Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Tổ hợp. Xác suất

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ④: TỔ HỢP - XÁC SUẤT
 Chủ đề: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
 _ Vấn đề 1. Giới hạn dãy số.
 -Phương pháp: 
 ❶. Một vài giới hạn đặc biệt
 . limun 0 lim un 0 ; hay lim0 0 ;
 1 1 * 1 1
 . lim 0 ; lim k 0, k 0,k ¥ ; lim 0 ;lim 0 ;
 n n n 3 n
 . lnếuim q n 0 ; q 1
 .Cho hai dãy số un và vn 
 Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 .
 ❷. Định lí về giới hạn hữu hạn
 Nếu limun a và limvn b và c là hằng số. Khi đó ta có :
 • lim un vn a b • lim un vn a b
 un a
 • lim un.vn a.b • l im , b 0 
 vn b
 3 3
 • lim c.un c.a .• lim un a và lim un a
 • Nếu un 0 với mọi n thì a 0 và lim un a .
 ❸. Casio: 
 10
  Tính limun thì nhập un và ấn phím CALC n 10 .
 n 
  Nếu dãy số có chứa mũ thì chọn calc n= {50;60;.;100}.
  Chú ý có thể sử dụng liên hợp khi gặp dạng P n Q n ; Q n P n ,
 _Bài tập minh họa:
 1
 Câu 1. lim bằng
 5n 3
 1 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 5
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A . Casio
 P n a nm a nm 1 ... a n a ;
 m m 1 1 0 .
 p p 1
 Q n bpn bp 1n ... b1n b0
 P n a
 Nếu m p thì lim m .
 Q n bp
 P n 
 Nếu m p thì lim 0 .
 Q n 1
 lim 0.
 5n 3
 n3 4n 5
Câu 2. Tính lim
 3n3 n2 7
 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ.1. Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 4 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A . Casio
 Nhận xét cả tử mẫu là đa thức bậc 3 nên 
 4 5
 3 1 
 n 4n 5 2 3 1
 lim lim n n .
 3 2 1 7
 3n n 7 3 3
 n n3
 n
 3 
Câu 3. lim bằng
 5 
 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 2 .
 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A
Áp dụng lim qn 0 ( q 1) . . Casio
 n
 3 
 lim 0
 5 
 2 5n 2
 Câu 4. Kết quả giới hạn lim là 
 3n 2.5n
 25 5 5
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ.1. Ⓓ. .
 2 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn A . Casio
 n
 Áp dụng lim q 0 ( q 1) .
 n
 1 2
 n 2 2. 5
 2 5 5 25
  lim n n lim n .
 3 2.5 3 2
 2
 5 
 2 2 2
Câu 5. Tổng vô hạn sau đây S = 2+ + + ...+ + ... có giá trị bằng
 3 32 3n 8
 Ⓐ. . Ⓑ.3. Ⓒ. 4 . Ⓓ. 2 .
 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 . Casio
Chọn B
 2 2 2
Ta có 2; ; ;...; ;...là một cấp số nhân lùi vô hạn với công 
 3 32 3n
 1
bội q = < 1.
 3
 2 2 2 1
 S = 2+ + + ...+ + ...= 2. = 3.
 2 n 1
 3 3 3 1-
 3
Câu 6. lim 2 3n 4 n 1 3 là
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ.81. Ⓓ. 2 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 . Casio
Chọn B
 4 3
 4 3 2 1 
Ta có lim 2 3n n 1 lim n7 3 1 .
 n n 
Câu 7. Tính giới hạn lim n n2 4n .
 Ⓐ. 3 . Ⓑ.1. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 4 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 . Casio
Chọn C
 n n2 4n n n2 4n 
Ta có lim n n2 4n lim
 n n2 4n
 4n 4
 lim lim 2 .
 2 4
 n n 4n 1 1 
 n
_Bài tập áp dụng: 
 n3 2n
Câu 1: Tính giới hạn L lim .
 3n2 n 2
 1
 Ⓐ. L = + ¥ . Ⓑ. L = 0 . Ⓒ. L = . Ⓓ. L = - ¥ .
 3 5n 3
Câu 2: Tính lim .
 2n 1
 5
 Ⓐ. 1. Ⓑ. . Ⓒ. 2. Ⓓ. .
 2
 3 n
Câu 3: Giá trị của lim bằng
 n n 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ.3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 3.
 n3 4n 5
Câu 4: lim bằng
 3n3 n2 7
 1 1 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 4 2
 n2 3n3
Câu 5: Tính giới hạn lim .
 2n3 5n 2
 1 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 5 2 2
Câu 6: Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0
 n n n
 2 5 4 n
 Ⓐ. lim . Ⓑ. lim . Ⓒ. lim . Ⓓ. lim 2 .
 3 3 3 
 2n 1
Câu 7: Giới hạn của dãy số u với u ,n ¥ * là
 n n 3 n
 2 1
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. . Ⓒ.1. Ⓓ. .
 3 3
 10n 3
Câu 8: Tính giới hạn I lim ta được kết quả
 3n 15
 10 10 3 2
 Ⓐ. I . Ⓑ. I . Ⓒ. I . Ⓓ. I .
 3 3 10 5
 n
 2018 
Câu 9: lim bằng.
 2019 
 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 2 .
 2
 2018
Câu 10: lim bằng
 n
 Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ.1. Ⓓ. .
Câu 11: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
 n n n n
 Ⓐ. 0,999 . Ⓑ. 1 . Ⓒ. 1,0001 . Ⓓ. 1,2345 .
 8n2 3n 1
Câu 12: Tính lim .
 4 5n 2n2
 1 1
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. . Ⓒ. 4 . Ⓓ. .
 2 4
 3n 4.2n 1 3
Câu 13: lim bằng
 3.2n 4n
 Ⓐ. . Ⓑ.1. Ⓒ. 0 . Ⓓ. . n3 2n
Câu 14: lim bằng
 1 3n2
 1 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3
Câu 15: Kết quả L lim 5n 3n3 là
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 6 .
 1 1 1
Câu 16: Cho dãy số u với un ... . Ta có limu bằng
 n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 n
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ.1. Ⓓ. 2 .
 2 4
Câu 17: lim n n 1 n bằng
 1 1 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 3 2
 4n2 n 2
Câu 18: Cho dãy số (un ) với u . Nếu (un ) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của a là
 n an2 5
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 3 .
Câu 19: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1 ?
 3n 1 2n 3n2 n
 Ⓐ. lim . Ⓑ.lim .
 5 3n 4n2 5
 2n3 3
 Ⓒ. lim n2 + 2n - n2 + 1 . Ⓓ. lim .
 ( ) 1 2n2
Câu 20: Giới hạn lim n n 4 n 3 bằng
 7 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B
 11.A 12.C 13.C 14.B 15.B 16.A 17.D 18.B 19.C 20.D _ Vấn đề 2. Giới hạn hàm số lim f x 
 x xo
 -Phương pháp: 
 ❶. Định lý:
 Giả sử lim f x L và lim g x M . Khi đó:
 x x0 x x0
  lim f x g x L M ;  lim f x g x L M
 x x0 x x0
 f x L
  lim f x .g x L.M ;  l(nếuim ) M 0
 x x
 x x0 0 g x M
 Nếu f x 0 với mọi x J \ x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L 0 và 
 lim f x L
 x x0
 ❷. Một vài giới hạn đặc biệt.
  vớilim xk nguyên dương;k 
 x 
  nếulim xk là số lẻ k
 x 
  nếulim xk là số chẵn k
 x 
 ❸. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
 f x 
 Nếu lim f x L 0 và lim g x thì lim 0
 x x0 x x0 x x0 g x 
  lim f x .g x bằng (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới 
 x x0
 hạn khác dấu.Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp :
 x x0 , x x0 , x và x 
 -Phương pháp Casio: Quy ước calc x như sau: 
 10 15 10 15
 • x x 10 x x 10
 _Bài tập minh họa:
 6 6
 • x2 x x x 10 x x x x 10
 x 4 0 0 0 o
 6
Câu 1: lim 2 bằng 
 x 2•x x3 x x20 x x0 10
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D
 x2 4 x 2 x 2 x 2  . Casio
 lim lim lim 4.
 x 2 x2 3x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
Câu 2: lim bằng
 x 1 x 1
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. Ⓓ. .
 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  . Casio
 lim x 2 3 0
 x 1
 x 2 
 lim vì lim x 1 0 .
 x 1 x 1 x 1
 x 1 0,x 1
 x 2
Câu 3: lim bằng
 x x 3
 2
 Ⓐ. . Ⓑ.1. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 3 .
 3
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  . Casio
 2
 1 
 x 2 x
 lim lim 1.
 x x 3
 x 3 1 
 x
Câu 4: Tìm giới hạn M lim x2 4x x2 x . Ta được M bằng
 x 
 3 1 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
  . Casio dùng liên hợp
 3x
 Ta có : M lim x2 4x x2 x lim
 x x x2 4x x2 x
 3x 3 3
 lim lim .
 x 4 1 x 4 1 2
 x . 1 1 1 1 
 x x x x
 a a
 Câu 5: Biết rằng lim 2x2 3x 1 x 2 2 , ( a; b ¢ , tối giản) . Tổng a b có giá trị là
 x b b
 Ⓐ. 1. Ⓑ.5 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 7 .
 Chọn D PP nhanh trắc nghiệm
 2x2 3x 1 2x2  . Casio
 lim 2x2 3x 1 x 2 lim
 x x 2x2 3x 1 x 2
 1 1
 x 3 3 
 x
 lim lim x 
 x 3 1 x 3 1
 2 2
 x 2 2 2 2
 x x x x
 3 2
 4
 Vậy a 3 ; b 4 a b 7 .
_Bài tập áp dụng:
 x2 3x 2
Câu 1: lim bằng
 x 1 x 1
 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ.1. Ⓓ. 1.
 3
 x2 3x 2
Câu 2: Tính giới hạn lim
 x 1 x 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 1. Ⓒ. 2 . Ⓓ. 2 .
 x2 3x 2
Câu 3: Tìm lim .
 x 2 x 2
 Ⓐ. 1. Ⓑ.3 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 1
 x2 4
Câu 4: Tìm lim .
 x 2 x3 8
 1 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ.0. Ⓒ. . Ⓓ. 
 2 3
 x2 - 2x- 3
Câu 5: Giá trị của lim là
 x® - 1 x2 - 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ.2. Ⓒ.- ¥ . Ⓓ. 0.
 x2 5x 6
Câu 6: lim là 
 x 2 4x 1 3
 3 2 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 2 2
 x2 3x 4 2
Câu 7: Giới hạn lim bằng
 x 0 x
 1 1 3 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 4 3
Câu 8: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có kết quả là 0 ? x 1 2x 5 x2 1
 Ⓐ. lim . Ⓑ. lim . Ⓒ. lim . Ⓓ. lim x2 1 x .
 x 1 x3 1 x 2 x 10 x 1 x2 3x 2 x 
 x2 3x 2
Câu 9: Tính lim . 
 x 1 6 x 8 x 17
 1
 Ⓐ. . Ⓑ.0 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6
 3 8 x2 2
Câu 10: Tính lim . 
 x 0 x2
 1 1 1 1
 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓑ. . Ⓓ. .
 12 4 3 6
 x2 1
Câu 11: Giá trị của lim bằng
 x 1 x 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 3 .
 x3 x2 1 1
Câu 12: Giá trị của lim bằng
 x 0 x2
 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ. . Ⓒ. 1. Ⓓ. 0 .
 2
 x2 5x 6
Câu 13: lim là 
 x 2 4x 1 3
 3 2 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 2 2
 x 2x 1
Câu 14: Tìm lim .
 x 1 x2 x 2
 Ⓐ. 5 . Ⓑ. . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 1.
 x2 2 2
Câu 15: Giới hạn lim bằng
 x x 2
 Ⓐ. . Ⓑ.1. Ⓒ. . Ⓓ. -1
Câu 16: Tìm lim x2 x 2x 
 x 
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. . Ⓒ.1. Ⓓ. .
Câu 17: Tìm lim x2 x 2 x 2 .
 x 
 3
 Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ. . Ⓓ. 2 .
 2
 x4 3x2 2
Câu 18: Tìm lim .
 x 1 x3 2x 3
 5 2 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 5 5
Câu 19: Giới hạn lim 3x 9x2 1 bằng:
 x 
 Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ. . Ⓓ. 1.
Câu 20: lim 4x2 8x 1 2x bằng
 x Ⓐ. . Ⓑ. 0 . Ⓒ. 2 . Ⓓ. 
 3x2 2x 5
Câu 21: Giới hạn lim bằng
 x 1 x2 1
 Ⓐ. 3 .B. . Ⓒ. 0 . Ⓓ. 4 .
 x2 2020
Câu 22: lim bằng
 x x 1
 Ⓐ. 1. Ⓑ.1. Ⓒ. . Ⓓ. 2020.
 x2 1
Câu 23: Giới hạn lim bằng
 x x 1
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. 1.
 x 3
Câu 24: lim bằng
 x x 2
 3
 Ⓐ. . Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 1.
 2
 x2 3
Câu 25: Giá trị của lim bằng
 x x 3
 Ⓐ. . Ⓑ. 1. Ⓒ. . Ⓓ. 1.
 x4 x2 2
Câu 26: Giới hạn lim có kết quả là
 x x3 1 3x 1 
 3 3
 Ⓐ. 3 Ⓑ. Ⓒ. 3 Ⓓ. 
 3 3
 4x 1 3 2x 1 4
Câu 27: Cho hàm số f x 7 . Tính lim f x .
 3 2x x 
 Ⓐ. 2 . Ⓑ.8 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 0.
 x3 1 a2 x a
Câu 28: Tìm lim .
 x a x3 a3
 2a2 2a2 1 2 2a2 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 a2 3 3a2 3 3
 x2 3x 2 a a
Câu 29: Cho giới hạn lim trong đó là phân số tối giản. Tính S a 2 b 2 .
 x 2 x2 4 b b
 Ⓐ. S 20 . Ⓑ. S 17 . Ⓒ. S 10 . Ⓓ. S 25 .
 x3 1 a a
Câu 30: Cho lim với a, b là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính tổng 
 x 1 x2 1 b b
 S a b .
 Ⓐ. 5 . Ⓑ.10. Ⓒ.3 . Ⓓ. 4 .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.A
 11.C 12.B 13.C 14.C 15.B 16.B 17.A 18.B 19.C 20.C