Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 2: Đạo hàm (Có lời giải)

 Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 1 5 2 4 3 3 2 
1: y x x x x 4x 5 
 2 3 2 
 A. B. C. D.
 / / / /
 /
 1 5 2 4 3 3 2 1 5 2 4 3 3 2 / /
 y' x x x x 4x 5 y' x x x x 4x 5 
 2 3 2 2 3 2 
 5 8
 y' x4 x3 3x2 3x 4. 
 2 3
 1 1
2: y x x2 0,5x4 
 4 3
 A. B. C. D.
 /
 / 1 1 2 4 
 y x x 0,5x 
 4 3 
 / /
 / /
 / 1 1 2 4
 y x x 0,5x 
 4 3 
 1
 y' 2x 2x3 . 
 3
 1
3: y 2x4 x3 2 x 5 
 3
 A. B. C. D.
 / /
 / /
 4 1 3 4 1 3 / 3 2 1
 y' 2x x 2 x 5 y' 2x x 2 x 5 y' 8x x . 
 3 3 x
 x4 x3 1
4: y x2 x a (a là hằng số)
 4 3 2
 A. B. C. D.
 /
 x4 x3 1 
 y' x2 x a y' x3 x2 x 1 .
 4 3 2 
 3 2
5: y x x x 
 x2 3
 A. B. C. D.
 /
 3 2 / / 2 /
 y' x x x y' 3.x 2 x x x 
 2 
 x 3 3
 1 2 / 6 1 2 1 
 y' 3. 2 .x 3 x/ . x x .x y' x .x 
 3 
 2 x 3 x 2 x 3 2 x 
 6 1 2 x 6 1
 y' x x. 
 3 3
 x 2 x 3 2 x 2 x
 1
6: y 2x4 x3 2 x 5 
 3
 A. B. C. D.
 / /
 / /
 4 1 3 4 1 3 / 3 2 1
 y' 2x x 2 x 5 y' 2x x 2 x 5 y' 8x x . 
 3 3 x
7: y x5 4x3 2x 3 x 
 A. B. C. D. / / / / 3
 y' x5 4x3 2x 3 x y' x5 4 x3 2.x/ 3 x y' 5x4 12x 2 . 
 2 x
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y x2 3x 2 x . b) y 2x 3 x5 2x c). y x2 1 5 3x2 
d). y x 2x 1 3x 2 e). y x2 2x 3 2x2 3 f). y x2 x 
 2x 1 2x 10 3 2x 1
g) y h) y k). y l). y 
 4x 3 4x 3 2x 1 1 3x
 1 x x2 x2 3x 3 2x2 4x 1
m). y n). y o). y 
 1 x x2 x 1 x 3
 LỜI GIẢI
a). y x2 3x 2 x .
 A. B. C. D.
 / / /
 y' x2 3x 2 x x2 3x . 2 x x2 3x . 2 x 
 2x 3 2 x x2 3x 1 3x2 2x 6. 
b). y 2x 3 x5 2x 
 A. B. C. D.
 / / /
 5 5 5 
 y' 2x 3 x 2x 2x 3 x 2x x 2x 2x 3 
 2 x5 2x 5x4 2 2x 3 12x5 15x4 8x 6. 
c). y x2 1 5 3x2 
 A. B. C. D.
 / / /
 2 2 2 2 2 2 
 y' x 1 5 3x x 1 5 3x 5 3x x 1 
 2x 5 3x2 6x x2 1 10x 6x3 6x3 6x 12x3 4x. 
d). y x 2x 1 3x 2 2x2 x 3x 2 
 A. B. C. D.
 / / /
 2 2 2 
 y' 2x x 3x 2 2x x 3x 2 3x 2 . 2x x 
 4x 1 3x 2 3 2x2 x 18x2 2x 2. 
e). y x2 2x 3 2x2 3 
 A. B. C. D.
 / / /
 2 2 2 2 2 2 
 y' x 2x 3 2x 3 x 2x 3 2x 3 2x 3 x 2x 3 
 4x 2 2x2 3 4x x2 2x 3 12x3 4x2 24x 6. 
f) y x2 x 
 A. B. C. D.
 / / / 1 1 5x x
 y' x2 x x2 . x x .x2 2x. x .x2 2x x x x . 
 2 x 2 2 /
 2x 1 2x 1 
g) y y' 
 4x 3 4x 3 
 A. B. C. D.
 / /
 2x 1 4x 3 4x 3 2x 1 2 4x 3 4 2x 1 2
 2 2 2 .
 4x 3 4x 3 4x 3 
 /
 2x 10 2x 10 
h) y y' 
 4x 3 4x 3 
 A. B. C. D.
 / /
 2x 10 . 4x 3 4x 3 . 2x 10 2 4x 3 4 2x 10 46
 2 2 2
 4x 3 4x 3 4x 3 
 / /
 3 1 2x 1 6
k). 
 y y' 3. 3. 2 2 .
 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 
 A. B. C. D.
 /
 2x 1 2x 1 
l). y y' 
 1 3x 1 3x 
 A. B. C. D.
 / /
 2x 1 1 3x 1 3x 2x 1 2 1 3x 3 2x 1 5
 y' 2 2 2 .
 1 3x 1 3x 1 3x 
 /
 1 x x2 1 x x2 
m). 
 y 2 y' 2 
 1 x x 1 x x 
 A. B. C. D.
 / /
 1 x x2 1 x x2 1 x x2 1 x x2 
 2
 1 x x2 
 1 2x 1 x x2 1 2x 1 x x2 
 2
 1 x x2 
 /
 2 / 2
 x2 3x 3 x 3x 3 x 1 x 1 x 3x 3 
n). 
 y y' 2
 x 1 x 1 
 A. B. C. D.
 2
 2x 3 x 1 x 3x 3 x2 2x
 2 2 .
 x 1 x 1 
 /
 2 / 2
 2x2 4x 1 2x 4x 1 x 3 x 3 2x 4x 1 
o). 
 y y' 2
 x 3 x 3 
 A. B. C. D.
 2
 4x 4 x 3 2x 4x 1 2x2 12x 11
 2 2 .
 x 3 x 3 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 2 2 3
a). y x7 x b). y 2x3 3x2 6x 1 c). y 1 2x2 
 32 4 3 2
d). y x x2 e). y x2 x 1 f). y x2 x 1 . x2 x 1 
 3 2 3
 2x 1 1 2 x 3 x 
g) h). k). 
 y y 5 y 2
 x 1 x2 x 1 1 x x
l). y 1 2x 2 3x2 3 4x3 
 LỜI GIẢI
 2
a). y x7 x . 
 A. B. C. D.
 /
Sử dụng công thức u .u 1.u' (với u x7 x )
 /
y' 2 x7 x . x7 x 2 x7 x 7x6 1 
 2
b). y 2x3 3x2 6x 1 . 
 A. B. C. D.
 /
Sử dụng công thức u với u 2x3 3x2 6x 1 
 /
y' 2 2x3 3x2 6x 1 2x3 3x2 6x 1 2 2x3 3x2 6x 1 6x2 6x 6 . 
 3
c). y 1 2x2 . 
 A. B. C. D.
 /
Sử dụng công thức u với u 1 2x2 
 2 / 2 2
y' 3 1 2x2 1 2x2 3 1 2x2 4x 12x 1 2x2 . 
 32
d). y x x2 .
 A. B. C. D.
 /
 Sử dụng công thức u với u x x2 
 31 / 31
y' 32 x x2 . x x2 32 x x2 . 1 2x 
 4
e). y x2 x 1 .
 A. B. C. D.
 /
 Sử dụng công thức u với u x2 x 1 
 3 / 3
y' 4 x2 x 1 . x2 x 1 4 x2 x 1 . 2x 1 
 3 2
f). y x2 x 1 . x2 x 1 
 A. B. C. D.
Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân.
 / /
 3 2 2 3
 2 2 2 2
y' x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 . 
 /
Sau đó sử dụng công thức u 2 / / 3
 y' 3 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 
 2 2 3
 y' 3 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 
 2
 2 2 2 2 
 y' x x 1 x x 1 3 2x 1 x x 1 2 2x 1 x x 1 .
 3
 2x 1 
g) y 
 x 1 
 A. B. C. D.
 / 2x 1
Bước đầu tiên sử dụng u , với u 
 x 1
 2 / 2 2
 2x 1 2x 1 2x 1 1 3 2x 1 
 y' 3. . 3. . 2 4 .
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 1
h). 
 y 5
 x2 x 1 
 A. B. C. D.
 /
 5
 1 2
Đầu tiên sử dụng công thức với u x x 1 
 u 
 /
 5
 2 4 /
 x x 1 5 x2 x 1 . x2 x 1 5 2x 1 
 y' 2 10 6
 5 2 2
 x2 x 1 x x 1 x x 1 
 2 x2 3 x3 
k). y 
 1 x x2
 A. B. C. D.
 /
 u 
Đầu tiên sử dụng 
 v 
 / /
 2 3 2 2 2 3
 2 x 3 x . 1 x x 1 x x 2 x 3 x 
 y' 2
 1 x x2 
 / / /
 2 3 2 3 3 2
Tính 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 
 2x 3 x3 3x2 2 x2 5x4 6x2 6x. 
 5x4 6x2 6x 1 x x2 1 2x 2 x2 3 x3 
Vậy 
 y' 2
 1 x x2 
l). y 1 2x 2 3x2 3 4x3 
 A. B. C. D.
 / / /
 y' 1 2x 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 1 2x 2 3x2 3 4x3 
 y' 2 2 3x2 3 4x3 1 2x 6x 3 4x3 1 2x 2 3x2 12x2 .
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y x2 x x 1 b). y 1 2x x2 c). y x2 1 1 x2 x2 1 1 x 1
d). e). f) 
 y y y x 1
 x 1 x x 1
 5
 1 1 x
g). y x h). y i). y x x x 
 x 1 x
 3
 4x 1 x 3 3
k). y l). y m). y x 2 n) y 1 1 2x 
 x2 2 x 1
 LỜI GIẢI
a). y x2 x x 1 
 A. B. C. D.
 / /. / 1 3 x
y' x2 x x 1/ 2x x'. x x .x 2x x .x 2x . 
 2 x 2
b). y 1 2x x2 .
 A. B. C. D.
 /
 Sử dụng công thức u với u 1 2x x2 
 /
 2
 1 2x x 1 x
y' . 
 1 2x x2 1 2x x2
c). y x2 1 1 x2 
 A. B. C. D.
 / /
 2 2
 / / x 1 1 x x x
y' x2 1 1 x2 . 
 2 x2 1 2 1 x2 x2 1 1 x2
 x2 1
d). y . 
 x
 A. B. C. D.
 / x2 1
Sử dụng công thức u với u 
 x
 /
 1 x2 1 1 1 
y' . 1 2 
 x2 1 x x2 1 x 
 2 2
 x x
 1 x 
e). . 
 y 
 1 x 
 A. B. C. D.
 / 1 x
Đầu tiên sử dụng công thức u với u 
 1 x
 /
 1 x 1 x 
y' 2 . 
 1 x 1 x 
 / /
 /
 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 
Tính 
 2
 1 x 1 x 1 1
 1 x 1 x 
 2 x 2 x 1
 2 2
 1 x x 1 x 
 1 x 1
Vậy y' 2 . .
 2
 1 x x 1 x 
 1
f). y x 1 
 x 1
 A. B. C. D.
 /
 /
 / 1 1 x 1 1 1
 y' x 1 . 
 2
 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 
 5
 1 
g). y x .
 x 
 A. B. C. D.
 / 1
 Bước đầu tiên sử dụng u với u x 
 x
 /
 4 / 4 
 1 1 1 1 x 
 y' 5 x . x 5 x . 2 
 x x x 2 x x 
 4
 1 1 1 
 5 x 
 x 2 x 2 x.x 
 1 x
h). y . 
 1 x
 A. B. C. D.
 / /
 /
 u 1 x 1 x 1 x 1 x 
Sử dụng được: y' 
 v 2
 1 x 
 /
 1 x 
 1 x . 1 x 
 2 1 x 1 x 3 x
 2 1 x .
 1 x 2 1 x. 1 x 2 1 x 1 x 
i) y x x x .
 A. B. C. D.
 Đầu tiên áp dụng u với u x x x 
 / 
 1 1 1 /
 y' x x x 1 . x x 
 2 x x x 2 x x x 2 x x 
 1 1 1 
 . 1 . 1 .
 2 x x x 2 x x 2 x 
 4x 1
k). y 
 x2 2
 A. B. C. D. (áp dụng u chia v đạo hàm)
 /
 2
 / x 2
 / 2 
 4x 1 x2 2 x2 2 . 4x 1 4. x 2 . 4x 1 
 2 
 y' 2 x 2 
 2 2
 2 
 x 2 x 2 
 2 x
 4 x 2 4x 1 2
 2 
 x 2 4 x 2 x 4x 1 x 8
 2
 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 2
 x3
l). y 
 x 1
 A. B. C. D.
(Áp dụng căn bặc hai của u đạo hàm).
 /
 1 x3 
 y' . 
 x3 x 1 
 2
 x 1
 / /
 / 3 3 2 3
 x3 x x 1 x 1 .x 3x x 1 x 2x3 3x2
Ta có: 
 2 2 2
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 1 2x3 3x2
Vậy 
 y' . 2 .
 x3 x 1
 2 
 x 1
 3
m). y x 2 . 
 A. B. C. D.
 / 3
Đầu tiên áp dụng u với u x 2 
 /
 1 3 1 2 3 x 2 
 y' . x 2 .3. x 2 . 
 3 3
 2 x 2 2 x 2 2 x 2
 3
n) y 1 1 2x . 
 A. B. C. D.
 /
Bước đầu tiên áp dụng u với u 1 1 2x 
 2
 /
 2 / 2 1 2x 6 1 1 2x 
 y' 3 1 1 2x . 1 1 2x 3 1 1 2x . . 
 2 1 2x 2 1 2x
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 3
 sin x 3
a). y xcos x b). y c). y sin 2x 1 
 1 cos x 
d). y sin 2 x2 e). y sin x 2x f). y 2sin2 4x 3cos3 5x 
 3 x 1 
h). 2 i). 2 2 j). 2 
 y 2 sin 2x y sin cos x.tan x y cos 
 x 1 
 sin 2x cos 2x 1
k). y l). y m). y sin x.cos 2x
 2sin 2x cos 2x cos2 x sin2 x
 5 3
n). y cos4 x sin4 x o). y sin2 cos tan4 3x q). y sin x cos x r). y 5sin x 3cos x s). y sin x2 3x 2 
 LỜI GIẢI
a). y xcos x . 
 A. B. C. D.
Ta áp dụng đạo hàm tích.
 /
y' x'cos x x. cos x cos x xsin x. 
 3
 sin x 
b) y .
 1 cos x 
 A. B. C. D.
 / sin x
 Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u với u 
 1 cos x
 2 /
 sin x sin 
y' 3 . 
 1 cos x 1 cos x 
 / / / 2
 sin x sin x 1 cos x 1 cos x .sin x cos x 1 cos x sin x
Tính : 
 2 2
 1 cos x 1 cos x 1 cos x 
 cos x cos2 x sin2 x 1
 .
 2
 1 cos x 1 cos x
 2
 sin x 1 3sin2 x
Vậy . 
 y' 3 . 3
 1 cos x 1 cos x 1 cos x 
c). y sin3 2x 1 . 
 A. B. C. D.
 /
Bước đầu tiên áp dung công thức u với u sin 2x 1 
 / /
Vậy y' sin3 2x 1 3sin2 2x 1 . sin 2x 1 . 
 / /
Tính sin 2x 1 : Áp dụng sin u , với u 2x 1 
 / /
Ta được: sin 2x 1 cos 2x 1 . 2x 1 2cos 2x 1 .
 y' 3.sin2 2x 1 .2cos 2x 1 6sin2 2x 1 cos 2x 1 . 
d). y sin 2 x2 . 
 A. B. C. D.
 /
Áp dụng công thức sin u với u 2 x2 
 /
 2
 / 2 x x
y' cos 2 x2 . 2 x2 cos 2 x2 . .cos 2 x2 . 
 2 2 x2 2 x2
e). y sin x 2x . 
 A. B. C. D.
 /
Áp dụng u , với u sin x 2x 
 /
 sin x 2x cos x 2
y' . 
 2 sin x 2x 2 sin x 2x
f). y 2sin2 4x 3cos3 5x . A. B. C. D.
 /
Bước đầu tiên áp dụng u v 
 / /
 y' 2sin2 4x 3 cos3 5x 
 / /
Tính sin2 4x : Áp dụng u , với u sin 4x, ta được:
 / / /
 sin2 4x 2sin 4x. sin 4x 2sin 4x.cos 4x 4x 4sin 8x. 
 / / /
Tương tự: cos3 5x 3cos2 5x. cos 5x 3cos2 5x. sin 5x . 5x 
 15
 15cos2 5x.sin 5x cos 5x.sin10x. 
 2
 45
Kết luận: y' 8sin 8x cos 5x.sin10x 
 2
 3
h). y 2 sin2 2x .
 A. B. C. D.
 /
 Áp dụng u , với u 2 sin2 2x. 
 2 / 2 /
 y' 3 2 sin2 2x 2 sin2 2x 3 2 sin2 2x sin2 2x . 
 / /
Tính sin2 2x , áp dụng u , với u sin 2x. 
 / / /
 sin2 2x 2.sin 2x sin 2x 2.sin 2x.cos 2x 2x 2sin 4x. 
 2
 y' 6sin 4x 2 sin2 2x . 
i). y sin cos2 x.tan2 x .
 A. B. C. D.
 /
 Áp dụng sin u , với u cos2 x tan2 x 
 /
 y' cos cos2 x.tan2 x . cos2 x.tan2 x . 
 / / /
Tính cos2 x.tan2 x , bước đầu sử dụng u.v , sau đó sử dụng u . 
 / / /
 cos2 x.tan2 x cos2 x .tan2 x tan2 x .cos2 x
 / /
 2cos x cos x tan2 x 2 tan x tan x cos2 x
 1
 2sin xcos x tan2 x 2 tan x cos2 x sin 2x tan2 x 2 tan x. 
 cos2 x
Vậy y' cos cos2 x.tan2 x sin 2x tan2 x 2 tan x 
 x 1 
j). 2 . 
 y cos 
 x 1 
 A. B. C. D.
 / x 1 
Áp dụng với 
 u , u cos 
 x 1 
 / /
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 y' 2.cos . cos 2.cos .sin . 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1