Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 5 - Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Có đáp án)

 CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM
 BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Mục tiêu
 ❖ Kiến thức
 + Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.
 + Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số. 
 + Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một 
 điểm.
 + Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán vật lý.
 ❖ Kĩ năng
 + Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa.
 + Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 
 một điểm.
 + Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí.
 Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x0 a;b .
 f x f x 
 Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim 0 thì giới hạn đó 
 x x
 0 x x0
 được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại x0 và kí hiệu là 
 f x0 có nghĩa là 
 f x f x0 y
 f x0 lim lim
 x x x 0
 0 x x0 x
 Trong đó 
 x x x0 gọi là số gia của đối số x tại x0 .
 y f x f x0 f x0 x f x0 gọi là số gia tương ứng 
của hàm số.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
 f x f x0 
 f x0 lim ;
 x x 
 0 x x0
 f x f x0 
 f x0 lim .
 x x 
 0 x x0
Hệ quả: Hàm f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f x0 
và f x0 , đồng thời f x0 f x0 .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- Hàm số y f x có đạo hàm trên a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi 
điểm thuộc a;b .
- Hàm số y f x có đạo hàm trên a;b nếu f x 
 + Có đạo hàm tại mọi x a;b ;
 + Có đạo hàm trái f b ;
 + Có đạo hàm phải f a .
 Chú ý: 
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
 + Nếu y f x gián đoạn 
 Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0 .
 tại x thì nó không có đạo hàm 
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm 0
 tại x0 .
 Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp 
 Trang 2 tuyến M 0T của đồ thị hàm số tại điểm M 0 x0 ; f x0 . + Nếu y f x liên tục tại 
 Phương trình tiếp tuyến x0 có thể không có đạo hàm tại 
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm 
 x0 .
M 0 x0 ; f x0 là y y0 f x0 x x0 trong đó y0 f x0 .
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
 + Vận tốc tức thời : v t0 s t0 ;
 + Gia tốc: a t0 v t0 s t0 ;
 + Cường độ dòng điện tức thời: I t0 Q t0 .
 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
 f x f x0 y
 f x0 lim lim
 x x x 0
 Đạo hàm tại 0 x x0 x
 một điểm x x x0 ; y f x f x0 
 ĐẠO HÀM Đạo hàm trái
 f x f x0 
 f x0 lim .
 x x 
 0 x x0
 Đạo hàm một bên 
 Đạo hàm trên một khoảng
 Hàm số y f x có đạo Đạo hàm phải
 f x f x 
 f x lim 0 ;
 hàm trên a;b nếu nó có 0 
 x x0
 x x0
 đạo hàm tại mọi điểm thuộc 
 a;b 
 Đạo hàm trên một đoạn
 Hàm số y f x có đạo 
 hàm trên a;b nếu 
 f x ,x a;b 
 f b 
 f a 
 Trang 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm 
 số y f x tại điểm M 0 x0 ; f x0 là
 Ý nghĩa hình học
 y y0 f x0 x x0 
 k f x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
 Ý NGHĨA 
 CỦA ĐẠO Vận tốc tức thời
 HÀM v t0 s t0 ;
 Ý nghĩa vật lí
 Gia tốc tức thời
 a t0 v t0 ;
 Cường độ tức thời
 I t0 Q t0 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm 
Bài toán 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số tại một điểm 
 Phương pháp giải
 Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số 
 2
 y 2x 3 tại x0 2 .
 Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x Hướng dẫn giải
 Giả sử x là số gia của đối số tại x0 2 .
 tại điểm x0 . Tính y f x0 x f x0 
 Ta có:
 2
 y y f 2 x f 2 2 2 x 3 2.22 3 
 Bước 2: Lập tỉ số .
 x
 2 x x 4 .
 y
 Bước 3: Tìm lim .
 x 0 x y 2 x x 4 
 Tỉ số 2 x 8 .
 x x
 y
 lim lim 2 x 8 8.
 x 0 x x 0
 Trang 4 Vậy f 2 8.
 y
 + Nếu lim tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm 
 x 0 x
 y
 số có đạo hàm f x0 lim ;
 x 0 x
 y
 + Nếu lim không tồn tại hữu hạn thì tại 
 x 0 x
 x0 hàm số không có đạo hàm.
 Ví dụ mẫu
 2x 1
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y tại x 3.
 x 1 0
 Hướng dẫn giải
 Giả sử x là số gia của đối số tại x0 3.
 2 3 x 1 5 5 2 x 5 3 x
 Ta có: y f 3 x f 3 ;
 3 x 1 4 4 x 4 4 4 x 
 y 3 x 3
 .
 x x.4 4 x 4 4 x 
 y 3 x 3 3
 Do đó lim lim lim .
 x 0 x x 0 x.4 4 x x 0 4 4 x 16
 3
 Vậy f 3 .
 16
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y 2x 1 tại x0 1.
 Hướng dẫn giải
 Giả sử x là số gia của đối số tại x0 1.
 2 x
 Ta có: y f 1 x f 1 2 1 x 1 1 ;
 2 x 1 1
 y 2 x 2
 ;
 x x 2 x 1 1 2 x 1 1
 y 2
 lim lim 1.
 x 0 x x 0 2 x 1 1
 Vậy f 1 1.
Ví dụ 3. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y sin x tại x .
 0 3
 Hướng dẫn giải
 Trang 5 
 Giả sử x là số gia của đối số x .
 0 3
 x x
 Ta có: y f x f sin x sin 2cos sin ;
 3 3 3 3 3 2 2
 x
 sin
 y x 2
 cos .
 x 3 2 x
 2
 x
 sin
 y x 2
 Do đó lim lim cos .
 x 0 x x 0 3 2 x
 2
 x
 sin
 2 y x 1
 Vì lim 1 nên lim lim cos cos .
 x 0 x x 0 x x 0 3 2 3 2
 2
 1
 Vậy f .
 3 2
 2
 x 1 , x 0
Ví dụ 4. Chứng minh rằng hàm số f x không có đạo hàm tại x 0 nhưng có đạo 
 2
 x , x 0
hàm tại x 2 .
 Hướng dẫn giải
 Ta có 
 lim f x lim x 1 2 1; lim f x lim x2 0 lim f x lim f x .
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 
 Suy ra hàm số gián đoạn tại x 0 nên không có đạo hàm tại đó.
 f 2 x f 2 1 x 2 12
 lim lim lim 2 x 2.
 x 0 x x 0 x x 0
 Vậy hàm số y f x có đạo hàm tại x 2 và f 2 2.
 2x2 x 1
Ví dụ 5. Chứng minh rằng hàm số f x liên tục tại x 1 nhưng không có đạo hàm 
 x 1
tại điểm đó.
 Hướng dẫn giải
 Vì f x là hàm số sơ cấp xác định tại x 1 nên nó liên tục tại đó.
 f x f 1 2x
 Ta có: f 1 lim lim 1;
 x 1 x 1 x 1 x 1
 f x f 1 
 f 1 lim lim 2 2.
 x 1 x 1 x 1 
 Trang 6 Do đó f 1 f 1 nên f x không có đạo hàm tại x 1.
 Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số y f x xác định 
 trên khoảng a;b như hình vẽ.
 Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm 
 x1, x2 , x3 , x4.
 a, Hàm số có liên tục không?
 b, Hàm số có đạo hàm không?
 Tính đạo hàm nếu có.
 Hướng dẫn giải
 a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x1, x3 vì đồ thị bị đứt tại các điểm 
 đó. Hàm số liên tục tại x2 , x4 vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các 
 điểm đó.
 b, Tại các điểm x1, x3 hàm số không có đạo hàm do hàm số gián 
 đoạn tại các điểm x1, x3.
 Hàm số không có đạo hàm tại x2 vì đồ thị bị gãy (không có tiếp 
 tuyến tại đó).
 Hàm số có đạo hàm tại x4 và f x4 0 vì tại x4 đồ thị hàm số có 
 tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp 
 tuyến bằng 0).
Bài toán 2. Dùng định nghĩa tìm đạo hàm trên một khoảng
 Phương pháp giải
 Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số x tại Ví dụ. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm 
 2
 x0 . số y x trên khoảng ; ?
 Tính y f x0 x f x0 . Hướng dẫn giải
 y Giả sử x là số gia của đối số x .
 Bước 2: Lập tỉ số .
 x Ta có:
 y 2 2
 Bước 3: Tìm lim . y f x x f x x x x
 x 0 x
 2 x.x x 2 .
 • Hàm số y f x có đạo hàm trên 
 2
 y 2 x.x x 
 a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm Tỉ số 2x x.
 x x
 trên a;b .
 Trang 7 Hàm số y f x có đạo hàm trên y
 • lim lim 2x x 2x.
 x 0 x x 0
 a;b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm 
 Vậy f x 2x.
 thuộc a;b đồng thời tồn tại đạo hàm 
 trái f b và đạo hàm phải f a .
 Ví dụ mẫu 
 x
 Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y trên các 
 x 1
 khoảng ;1 và 1; ?
 Hướng dẫn giải
 Giả sử x là số gia của đối số x .
 x x x x
 Ta có y f x x f x 
 x x 1 x 1 x x 1 x 1 
 y x 1
 x x. x x 1 x 1 x x 1 x 1 
 y 1 1
 lim lim .
 x 0 x x 0 x x 1 x 1 x 1 2
 1
 Vậy f x .
 x 1 2
 Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y cos x trên khoảng ; ?
 Hướng dẫn giải
 Giả sử x là số gia của đối số x .
 x x
 Ta có: y f x x f x cos x x cos x 2sin x .sin
 2 2
 x x x x
 2sin x .sin sin x .sin
 y 2 2 2 2
 x x x
 2
 x x
 sin x .sin
 y 2 2
 lim lim sin x.
 x 0 x x 0 x
 2
 Vậy f x sin x.
Bài toán 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có đạo hàm
 Phương pháp giải
 Trang 8 Sử dụng tính chất x2 1
 khi x 1
 Hàm f x có đạo hàm tại x khi và chỉ khi Ví dụ. Tìm m để hàm số f x x 1 
 0 
 2m khi x 1
 tồn tại f x và f x đồng thời 
 0 0 có đạo hàm tại x 1.
 f x0 f x0 . Hướng dẫn giải
 x2 1
 Ta có lim f x lim 2; f 1 2m.
 x 1 x 1 x 1
 Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì f x phải liên 
 tục tại x 1, suy ra 
 lim f x f 1 2m 2 m 1.
 x 1
 Thay m 1 vào hàm số f x thỏa mãn có đạo hàm 
 x 1.
 Ví dụ mẫu
 x2 3x khi x 2
Ví dụ 1. Tìm a, b để hàm số f x có đạo hàm tại x 2
 ax b khi x 2
 Hướng dẫn giải
 Ta có 
 lim f x lim x2 3x 2; lim f x lim ax b 2a b
 x 2 x 2 x 2 x 2 
 Để hàm số có đạo hàm tại x 2 thì hàm số liên tục tại x 2 .
 Do đó 2a b 2 b 2a 2 . Ta lại có:
 f x f 2 x2 3x 2
 lim lim lim x 1 1;
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 f x f 2 ax b 2 ax b 2
 lim lim lim .
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 ax b 2 ax 2a 2 2 ax 2a
 Do b 2a 2 nên lim lim lim a
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 Để hàm số có đạo hàm tại x 2 thì 
 f x f 2 f x f 2 a 1 a 1
 lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2 b 2a 2 b 4
 cos x, x 0 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f x không có đạo hàm tại x 0 .
 sin x, x 0 
 Hướng dẫn giải
 Ta có:
 lim f x lim cos x 1; lim f x lim sin x 0 lim f x lim f x .
 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 
 Trang 9 Suy ra hàm số gián đoạn tại x 0 nên không có đạo hàm tại đó.
 x3
 khi x 1
 Ví dụ 3. Tìm a,b để hàm số f x 3 có đạo hàm tại x 1.
 ax b khi x 1
 Hướng dẫn giải
 Điều kiện cần
 1 x3 1
 Ta có f 1 ; lim f x lim và lim f x lim ax b a b.
 3 x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 
 Để hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f x liên tục tại x 1.
 1
 Do đó lim f x lim f x f 1 a b .
 x 1 x 1 3
 Điều kiện đủ:
 x3 1
 2
 f x f 1 x x 1
 f 1 lim lim 3 3 lim 1.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3
 f x f 1 f x f 1 ax b a b ax a
 f 1 lim lim lim lim a.
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 2
 Để hàm số f x có đạo hàm tại x 1 thì f 1 f 1 a 1 b .
 3
 2
 Vậy a 1;b thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
 3
 Bài tập tự luyện dạng 1
 3
Câu 1: Số gia của hàm số f x x tại điểm x0 1 ứng với x 1 là 
 A. 0. B. 1.C. 7. D. 9.
 y
Câu 2: Biểu thức y và của hàm số y x2 1 tính theo x và x là
 x
 y 2 y
 A. y 0, 0. B. y x 2x. x, x 2x.
 x x
 2 y 2 y
 C. y 2x. x x 2, 2x x. D. y x , x.
 x x
Câu 3: Đạo hàm của hàm số y 2x 1 tại điểm x0 1 là
 A. -1.B. 0.C. 1. D. 2.
 2
Câu 4: Đạo hàm của hàm số y x x tại điểm x0 là
 2 2 2 
 A. f x0 lim x x . B. f x0 lim x x x0 x0 .
 x 0 x 0 
 2 
 C. f x0 lim 2x0 x x x . D. f x0 lim  x 2x0 1.
 x 0 x 0
 Trang 10