Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 8: Hàm số liên tục (Có lời giải)

 Bài 8: HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm:
Định nghĩa: Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . 
Hàm số y f x gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f x f x0 . 
 x x0
Hàm số không liên tục tại điểm x0 gọi là gián đoạn tại x0 .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; b .Ta nói rằng hàm 
số y f x liên tục trên khoảng a; b nếu nó liên tục tại mọi điểm của 
khoảng đó.
Hàm số y f x gọi là liên tục trên đoạn a; b nếu nó liên tục trên khoảng 
 a; b và
lim f x f a , lim f x f b 
x a x b 
Nhận xét:
a). Nếu hai hàm số f và g liên tục tại điểm x0 thì các hàm số f g,fg,cf (c là 
một hằng số) đều liên tục tại điểm x0 .
b). Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của 
chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục: 
Định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a; b .Nếu f a f b thì với mỗi số thực 
M nằm giữa f a ,f b , tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c M. 
Ý nghĩa hình học của định lí
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a; b và M là một số thực nằm giữa 
f a ,f b thì đường thẳng y M cắt đồ thị của hàm số y f x tại ít nhất 
một điểm có hoành độ c a; b .
Hệ quả
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a; b và f a .f b 0 thì tồn tại ít nhất một 
điểm c a; b sao cho f c 0. 
Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a; b và f a .f b 0 thì đồ thị của hàm số 
y f x cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c a; b .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP 1:
Bước 1: Tính f x0 . 
Bước 2: Tính lim f x . Nếu lim f x f x0 thì hàm số f(x) liên tục tại x0 .
 x x0 x x0
PHƯƠNG PHÁP 2:
Bước 1: Tìm lim f x 
 x x0
Bước 2: Tìm lim f x . 
 x x0
Nếu lim f x lim f x f x thì hàm số f(x) liên tục tại x .
 0 0
 x x0 x x0
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x 2 
 x2 4
 x2 4 x 2
a) f x b) g x x 2 
 x 2 
 4 x 2
 LỜI GIẢI
a). Vì f 2 không xác định, suy ra hàm số không liên tục tại x 2. 
 x 2 x 2 
b) Ta có: lim g x lim lim x 2 4 f 2 
 x 2 x 2 x 2 x 2
Do đó hàm số liên tục tại x 2. 
 3 x2 5
 x 2
 2
Ví dụ 2. Cho hàm số: y f x x 4 
 1
 x 2
 6
a). Tính lim f x . 
 x 2
b). Xét tính liên tục của hàm số f x tại x 2; x 2. 
 LỜI GIẢI
 3 x2 5 9 x2 5 1 1
a).Ta có lim f x lim lim lim . 
 2 
 x 2 x 2 x 4 x 2 x2 4 3 x2 5 x 2 3 x2 5 6
b). Từ câu a) suy ra lim f x f 2 . Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 2. 
 x 2
hàm số đã cho không xác định tại x 2 , do đó hàm số không liên tục tại 
x 2 .
Ví dụ 3 : Xét tính liên tục tại giá trị x0 của các hàm số sau: 
 x2 3x 2
 x 2
1). f x x 2 tại x0 2 và tại x0 4 
 1 x 2 x 3 2
 x 1
2). f x x 1 tại x 1
 1 0
 x 1
 4
 1 cos x
 x 0
 x2 
3) f x tại x0 0 và tại x 
 1 3
 x 0
 4
 2 7x 5x2 x3
 2 x 2
4). f x x 3x 2 tại x0 2 và tại x0 5 
 1 x 2
 x 5
 x 5
5). f x 2x 1 3 tại x0 5 , tại x0 6 và tại x0 4
 2
 x 5 3 x 5
 2x 3 1
 x 1
 x 1
6). f x tại x0 1
 3 x
 x 1
 2
 x2 3x 2
 2 x 1
 x 1
 1
7). f x x 1 tại x0 1
 2
 3
 x x 1
 2
 LỜI GIẢI
1). 
 Xét tính liên tục tại x0 2 :
Có f x0 f 2 1 
 x2 3x 2 x 2 x 1 
Có lim f x lim lim lim(x 1) 1 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Ta có lim f x f 2 hàm số liên tục tại x 2. 
 x 2
 Xét tính liên tục tại x0 4 :
 x2 3x 2 42 3.4 2
Có lim f x lim 3 f 4 hàm số f(x) liên tục tại 
 x 4 x 4 x 2 4 2
 x0 4 . 1
2). Có f x f 1 (1)
 0 4
 x 3 2 x 3 4
Có lim f x lim lim 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 
 x 1 1 1
 lim lim (2)
 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 3 2 4
 Từ (1) và (2) suy ra lim f x f 1 . Vậy hàm số liên tục tại x 1 . 
 x 1
3).
 Xét tính liên tục tại x0 0
 1
Có f x f 0 
 0 4
 x
 2sin2
 1 cos x 1 cos x
Có 2 
 lim f x lim 2 lim lim
 x 0 x 0 x x 0 x2 1 cos x x 0 x2 1 cos x 
 2
 x 
 sin
 1 1 1
 lim 2 
 x 0 2 x 4
 1 cos x
 2 
Vì lim f x f 0 hàm số liên tục tại x 0
 x 0
 Xét tính liên tục tại x 
 0 3
 1 cos
 1 cos x 
Có lim f x lim 3 f suy ra hàm số f(x) liên tục tại 
 2 2 
 x x x 3 
 3 3 
 3 
x .
 0 3
4). Xét tính liên tục tại x0 2
Ta có f x f 2 1 
 2
 2 7x 5x2 x3 x 2 x 3x 1 x2 3x 1
Ta có lim f x lim lim 1 
 x 2 x 2 x2 3x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
Vì lim f x f 2 hàm số liên tục tại x 2 .
 x 2
 Xét tính liên tục tại x0 5
 2 7.5 5.52 53
 Ta có lim f x f 5 hàm số f(x) liên tục tại x0 5 .
 x 5 52 3.5 2 x 5
 x 5
5). f x 2x 1 3 tại x0 5 , tại x0 6 và tại x0 4 
 2
 x 5 3 x 5
 Xét tính liên tục tại x0 5
Áp dụng nếu lim f x lim f x f x hàm số liên tục tại x . 
 0 0
 x x0 x x0
 x 5 x 5 2x 1 3 x 5 2x 1 3 
Có lim f x lim lim lim
 x 5 x 5 2x 1 3 x 5 2x 1 9 x 5 2x 10
 x 5 2x 1 3 2x 1 3 2.5 1 3
 lim lim 3.
 x 5 2 x 5 x 5 2 2
 2
Có lim f x lim x 5 3 0 3 3 f 5 . 
 x 5 x 5 
Vì lim f x lim f x f 5 hàm số liên tục tại x0 5. 
 x 5 x 5 
 Xét tính liên tục tại x0 6
 x 5 6 5 1
Có lim f x lim f 6 . Vậy hàm số f(x) liên 
 x 6 x 6 2x 1 3 2.6 1 3 11 3
tục tại x0 6 .
 Xét tính liên tục tại x0 4
 2 2
Có lim f x lim x 5 3 4 5 3 4 f 4 hàm số f(x) liên tục tại 
 x 4 x 4 
 x0 4 .
 2x 3 1 2x 3 1
6). Có lim f x lim lim 
 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 3 1 x 1 
 2 x 1 2 2
 lim lim 1.
 x 1 2x 3 1 x 1 x 1 2x 3 1 2. 1 3 1
 3 x 3 1 
Có lim f x lim 1. 
 x 1 x 1 2 2
 3 ( 1)
Có f 1 1
 2
Vì lim f x lim f x f 1 hàm số liên tục tại x0 1. 
 x 1 x 1 
 1
7). Ta có f x f 1 
 0 2
 x2 3x 2 x 1 x 2 x 2 1 2 1
Có lim f x lim lim lim . 
 2 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 3 3 1
Có lim f x lim x 1 . 
 x 1 x 1 2 2 2
Vì f 1 lim f x hàm số không liên tục tại x 1. 
 x 1 0
 x2 3x 2
 x 2
Ví dụ 4. Cho hàm số f x x 2 
 a x 2
Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x 2 ?
 LỜI GIẢI
 x2 3x 2 x 1 x 2 
Ta có lim f x lim lim lim x 1 1. 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Hàm liên tục tại x 2 khi và chỉ khi lim f x f 2 a 1. 
 x 2
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 2 khi a 1. 
 2x2 7x 6
 khi x < 2
Ví dụ 5: Cho hàm số y f x x 2 . Xác định a để hàm 
 1 x
 a + khi x 2
 2 x
số f(x) liên tục tại x0 2 .
 LỜI GIẢI
Ta có :
 2
 2x 7x 6 x 2 2x 3 2 x 2x 3 
 lim f x lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 lim 3 2x 1
 x 2 
 1 x 1
 lim f x lim a + a f 2 .
 x 2 x 2 2 x 4
 1 3
Hàm số liên tục tại x0 2 lim f x lim f x f 2 a 1 a .
 x 2 x 2 4 4
Ví dụ 6: Cho các hàm số f x sau đây . Có thể định nghĩa f 0 để hàm số 
f x trở thành liên tục tại x 0 được không?
 7x2 5x 3x
a) f x với x 0 b) f x với x 0 
 12x x 4 2
 3 x 2 2 x
c) f x với x 0 d) f x với x 0
 2x 3x
 LỜI GIẢI
 x 7x 5 7x 5 5
a). Ta có lim f x lim lim . 
 x 0 x 0 12x x 0 12 12 Hàm số liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f x f 0 .
 x 0
 5
Vậy nếu bổ sung f 0 thì hàm số trở thành liên tục tại x 0. 
 12
 3x 3x x 4 2 
b). Ta có lim f x lim lim lim 3 x 4 2 12. 
 x 0 x 0 x 4 2 x 0 x 4 4 x 0
Hàm số liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f x f 0 . 
 x 0
Vậy nếu bổ sung f 0 12 thì hàm số trở nên liên tục tại x 0. 
 3
c). Ta có lim f x lim .
 x 0 x 0 2x
hàm số không có giới hạn tại x 0 , do đó hàm không thể liên tục tại x 0 .
 x 2 2 x 2 2 1
d). Ta có lim f x lim lim . 
 x 0 x 0 3x x 2 2 x x 0 3 x 2 2 x 6 2 3 2
Hàm số liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f x f 0 . 
 x 0
 1
Vậy nếu bổ sung f 0 thì hàm số trở nên liên tục tại x 0. 
 3 2
DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP
Ví dụ 1: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R.
a). f x x4 x2 2 b). f x x2 .sin x 2cos2 x 3 
 3
 2x x 3 2
 x 1 x 4x 3
 3 x 1
c). f x x 1 d). f x x 1 
 7 
 x 1 5 x x 1
 3
 LỜI GIẢI
a). f x x4 x2 2 . TXĐ: D R
 4 2 4 2 
 x0 ¡ ta có lim f x lim x x 2 x0 x0 2 f x0 . Suy ra hàm số 
 x x0 x x0
liên tục trên R. 
b) f x x2 .sin x 2cos2 x 3 . TXĐ: D R 
 2 2 
 x0 ¡ ta có lim f x lim x .sin x 2cos x 3 
 x x0 x x0
 2 2
 x0 sin x0 2cos x0 3 f x0 . Suy ra hàm số liên tục 
trên R. 2x3 x 3
 x 1
 3 
c) f x x 1 . Tập xác định của f(x) là D ¡
 7
 x 1
 3
 2x3 x 3
Nếu x 1 thì f x là hàm số phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên 
 x3 1
các khoảng ; 1 và 1; (1).
Bây giờ ta xét tính liên tục của f(x) tại x0 1
 7
Ta có: f(x ) f( 1) 
 0 3
 2
 2x3 x 3 x 1 2x 2x 3 2x2 2x 3 7
Ta có: lim f x lim lim lim 
 x 1 x 1 x3 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 3
Vì lim f x f 1 Hàm số liên tục tại x 1 (2).
 x 1 0
Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.
 x2 4x 3
 x 1
d) f x x 1 . Tập xác định của f(x) là D ¡
 5 x x 1
 2 2
 x 4x 3 x0 4x0 3
Với mọi x0 1; , ta có lim f(x) lim f(x0 ) . Suy ra 
 x x0 x x0
 x 1 x0 1
hàm số f(x) liên tục trên khoảng 1; (1).
Với mọi , ta có . Suy ra 
 x0 ;1 lim f(x) lim 5 x 5 x0 f(x0 )
 x x0 x x0
hàm số f(x) liên tục trên khoảng ;1 (2).
Ta xét tính liên tục của f(x) tại x0 1 
 x2 4x 3 x 1 x 3 
Ta có: lim f x lim lim lim(x 3) 2. 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
Ta có: lim f x lim 5 x 2. 
 x 1 x 1
Và có f 1 5 1 2
Vì lim f x lim f x f 1 Hàm số liên tục tại 1 (3)
 x 1 x 1 
Từ (1) (2) và (3) suy ra f(x) liên tục trên R.
 1 x 3
Ví dụ 2: Cho hàm số f x ax b 3 x 5 
 7 x 5
Xác định a, b để hàm số liên tục trên R.
 LỜI GIẢI Ta có tập xác định của hàm số f(x) là D ¡ .
Ta có: hàm số liên tục trên khoảng ; 3 , 3; 5 , 5; (vì là hàm đa thức).
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại các điểm 
x 3 và x 5 .
 Tại x 3 :
Ta có lim f x lim 1 1 và lim f x lim ax b 3a b và f 3 1.
 x 3 x 3 x 3 x 3 
Do đó hàm liên tục tại x 3 khi và chỉ khi
lim f x lim f x f 3 3a b 1 1 
x 3 x 3 
 Tại x 5 
Ta có lim f x 5a b và lim f x 7 f 5 .
 x 5 x 5 
Do đó hàm số liên tục tại x 5 khi và chỉ khi 
lim f x lim f x f 5 5a b 7 2 
x 5 x 5 
Từ 1 và 2 suy ra hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi: 
 3a b 1 a 3
 . 
 5a b 7 b 8
Vậy với a 3,b 8 thì hàm số liên tục trên R.
Ví dụ 3 : Xét xem các hàm số sau có liên tục với x R không? Nếu 
không? Chỉ ra các điểm gián đoạn.
 3x2 4x 5
a) f x 2x4 4x3 2x 1 b) f x 
 x2 3x 2
 2x 1 1 3 2
 x 2x 6x x 3
 2x2 3x 1 2 x 3
c) f x d) f x x 3 
 1 
 2 x 19 x 3
 2
 LỜI GIẢI
a). Hàm số f x 2x4 4x3 2x 1 liên tục với x R vì f x là hàm đa 
thức.
 3x2 4x 5
b). Hàm số f x liên tục với x R\ 1; 2 , gián đoạn tại các 
 x2 3x 2
điểm x 1,x 2 vì f x không xác định tại x 1 và x 2. 
 2x 1 1
 x 
 2x2 3x 1 2
c). Hàm số f x 
 1
 2 x 
 2
 1
-Với x R\ 1;  ,f x là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục.
 2  1 1 1 
-Với x ; lim f x lim 2 f . Do đó hàm số liên tục tại 
 1 1 
 2 x x x 1 2 
 2 2
 1
x . 
 2
-Hàm số gián đoạn tại x 1 vì nó không xác định tại x 1 .
d). Với x 3,f x là phân thức hữu tỉ nên liên tục.
Tại x 3;f 3 19; 
 x 3 2x2 1 
lim f x lim lim 2x2 1 19 f 3 . 
x 3 x 3 x 3 x 3
Do đó hàm số liên tục tại x 3. 
Vậy hàm số liên tục với x R. 
 x3 8
 khi x 2
 x2 4
Ví dụ 4: Cho hàm số f x 3 khi x 2 . Tìm các khoảng, 
 3 x 5 khi 3 x 2
nửa khoảng mà trên đó hàm số f(x) liên tục.
 LỜI GIẢI
 x3 8
Vì x2 4 0 với mọi x 2 nên hàm số f x xác định trên khoảng 
 x2 4
 3 3
 x 8 x0 8
 2; . Ta có x0 2; thì lim f x lim f x0 nên 
 x x x x 2 2
 0 0 x 4 x0 4
hàm số f(x) liên tục trên khoảng 2; .
Với mọi x 3; 2 thì 3 x 0 , do đó hàm số f x 3 x 5 xác định trên 
  
nửa khoảng 3; 2 . x0 3; 2 ta có lim f x lim 3 x 5 
 x x0 x x0
 3 x0 5 f x0 nên hàm số f(x) liên tục trên nửa khoảng 3; 2 .
Tại x0 2 , ta có f 2 3 . Và lim f x lim 3 x 5 4 f 2 nên 
 x 2 x 2 
hàm số f(x) không liên tục tại x 2 .
Kết luận hàm số f(x) liên tục trên 2; và trên 3; 2 .
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f x 0 .
Bước 2: Tìm hai số a và b sao cho f a .f b 0 .
Bước 3: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b .