sin x
Chú ý: Nếu y cosu và u u x thì cosu u .sin u
d) Đạo hàm của hàm số y tan x
Định lý:
 1
Hàm số y tan x có đạo hàm tại mọi x k ,k ¢ và tan x .
 2 cos2 x
Chú ý: Nếu y tan u và u u x có đạo hàm trên K,u x k k ¢ với mọi x K .
 2
 u 
Khi đó trên K ta có: tan u .
 cos2 u
e) Đạo hàm của hàm số y cot x
Định lý:
 1
Hàm số y cot x có đạo hàm tại mọi x k ,k ¢ và cot x .
 sin2 x
 Trang 3 Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác
 sin x cos x sin u u .cosu
 cos x sin x cosu u .sin u
 1 u 
 tan x tan u 
 cos2 x cos2 u
 1 u 
 cot x cot u 
 sin2 x sin2 u
Chú ý: Nếu y cot u và u u x có đạo hàm trên K, u x k k ¢ với mọi x K . Khi đó trên K ta 
 u 
có: cot u .
 sin2 u
 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến 
với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x0 ;y0 .
 Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x0 ;y0 là: y y x0 x x0 y0
Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm
Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
 Phương pháp giải
Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số
hàm 2x 1
 y x3 3x2 
 • Công thức đạo hàm x
 Hướng dẫn giải
 n n 1
 x n.x (với n là số tự nhiên).
 3 2 2x 1 
 • Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Ta có y x 3x 
 x 
Cho các hàm số u u x ;v v x có đạo 
 2.x 2x 1 .1
 3x2 6x .
hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. x2
Ta có: 1
 3x2 6x .
 x2
a) u1 u2 ... un u1 u2 ... u n .
b) u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w .
 u u v v u
c) 2 v v x 0 .
 v v
 Trang 4 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số 
 3
a) y x 4 x2 2020x .
 2
 x 2
b) y 
 x 1
Hướng dẫn giải
 4 3 2 3
a) y x x 2020x y 4x 3x 2020 .
 2 
 x 2 . x 1 x 2 x 1 
b) y 2
 x 1 
 1
 . x 1 x 2 
 2 x
 2
 x 1 
 x 1 2x 4 x
 2
 2 x x 1 
 1 x 4 x
 2 .
 2 x x 1 
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số
a) y x 2x 1 3x 2 .
b) y x2 x x 5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có y x 2x 1 3x 2 2x2 x 3x 2 . Khi đó
 2 
y 2x x 3x 2 
 2 2
 2x x . 3x 2 3x 2 . 2x x 
 4x 1 3x 2 3 2x2 x 
 18x2 2x 2 .
b) Ta có
 2 
y x x x 5 
 Trang 5 
 2x x . x x .x
 1
 2x x .x
 2 x
 3 x
 2x .
 2
Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau
 a b
 ax b c d
a) 2 ; (a, b, c, d là hằng số)
 cx d cx d 
 a b a c b c
 x2 2 x 
 2 
 ax bx c a1 b1 a1 c1 b1 c1
b) 2 (a, b, c, a1,b1,c1 là hằng số)
 a x2 b x c 2
 1 1 1 a1x b1x c1 
 b c
 a.a x2 2a.b x 
 2 1 1
 ax bx c a1 b1
c) (a, b, c, a1,b1 là hằng số)
 a x b 2
 1 1 a1x b1 
Hướng dẫn giải
a) Ta có 
 ax b ax b cx d ax b cx d 
 2
 cx d cx d 
 a cx d ax b c
 2
 cx d 
 ad bc
 2
 cx d 
 a b
 ax b c d
Vậy 2
 cx d cx d 
b) Ta có
 2 2 2 2 2 
 ax bx c ax bx c a1x b1x c1 ax bx c a1x b1x c1 
 2
 2 2
 a1x b1x c1
 a1x b1x c1 
 2 2
 2ax b . a1x b1x c1 ax bx c . 2a1x b1 
 2
 2
 a1x b1x c1 
 Trang 6 2
 a.b1 a1.b x 2 a.c1 a1.c x b.c1 b1.c 
 2
 2
 a1x b1x c1 
 a b a c b c
 x2 2 x 
 2 
 ax bx c a1 b1 a1 c1 b1 c1
Vậy 2 (điều phải chứng minh).
 a x2 b x c 2
 1 1 1 a1x b1x c1 
 2 2 2 
 ax bx c ax bx c . a1x b1 ax bx c . a1x b1 
c) Ta có 
 a x b 2
 1 1 ax1 b1 
 2
 2ax b . a1x b1 ax bx c .a1
 2
 a1x b1 
 2
 a.a1x 2a.b1x b.b1 a1.c 
 2 (điều phải chứng minh).
 a1x b1 
 b c
 a.a x2 2a.b x 
 2 1 1
 ax bx c a1 b1
Vậy 
 a x b 2
 1 1 a1x b1 
Bài toán 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp
 Phương pháp giải
 Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số
 2
 4 2
 y x 2x 2x 1
u x và hàm số y f u có đạo hàm tại u là yu 
 Hướng dẫn giải
thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là 
 2 
 4 2 
y y .u . Ta có y x 2x 2x 1
 x u x 
 Công thức đạo hàm của một số hàm hợp 
 2 
 2x 1
 4 4 
thường gặp: y 2 x 2x . x 2x 
 2 2x2 1
 n n 1 *
 u n.u .u n ¥
 4x
 y 2 x 4 2x . 4x3 2 
 2
 u 2 2x 1
 u ;
 2 u 2x
 y 4x x3 2 . 2x3 1 .
 2x2 1
 1 u 
 2 .
 u u
trong đó u u x .
 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
 Trang 7 3
 2x 1 2
a) y ; b) y 3x 2x 1 .
 x 1 
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
 2 2 2
 2x 1 2x 1 2x 1 3 9 2x 1 
y 3. . 3. . 2 4
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 2 
 3x 2x 1 6x 2 3x 1
b) Ta có: y .
 2 3x2 2x 1 2 3x2 2x 1 3x2 2x 1
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
 2 2
 1 x 1 
a) ; b) .
 y y x 
 1 x x 
Hướng dẫn giải
 1 x 1 x 
a) Ta có: 2
 y 
 1 x 1 x 
 1 x 2 
 2 x
 2 
 1 x 1 x 
 2 1 x
 3
 x 1 x 
 2 
 1 1 1 
b) Ta có: y x 2. x . x 
 x x x 
 1 1 1 
 2. x 
 x 2 x 2x x 
 1 1 1 
 2. x 1 
 2 x x x 
 1 1 
 1 1 
 x x 
 1
 1 .
 x2
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số y x2 1 2x 1
Hướng dẫn giải
 Trang 8 x
 2
 2 x 2 x2 1
Ta có: y x 1 
 2 x2 1 2x 1 2 x2 1 x2 1 2x 1 
 Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hàm số f x ax b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng?
 A. f x a. B. f x a. C. f x b. D. f x b.
Câu 2: Đạo hàm của hàm số f x x2 5x 1 tại x 4 là
 A. – 1.B. – 5. C. 2. D. 3.
 2x 1
Câu 3: Hàm số y có đạo hàm là
 x 1
 1 3 1
 A. y 2. B. y 2 . C. y 2 . D. y 2 .
 x 1 x 1 x 1 
Câu 4: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên khoảng J và v x 0 với x J . Khẳng 
định nào sau đây sai?
 1 v x 
 A. .B. .
 u x v x u x v x 2
 v x v x 
 u x u x .v x v x .u x 
 C. . . . . D. .
 u x v x u x v x v x u x 2
 v x v x 
 x 4 2x3 1
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y 8
 2 3 x
 1 1
 A. y 2x3 2x2 1 B. y 2x3 2x2 .
 x2 x2
 1
 C. y 2x3 2x2 1 D. y 2x3 2x2 .
 x2
 x2 x
Câu 6: Cho hàm số y . Đạo hàm của hàm số tại x 1 là
 x 2
 A. y 1 4. B. y 1 5. C. y 1 3. D. y 1 2. 
 5
Câu 7: Đạo hàm của hàm số y 1 x3 là
 4 4
 A. y 5 1 x3 . B. y 15x2 1 x3 .
 4 4
 C. y 3 1 x3 . D. y 5x2 1 x3 .
 2
 x 2 
Câu 8: Hàm số y có đạo hàm là
 1 x
 Trang 9 x2 2x x2 2x
 A. y 2 .B. y 2
 1 x 1 x 
 x2 2x
 C. y 2 x 2 .D. y 2
 1 x 
Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số y x2 2x 1 5x 3 .
 A. y 40x2 3x2 6x. B. y 40x3 3x2 6x.
 C. y 40x3 3x2 6x. D. y 40x3 3x2 x.
 1 3
Câu 10: Đạo hàm của hàm số y x6 2 x là
 2 x
 3 1 3 1
 A. y 3x5 . B. y 6x5 .
 x2 x x2 2 x
 3 1 3 1
 C. y 3x5 . D. y 6x5 .
 x2 x x2 2 x
 3
 5 
Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số y 4x 2 .
 x 
 2 2
 10 5 10 5 
 A. y 3 4 3 4x 2 . B. y 3 4 3 4x 2 .
 x x x x 
 2 2
 5 10 5 
 C. y 4x 2 . D. y 3 4 3 4x 2 .
 x x x 
Câu 12: Đạo hàm của hàm số f x 2 3x2 là
 3x 1 6x2 3x
 A. . B. . C. . D. .
 2 3x2 2 2 3x2 2 2 3x2 2 3x2
 x
Câu 13: Cho hàm số y f x . Giá trị y 0 bằng 
 4 x2
 1 1
 A. y 0 . B. y 0 . C. y 0 1. D. y 0 2.
 2 3
 1 ax
Câu 14: Đạo hàm của hàm số y có dạng .
 2 3
 x 1 x2 1 
Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?
 A. a 4. B. a 1. C. a 2. D. a 3.
Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y x2 x x 1 .
 x x
 A. y 2x x 1 B. y 2x x 1 
 2 x 1 2 x 1
 x x
 C. y D. y 2x x 1 
 2 x 1 2 x 1
 Trang 10