Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 9: Chứng minh phương trình có nghiệm (Có lời giải)

 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi m ¡ 
a). m x 1 x 2 2x 1 0 (1) 
b). 4m 1 x3 m 1 x m 0 (1)
 2002
c). m3 1 x2001 1 x 2 2x 3 0 (1)
d). cos x m cos 2x 0 
 LỜI GIẢI
a). m x 1 x 2 2x 1 0 (1)
Đặt f x m x 1 x 2 2x 1 . 
Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là hàm đa thức f x liên 
tục trên R.
Ta có f 2 m 2 1 2 2 2 2 1 3 và có 
f 1 m 1 1 1 2 2.1 1 3 . Vì f 2 .f 1 3.3 9 0 với mọi m.
Do đó f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng x0 2,1 với mọi m.
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
 b). 4m 1 x3 m 1 x m 0 (1)
Đặt f x 4m 1 x3 m 1 x m . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . 
Vì f(x) là hàm đa thức f x liên tục trên R.
 3
Ta có f 0 m và có f 1 4m 1 1 m 1 1 m 2m . Từ đó suy 
ra f 1 .f 0 2m2 0 m 0 f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm 
x0 1;0 
Xét trường hợp: m 0 
 4.0 1 .x3 0 1 x 0 0 x3 x 0 x 1  x 0 
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
 2002
c). m3 1 x2001 1 x 2 2x 3 0 (1)
 2002
Đặt f x m3 1 x2001 1 x 2 2x 3 . Tập xác định của hàm số f(x) là 
D R . Vì f(x) là hàm đa thức f x liên tục trên R.
 3 2001 2002
Ta có: f 2 m 1 2 1 2 2 2 2 3 1 . 
 20002
Ta có: f 1 m3 1 12001 1 1 2 2.1 3 5 
Vì f 2 f 1 5 0 với mọi m. f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 2;1 với mọi m.
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
d). cos x m cos 2x 0 cos x m 2cos2 x 1 0 (1)
Đặt f x cos x m 2cos2 x 1 . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì 
f(x) là hàm đa thức f x liên tục trên R.
 1
 cos x x 
 2 2 1 2 4
Chọn nghiệm, cho 2cos x 1 0 cos x 
 2 1 3 
 cos x x 
 2 4
 2 2
Ta có: f cos m 2cos 1 
 4 4 4 2
 3 3 2 3 2
Ta có: f cos m 2cos 1 . 
 4 4 4 2
 3 2 2 1
Vì f .f . 0 f x luôn có ít nhất 1 nghiệm 
 4 4 2 2 2
 3 
x0 ; . Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
 4 4 
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
a). x3 5x2 7 0 b). x5 x 3 0 
 LỜI GIẢI
a). Đặt f x x3 5x2 7 . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là 
hàm đa thức f x liên tục trên R.
Ta có f 1 1 5.1 7 1 và f 2 21, nên suy ra f 1 f 2 21 0 với 
mọi m. Do đó f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 2; 1 với mọi m.
b). Đặt f x x5 x 3 . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là 
hàm đa thức f x liên tục trên R.
Ta có f 1 1 và có f 2 31 , nên suy ra f 1 f 2 31. 1 31 0 với mọi 
m.
Do đó f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm n0 1; 2 với mọi m.
Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
a). 4x4 2x2 x 3 0 b). x5 x4 2x3 4x2 1 0 
 LỜI GIẢI a). Đặt f x 4x4 2x2 x 3 . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) 
là hàm đa thức f x liên tục trên R.
Ta có f 0 3 , f 1 4, f 1 2
Vì f 1 f 0 12 0,m phương trình 1 luôn có ít nhất 1 nghiệm 
 1;0 2 
Vì f 0 f 1 6 0 m phương trình 1 có ít nhất 1 nghiệm 0;1 3 
Từ 2 , 3 phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
Chứng minh phương trình x2 cos x xsin x 1 0 1 có ít nhất một nghiệm 
thuộc khoảng 0; 
 LỜI GIẢI
Đặt f x x2 cos x xsin x 1
Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là hàm đa thức f x liên 
tục trên R.
Ta có f 0 02.cos x 0.sin 0 1 1 và f 2 .cos .sin 1 9 . 
Vì f 0 f 9 0 phương trình 1 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 
 0; . 
Chứng minh phương trình x3 x 1 0 1 có ít nhất một nghiệm âm lớn 
hơn 1 .
 LỜI GIẢI
Đặt f x x3 x 1 . Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là hàm 
đa thức f x liên tục trên R.
Ta có: f 1 1 , và f 0 1 . Từ đó suy ra f 1 f 0 1 0 . Vậy phương 
trình (1) luôn có nghiệm thuộc khoảng 1;0 .
Kết luận phương trình 1 luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn 1 .
Cho hàm số f x ax2 bx c c 0 và 3a 4b 6c 0 . Chứng minh phương 
trình f x 0 luôn có nghiệm thuộc khoảng 0;1 .
 LỜI GIẢI
f x ax2 bx c c 0 
Tập xác định của hàm số f(x) là D R . Vì f(x) là hàm đa thức f x liên 
tục trên R.
Ta có f 0 c và f 1 a b c 3a 4b
Theo đề bài có 3a 4b 6c 0 c 
 6
 3a 4b 3a 4b 3a 4b 3a 2b
Ta có : f 0 f 1 c a b c a b 
 6 6 6 6
 1
 x 0
Cho hàm số f x x 
 1 x 0
a). Chứng minh f 1 f 2 0
b). Chứng minh phương trình f x 0 không có nghiệm thuộc khoảng 
 1; 2 
 LỜI GIẢI
 1
a. Ta có f 1 1 và f 2 f 1 f 2 0
 2
b. Vì hàm số f x không liên tục trên 1; 2 f x không có nghiệm 
n0 1; 2 
6. Chứng minh rằng phương trình cos5 x cos x 1 0 có nghiệm.
 LỜI GIẢI
Đặt cos x t 1 t 1 , phương trình đã cho trở thành t5 t 1 0 
Hàm số f t t5 t 1 liên tục trên R.
Ta có : f 1 1,f 1 3. 
Do f 1 .f 1 3 0 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc 1;1 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
7. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm:
a) x4 4x 1 0 b) 2x5 3x 3 0 c) x4 4x3 2 0 d) 
5x3 10x 6 0 
 LỜI GIẢI
a). Đặt f x x4 4x 1 thì f x liên tục trên R và f 0 1;f 1 2. 
Hàm số f x liên tục trên R, có f 0 .f 1 0 suy ra phương trình có nghiệm 
thuộc khoảng 0;1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
b). Đặt f x 2x5 3x 3 thì f x liên tục trên R và f 1 2;f 0 3. 
Hàm số f x liên tục trên R, có f 1 .f 0 0 suy ra phương trình có nghiệm 
thuộc khoảng 1;0 , suy ra phương trình có nghiệm. c). Đặt f x x4 4x3 2 thì f x liên tục trên R và f 1 3;f 0 2. 
Hàm số f x liên tục trên R, có f 1 .f 0 0 suy ra phương trình có nghiệm 
thuộc khoảng 1;0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
d). Đặt f x 5x3 10x 6 thì f x liên tục trên R và f 1 9;f 0 6.
Hàm số f x liên tục trên R, có f 1 .f 0 0 suy ra phương trình có nghiệm 
thuộc khoảng 1;0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
 a b c
10. Chứng minh rằng nếu 0; k n m 0 và km n2 thì phương 
 k n m
trình ax2 bx c 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . 
 LỜI GIẢI
Đặt f x ax2 bx c thì f x liên tục trên R.
 n n2 n
Ta có f 0 c;f a. b. c 
 k k2 k
 n n2 a b c n2 n2 a b c
 2 (do )
 f 0 .f c c 1 c 1 0
 k k k n m km km k n m
 n2 n n2 
Vì 2 2 do đó 2 
 c 0; n km 0 1 f 0 .f c 1 0
 km k km 
-Với c 0 : phương trình đã cho ( kí hiệu là phương trình 1 trở thành 
ax2 bx 0 
Suy ra x 0 hoặc ax b 0. 2 
 a b c
+Nếu a 0 thì từ c a 0 và điều kiện 0 suy ra b 0 . Khi đó 
 k n m
phương trình 2 có nghiệm là x R , suy ra phương trình 1 có nghiệm 
x 0;1 
 a b c
+ Nếu a 0 thì b 0 (vì nếu b 0,c 0 thì từ điều kiện 0 suy ra 
 k n m
a 0 )
 b
suy ra phương trình 2 có nghiệm x 
 a
 a b c
Khi đó từ điều kiện 0; k n m 0 và c 0 suy ra 
 k n m
 b n
x 0;1 
 a k
Do đó phương trình 1 có nghiệm x 0;1 n2 n n
-Với 1 0 f 0 là nghiệm thuộc 0;1 .
 km k k
 n2 n 
- Với c 0 và 1 0 f 0 .f 0 f x có ít nhất một nghiệm thuộc 
 km k 
 n 
khoảng 0; 
 k 
 n n
Mà 0;  0;1 (vì 0 1 ) nên phương trình 1 có nghiệm x 0;1 
 k k
Vậy phương trình 1 luôn có nghiệm thuộc khoảng 0;1 .
12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
 x a x b x b x c x c x a 0 có ít nhất một nghiệm.
 LỜI GIẢI
Đặt f x x a x b x b x c x c x a thì f x liên tục trên R.
Không giảm tính tổng quát, giả sử a b c 
-Nếu a b hoặc b c thì f b b a b c 0. suy ra phương trình có 
nghiệm x b 
-Nếu a b c thì f b b a b c 0 và f a a b a c 0 do đó tồn 
tại x0 thuộc khoảng a; b để f x0 0. 
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
8. Chứng minh phương trình 2x3 6x 3 0 có ba nghiệm trên khoảng 
 2; 2 . 
 LỜI GIẢI
Đặt f x 2x3 6x 3 thì f x liên tục trên R.
f 2 16 12 3 1 0;f 1 2 6 3 0 
f 1 2 6 3 1 0;f 2 16 12 3 7 0 
Do đó f 2 .f 1 0;f 1 .f 1 0;f 1 .f 2 0. từ tính chất của hàm số liên 
tục , suy ra f x có nghiệm thuộc khoảng 2; 1 , 1;1 , 1; 2 suy ra phương 
trình có ba nghiệm trên khoảng 2; 2 . 
10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 ax2 bx c 0 luôn 
có nghiệm.
 LỜI GIẢI
Đặt f x x3 ax2 bx c thì f x liên tục trên R.
Ta có: lim f x x1 0 để f x1 0. 
 x lim f x x2 0 để f x2 0. 
 x 
Như vậy có x1 ,x2 để f x1 .f x2 0 suy ra phương trình có nghiệm 
x x1 ; x2 vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x4 ax3 bx2 cx 1 0 có 
ít nhất hai nghiệm phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt f x x4 ax3 bx2 cx 1 thì f x liên tục trên R.
Ta có: f 0 1; 
lim f x x1 0 để f x1 0. 
x 
lim f x x2 0 để f x2 0. 
x 
Do đó f 0 .f x2 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng x2 ;0 
f 0 .f x1 0 suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng 0; x1 mà các 
khoảng x2 ;0 và 0; x1 không giao nhau, do đó phương trình có ít nhất hai 
nghiệm phân biệt.
 6 4 2
12. Chứng minh rằng phương trình 64x 96x 36x 3 0 có nghiệm x0 
mà
 2 2 2 2 2 3
 x . 
 2 0 2
LỜI GIẢI
Cách 1: Đặt y 4x2 ta có phương trình y3 6y2 9y 3 0 2 
Ta chứng minh phương trình 2 có nghiệm y 2 2 2 ; 2 2 3 
Đặt t y 2 phương trình 2 trở thành:
 3 2
 t 2 6 t 2 9 t 2 3 0 
 t3 6t2 12t 8 6t2 24t 24 9t 18 3 t3 3t 1 0. 3 
Ta chứng minh 3 có nghiệm trong khoảng 2 2 ; 2 3 
Đặt f t t3 3t 1 thì f t liên tục trên R.
Ta có 2 2 3,42 1,85; 2 2 3,4 1,84. 
 3
Nên f 2 2 1,85 3.1,84 1 6,35 5,52 1 0 
Và 2 3 3,74 1,94; 2 3 3,73 1,93. 2
Do đó f 2 3 1,93 3.1,94 1 7,18 5,82 1 0
Suy ra f 2 2 .f 2 3 0 vậy phương trình 3 có nghiệm 
t 2 2 ; 2 3 từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: (sử dụng lượng giác)
 1 cos 2 2 2cos 2 
Từ công thức cos2 cos . 
 2 2
 2 2cos
 2 2cos 2 2 2 2cos 
Do đó cos ;cos hay cos 
 2 2 4 2 4 2
với 0 . 
 2
 2 2 2 2 2 3
Từ công thức này suy ra: cos ;cos 
 16 2 24 2
Nghiệm x0 của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng : x0 cos , 
sao cho  . 
 24 16
Đặt x cos , phương trình đã cho trở thành:
64cos6  96cos4  36cos2  2 1 
 2 1
 2 2 16cos6  24cos4  9cos2  1 1 2 4cos3  3cos 1 
 2
 1 1 k 
 2cos2 3 1 cos6  (k 0;1; 2..)
 2 2 18 3
Lấy  ta được  và nghiệm x cos thỏa mãn điều kiện đã 
 18 24 16 0 18
nêu.
Chứng minh rằng phương trình 8x3 6x 1 0 có ba nghiệm thực phân biệt. 
Hãy tìm 3 nghiệm đó.
Đặt f x 8x3 6x 1 ; tập xác định D ¡ suy ra hàm số liên tục trên ¡ . Ta 
 1 
cóf 1 3, f 1, f 0 1, f 1 1 suy ra 
 2 
 1 1 
f 1 f 0,f f 0 0,f 0 f 1 0 . Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên 
 2 2 
tục của hàm số suy ra pt f x 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc 1; 1 . Đặt 
x cos t, t 0; thay vào pt ta được: 3 2 
2 4cos t 3cos t 1 cos 3t cos t k , kết hợp với t 0; ta 
 3 9 3
 5 7 
được t ; ;  . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:
 9 9 9 
 5 7 
x cos ,x cos ,x cos .
 9 9 9
Cho phương trình: m x 1 x3 4x x3 3x 1 0 (x là ẩn, m là tham số). 
Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của mphương trình đã cho có ít nhất 
ba nghiệm thực phân biệt.
 LỜI GIẢI
Đặt f x m x 1 x3 4x x3 3x 1 ta được f x xác định và liên tục trên 
¡ .
Ta có f 2 1,f 0 1,f 1 1,f 2 3
Do đó ta được f 2 f 0 0,f 0 f 1 0,f 1 f 2 0 nên phương trình f x 0 
có nghiệm thuộc 2;0 , 0;1 , 1; 2 suy ra phương trình có 3 nghiệm phân 
biệt.
Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình x6 1 4x2 xn 1 có 
nghiệm.
Ta có x6 1 4x2 xn 1 x6 1 4x2 xn 1 0 . Đặt f x x6 1 4x2 xn 1 .
Điều kiện để hàm số xác định xn 1 0 xn 1 .
Nếu n lẻ: hàm số xác định x 1 .
Nếu n chẵn: Hàm số xác định x 1 x 1 . Khi đó f x là hàm số chẵn 
trên tạp xác định của nó nên nếu phương trình f x 0 có nghiệm x x0 1 
thì cũng có nghiệm x x0 1 . Do đó ta chỉ cần xét trường hợp x 1 .
Ta có x6 1 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 x2 1 1 
 Cauchy
 2 
 x 1 2x 6 2 2
Ta có Cauchy x 1 4x x 1 . Dấu " " xảy ra khi 
 x2 x2 1 1 2x x2 1
 2
 x 1
 hệ này vô nghiệm. Do đó x6 1 4x2 x2 1,x 1
 x2 x2 1 1
Vì x 1 x2 x phương trình vô nghiệm khi n 2 .
Với n 3 ta có f x x6 1 4x2 x3 1 .
 6 2 3
 3 3 3 3 793 19
Có f 1 2 , f 1 4. 1 9. . 
 2 2 2 2 64 8
 793 832
 13
 64 64 3 3 
Vì f 0 . Từ đó có f 1 .f 0 (1).
 19 18 2 2 
 9. 9. 13.5
 8 8
Hàm số xác định và liên tục trên 1; do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn 
 3 
 1; (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm 
 2 
 3 
trong khoảng 1; .
 2 
Kết luận n 3 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình 
x6 1 4x2 xn 1 có nghiệm.
Cho hàm số f x x3 3x2 1
a). Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm x0 3; 4 .
 5 5 5
b). Không tính f 36 và f 1 36 hãy chứng minh x0 1 36 .
LỜI GIẢI
Ta có f 3 1 và f 4 15 nên f 3 .f 4 0 (1). Vì hàm số xác định và liên 
tục trên R nên nên hàm số f(x) liên tục trên đoạn 3; 4 (2). Từ (1) và (2) suy 
ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng x0 3; 4 .