Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 1: Lý thuyết đạo hàm (Có lời giải)

 LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM
 TÓM TẮT GIÁO KHOA
1). Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Giới hạn 
 f x f x0 
hữu hạn nếu có của tỉ số khi x x0 được gọi là đạo hàm của 
 x x0
hàm số đã cho tại x0 , kí hiệu f ' x0 hay y' x0 . Như vậy ta có 
 f x f x0 
f ' x0 lim .
 x x0
 x x0
Nhận xét:
 y
Nếu đặt x x x và y f x x f x thì ta có f ' x lim . Trong 
 0 0 0 0 x 0 x
đó x được gọi là số gia của biến số tại x0 và y gọi là số gia của hàm số 
ứng với số gia x tại x0 .
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f(x) liên tục tại x0 . Tuy nhiên 
điều ngược lại chưa chắc đúng.
2). Cho đường cong (C), điểm M0 cố định thuộc (C) và M C . Gọi kM là 
hệ số góc của cát tuyến M0M . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0 lim kM . 
 xM x0
Khi đó đường thẳng M0T qua M0 có hệ số góc k0 được gọi là tiếp tuyến của 
(C) tại M0 . Điểm M0 gọi là tiếp điểm.
3). Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của 
đồ thị hàm số tại đó tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) .
Hệ quả:
Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm 
số y f x tại điểm M0 x0 ;f(x0 ) có phương trình: y f ' x0 x x0 f x0 .
 4). Khí hiệu D là một khoảng hay là hợp của những khoảng nào đó. Nếu 
hàm số f(x) có đạo hàm tại tại mọi điểm x0 D thì ta nói hàm số có đạo hàm 
trên D. Khi đó đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x tùy ý của D được kí hiệu 
y' hay f ' x . Ta nói y' hay f ' x là đạo hàm của hàm số y f x trên tập D.
 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
DẠNG 1: Tìm số gia của hàm số.
PHƯƠNG PHÁP
Để tính số gia của hàm số y f x tại điểm x0 tương ứng với số gia x cho 
trước ta áp dụng công thức: y f x0 x f x0 .
Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y f x x3 3x2 2 , biết rằng: a). x0 1; x 1 b). x0 1; x 0,1
 LỜI GIẢI
 3 2 3 2
a). Ta có y f xo x f x0 f 2 f 1 2 3.2 2 (1 3.1 2) 2 
b). Ta có y f xo x f x0 f 0,9 f 1 
 0,93 3.0,92 2 (13 3.12 2) 0,229
 y
Ví dụ 2: Tính y và của các hàm số sau theo x và x 
 x
a). y 2x 3 b). y 2x2 3x 1 c). y 2x2 1 d). y 2x3 3x2 
 LỜI GIẢI
 y
a). Ta có y f x x f x 2 x x 3 2x 3 2 . Suy ra 2
 o 0 o 0 x
 2
 2 
b). Ta có y f xo x f x0 2 xo x 3 xo x 1 2x0 3x0 1 
 2
 4x0 x 2 x 3 x x 4x0 2 x 3 . 
 y x 4x 2 x 3 
Suy ra 0 4x 2 x 3 .
 x x 0
 2 2
c). Ta có y f xo x f x0 2 xo x 1 2x0 1
 x(2x0 x)
 .
 2 2
 2 xo x 1 2x0 1
 y x(2x x) 2x x
Suy ra 0 0 .
 x 2 2
 2 2 
 x 2 xo x 1 2x0 1 2 xo x 1 2x0 1
 3 2
 3 2
d). Ta có y f xo x f x0 2 xo x 3 xo x 2x0 3x0 
 3 2 2 3 2 2 3 2
 2 x0 3x0 x 3x0 ( x) ( x) 3 x0 2x0 x ( x) 2x0 3x0 
 2 2 
 x 6x0 6x0 x 3( x) 6x0 3 x 
 2 2 
 y x 6x0 6x0 x 3( x) 6x0 3 x 
Suy ra 
 x x
 2 2
 6x0 6x0 x 3( x) 6x0 3 x .
DẠNG 2: Tìm đạo hàm bằng định nghĩa 
PHƯƠNG PHÁP
Để tìm đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 bằng định nghĩa ta có thể 
sử dụng một trong hai cách sau đây:
Cách 1: y
 Cho x một số gia x f x x f x . Lập tỉ số .
 0 0 0 x
 y
 Tìm giới hạn lim 
 x 0 x
 Kết luận: 
 y y
+ Nếu lim tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đaọ hàm là: f ' x lim 
 x 0 x 0 x 0 x
 y
+ Nếu lim không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo hàm.
 x 0 x 0
Cách 2:
 f x f x 
 Tính giá trị của lim 0 .
 x x0
 x x0
 Kết luận:
 f x f x0 
+ Nếu lim tồn tại hữu hạn bằng L thì tại x0 , ta có f ' x0 L 
 x x0
 x x0
 f x f x0 
+ Nếu lim không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo 
 x x0
 x x0
hàm.
Ví dụ : Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã 
chỉ ra:
 2 3
a). y 2x x 1 tại x0 2 b). y x x 2 tại x0 2
 2x 1
c). y 2x 1 tại x 1 d). y tại x 3
 0 x 1 0
 LỜI GIẢI
a). Cách 1: Cho x0 2 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương 
ứng: 
 2
 2 
 y f x0 x f x0 2 2 x 2 x 1 2.2 2 1 x 9 2 x 
 y x 9 2 x 
Ta có f ' 2 lim lim lim 9 2 x 9 .
 x 0 x x 0 x x 0
 f x f 2 2x2 x 1 11 2x2 x 10
Cách 2: lim lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 2 2x 5 
 lim lim 2x 5 9
 x 2 x 2 x 2
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 2 và f ' 2 9 .
 3
b). y x x 2 tại x0 2 Cách 1: Cho x0 2 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương 
ứng: 
 3
 y f 2 x f 2 2 x 2 x 1 12 13 x 6( x)2 ( x)3
 x 13 6 x ( x)2 
 2
 y x 13 6 x ( x) 
Ta có f ' 2 lim lim lim 13 6 x ( x)2 13 .
 x 0 x x 0 x x 0 
 f x f 2 x3 x 2 12 x3 x 10
Cách 2: lim lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 2 x2 2x 5 
 lim lim x2 2x 5 13
 x 2 x 2 x 2 
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 2 và f ' 2 13 .
c). y 2x 1 tại x0 1
Cách 1: Cho x0 1 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương 
ứng: 
 2 x
 y f x0 x f x0 f 1 x f 1 2(1 x) 1 3 
 3 2 x 3
 y 2 x 2 1
Ta có f ' 1 lim lim lim .
 x 0 x x 0 x 3 2 x 3 x 0 3 2 x 3 3
 f x f 1 2x 1 3 2 x 1 
Cách 2: lim lim lim 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 3 
 2 1
 lim 
 x 1 2x 1 3 3
 1
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 1 và f ' 1 .
 3
 2x 1
d). y tại x 3
 x 1 0
Cách 1: Cho x0 3 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương 
ứng: 
 2(3 x) 1 5 5 2 x 5 3 x
 y f x x f x f 3 x f 3 
 0 0 3 x 1 4 4 x 4 4(4 x)
 y 3 x 3 3
Ta có f ' 3 lim lim lim .
 x 0 x x 0 x.4(4 x) x 0 4(4 x) 16
 2x 1 5
 f x f 3 3(x 3) 3 3
Cách 2: lim lim x 1 4 lim lim 
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (x 3)(x 1)4 x 3 (x 1)4 16 3
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x 3 và f ' 3 .
 0 16
 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
 TÓM TẮT GIÁO KHOA
1). Định lý 1: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên (a;b) thì 
tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và
 u v ' u' v'; u v ' u' v'
Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tổng hay hiệu của hữu hạn các hàm số.
2). Định lý 2: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên (a;b) thì 
tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và u.v ' u'v uv' .
Đặc biệt : a.u ' a.u' ( a là hằng số),
Chú ý: Định lý 2 có thể mở rộng cho tích của hữu hạn các hàm số. Chẳng 
hạn:
 u.v.w ' u'vw uv'w uvw' 
3). Định lý 3: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên (a;b) và 
 u
v x 0 trên (a;b) thì thương cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và
 v
 u u'v uv'
 ' . 
 v v2
 1 v'
Hệ quả: ' v 0 . 
 v v2
4). Cho hai hàm số y f u và u g x . Ta gọi hàm số y F x f g x là 
hàm số hợp của hai hàm số u g x và y f u . Tập xác định của hàm số 
f g x là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức f g x có nghĩa.
5). Định lý 4: Nếu hàm số u u x có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số 
y f u có đạo hàm tại điểm u0 u x0 thì hàm số hợp 
 cũng có đạo hàm tại điểm và hay 
y F x f u x x0 F' x0 f ' u0 .u x0 
y'x y'u .u'x .
 1
Hệ quả: un ' n.un 1.u'(n N và n 2); u ' .u' 
 2 u
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 
Giả sử u u(x),v v(x),w w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó: 1). (u + u - w)' = u' + v' - w'; 2). (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' (k R )
 / /
 u u'v v'u 1 v'
 4). 5).. 
 v v2 v v2
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x))
bản
(C)' = 0
 / /
 x x 1 , ¡ ,x 0 u u 1 u', ¡ ,u 0 
 1 u'
 ( x)' (x > 0) ( u)' (u > 0)
 2 x 2 u
 1 1 1 u'
 ( )' (x 0) ( )' (u 0)
 x x2 u u2
 / /
 1 n 1 n
 , x 0 .u', u 0 
 xn xn 1 un un 1
(sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u'
(cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u'
 1 u'
 tan x ' 1 tan2 x tan u ' 1 tan2 u u'
 cos2 x cos2 u
(x k , k Z) (u k , k Z)
 2 2
 1 u'
 cot x ' 1 cot2 x cot u ' 1 cot2 u u'
 sin2 x sin2 u
(x k , k Z). (u k , k Z).
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM NHANH
 / /
 ax b ad bc ax2 bx c adx2 2aex be dc
 2 2
 cx d (cx d) dx e (dx e) /
 ax2 bx c (ae bd)x2 2(af dc)x bf ec
 2 2 2
 dx ex f (dx ex f)
 BÀI TẬP TỔNG HỢP