Chuyên đề Giải tích Lớp 11 - Chương 4 - Bài 6: Giới hạn một bên (Có lời giải)

 GIỚI HẠN MỘT BÊN
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
1.Giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0 ; b , x0 R . Ta nói rằng hàm số f 
có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 )nếu với 
mọi dãy số bất kì xn những số thuộc khoảng x0 ; b mà lim xn x0 , ta đều 
có lim f xn L. Khi đó ta viết 
lim f x L hoặc f x L khi x x . 
 0
x x0
b. Định nghĩa 2
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; x0 , x0 R . Ta nói rằng hàm số có 
giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với 
mọi dãy bất kì xn những số thuộc khoảng a; x0 mà lim xn x0 , ta đều có 
lim f xn L. Khi đó ta viết
lim f x L hoặc f x L khi x x .
 0
x x0
Chú ý:
1). Nếu lim f x L thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại 
 x x0
điểm x . Và lim f x lim f x L.
 0 
 x x0 x x0
2). Ngược lại, nếu lim f x lim f x L thì hàm số f có giới hạn tại điểm 
 x x0 x x0
x0 và lim f x L .
 x x0
3). Các định lí 1 và 2 ở bài trước vẫn đúng khi thay x x0 bởi x x0 hoặc 
x x0 . 
2. Giới hạn vô cực
1.Các định nghĩa lim f x , lim f x , lim f x và 
 x x0 x x0 x x0
lim f x được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
x x0
2. Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi hoặc .
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
 x 3 x x
a). lim b). lim .
 x 3 5x 15 x 0 x x
 LỜI GIẢI a). Vì x 3 x 3 x 3 0 . Vậy x 3 x 3
 x 3 x 3 1
Ta có lim lim .
 x 3 5x 15 x 3 5 x 3 5
 x x x x 1 x 1
b). Ta có lim lim lim 1.
 x 0 x x x 0 x x 1 x 0 x 1
 2x3 2x x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f x 
 3
 x 3x x 1
Tìm lim f x ; lim f x . Hàm số có giới hạn tại x 1 không? Vì sao?
 x 1 x 1 
 LỜI GIẢI
Ta có lim f x lim x3 3x 1 3 2 và lim f x lim 2x3 2x 2 2 0. 
 x 1 x 1 x 1 x 1
Vì lim f x lim f x nên hàm số đã cho không có giới hạn tại x 1. 
 x 1 x 1 
 BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1 : Tìm các giới hạn sau:
 2x x x2 4x 3 4 4x3
a) lim b) lim c) lim 
 2
 x 0 x x x 1 x3 x2 x 1 3x 5x
 LỜI GIẢI
 2x x x 2 x 1 2 x 1 1
a) lim lim lim 1 . 
 x 0 x x x 0 x x 1 x 0 x 1 1
 x2 4x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 0
b) lim lim lim 0. 
 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1
 4 4x3 0
c) lim 0. 
 x 1 3x2 5x 8
 5x4 6x2 x x 1
Câu 2: Cho hàm số f x 
 3
 x 3x x 1
Tìm lim f x ; lim f x . Hàm số có giới hạn tại x 1 không? Vì sao?
 x 1 x 1 
 LỜI GIẢI
Ta có lim f x lim x3 3x 1 3 2 và 
 x 1 x 1
 lim f x lim 5x4 6x2 x 5 6 1 2 .
 x 1 x 1
Vì lim f x lim f x 2 nên hàm có giới hạn tại x 1 và lim f x 2. 
 x 1 x 1 x 1 2 x 3
 x 1
 2
Câu 3: Cho hàm số y f x x 1 
 1
 x 1
 8
a). Tìm lim f x . So sánh lim f x và f 1 
 x 1 x 1
b). Tìm lim f x . So sánh lim f x và f 3 . 
 x 3 x 3 
 LỜI GIẢI
 2 x 3
a)Ta có lim f x lim 
 x 1 x 1 x2 1
 4 x 3 1 1
 lim lim .
 x 1 x 1 x 1 2 x 3 x 1 x 1 2 x 3 8
 1
Và f 1 . Vậy lim f x f 1 . 
 8 x 1
 2 x 3 2 0 1 2 0 1
b) Ta có lim f x lim và có f 3 . 
 2 
 x 3 x 3 x 1 9 1 4 9 1 4
Vậy lim f x f 3 . 
 x 3 
 2x2 3 x 2
Câu 4: Cho hàm số f x 5 x 2 
 3x 1 x 2
a). Tìm lim f x ; lim f x .
 x 2 x 2 
b). Hàm số có giới hạn tại x 2 không? Tại sao?
 LỜI GIẢI
a). Ta có: lim f x lim 3x 1 7 và có lim f x lim 2x2 3 5. 
 x ( 2) x ( 2) x 2 x 2 
b). Ta có lim f x lim 3x 1 5, và có lim f x lim 2x2 3 5. 
 x 2 x 2 x 2 x 2
Vì lim f x lim f x 5 nên hàm số có giới hạn tại x 2 và lim f x 5. 
 x 2 x 2 x 2
 2 x 1 3 8 x
 x 0
 x
Câu 5 : Cho hàm số f x ax b 1 2 x 0 
 x2 4
 x 2
 x 2
Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại x 2 và x 0. LỜI GIẢI
Tại x 0 ta có
 lim f x lim ax b 1 b 1. 
 x 0 x 0 
 2 x 1 3 8 x 2 x 1 2 2 3 8 x
 lim f x lim lim 
 x 0 x 0 x x 0 x
 2 x 1 2 2 x 1 1 2
Mà lim lim lim 1. 
 x 0 x x 0 x x 1 1 x 0 x 1 1
 2 3 8 x 8 8 x
Và lim lim 
 x 0 x x 0 3 2 
 x 4 2 8 x 3 8 x 
 1 1
 lim .
 x 0 2 12
 4 23 8 x 3 8 x 
 2 x 1 3 8 x 1 13
Nên lim f x lim 1 . 
 x 0 x 0 x 12 12
Do đó hàm số có giới hạn tại x 0 khi và chỉ khi
 13 25
 lim f x lim f x b 1 b . 1 
 x 0 x 0 12 12
Tại x 2 :
 lim f x lim ax b 1 2a b 1 . 
 x 2 x 2 
 x2 4
 lim f x lim lim x 2 2 2 4. 
 x 2 x 2 x 2 x 2 
Do đó hàm số có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi
 lim f x lim f x 2a b 1 4. 2 
 x 2 x 2 
Từ 1 và 2 suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại x 0 và x 2 khi và chỉ 
khi
 25
 25 b 
 b 12
 12 
 61
 2a b 1 4 a .
 24
 61 25
Vậy với a ,b thì hàm số cùng có giới hạn tại x 0 và x 2. 
 24 12
Câu 6 : Tìm các giới hạn sau :
 x 2 x 4 x2 x2 3x 2 x2 7x 12
a). lim b). lim c). lim d). lim
 x 0 x x x 2 2 x x 1 x5 x4 x 3 9 x2
 LỜI GIẢI 2 
 x 2 x x 2 x x x 2 x 2 
a) lim lim lim lim 2
 x 0 x x x 0 x2 x x 0 x x 1 x 0 x 1 
 2
 2 
 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 
b) lim lim lim lim 2 x 2 x 0. 
 x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 
 2
 2 
 x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 
c) lim lim lim 
 2
 x 1 x5 x4 x 1 x4 x 1 x 1 x x 1
 x 1 x 2 
 lim 0
 x 1 x2
 x2 7x 12 x 4 x 3 x 4 x 3 
d) lim lim lim 
 x 3 9 x2 x 3 3 x 3 x x 3 3 x 3 x 
 4 x 3 x 4 x 1 6
 lim lim .
 x 3 3 x 3 x x 3 3 x 6 6
Câu 7 : Tìm các giới hạn sau :
 x 1 x 
a). lim x3 1 b) lim x. 
 2 
 x 1 x 1 x 1 2 1 x 1 x 
 2x2 5x 3 1 1 
c). lim d). lim 
 2 2 
 x 3 x 3 x 2 x 2 x 4 
 2
 x 3x 2 x 5
e). lim f). lim 1 x
 2
 x 2 x 2 x 1 x 2x 3
 LỜI GIẢI
 x x 
a). lim x3 1 lim x 1 x2 x 1 
 x 1 2 x 1 
 x 1 x 1 x 1 
 2 x x 
 lim x 1 x2 x 1 lim x 1 x2 x 1 0.
 x 1 x 1 x 1
 x 1 x 1 
 1 x 
b). lim x. 
 x 1 2 1 x 1 x 
Vì x 1 x 1 1 x 0
 1 x 1 x x 1
 lim x lim x. lim .
 x 1 2 x 1 x 1 2
 2 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 2x2 5x 3 2x 1 x 3 2x 1
c). L lim lim lim
 2 2 
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Ta có x 3 x 3 x 3 0 lim x 3 0 , và lim 2x 1 7. 
 x 3 x 3 
Kết luận L .
 1 1 
d). L lim 
 x 2 x 2 x2 4 
 1 1 x 2 1 x 1
 lim lim lim
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
Ta có x 2 x 2 x 2 0 lim x 2 0 , và lim x 1 3 , và 
 x 2 x 2 
 lim x 2 4
 x 2 
 Kết luận L .
 x2 3x 2 x 2 x 1 
e). lim lim 
 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
Nếu lim lim lim x 1 1 .
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 x 2 x 1 x 2 x 1 
Nếu lim lim lim 1 x 1 .
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 
 1 
 2 2 x x 
 2x2 5x 2 2 1 2 2 x 
 L lim lim lim  
 1 2 1 1 1 1 1 1 1 
 x x x x x x x x 
 2 4 2 2 2 2 2 2 
 1 2 2 x 
Mà lim và lim 3 . Do đó L .
 1 1 1 1 
 x x x x
 2 2 2 2 
 x 5
f). lim 1 x
 2
 x 1 x 2x 3
 x 5 x 5
Với mọi x 1 ta có : 1 x x 1 
 x2 2x 3 x2 2x 3
 2
 x 1 x 5 x 1 x 5 
 .
 x 1 x 3 x 3
 x 5 x 1 x 5 
Vậy lim 1 x lim 0 .
 2 
 x 1 x 2x 3 x 1 x 3 Câu 8 : Tìm các giới hạn sau :
 x 3, khi x 1
a). lim f x với f x x 13, khi x 1
 x 1
 2
 1 7x 2, khi x 1
 3x 2
 , khi x 2
b). lim g x với g x x 1
 x 2 
 x 10, khi x 2
 LỜI GIẢI
 lim f x lim(x 3) 2
 x 1 x 1 
a). Ta có 
 lim f x lim 1 7x2 2 2
 x 1 x 1 
Vậy ta có lim f x lim f x 2 lim f x 2
 x 1 x 1 x 1
 3x 2
 lim g x lim 8
b).Ta có x 2 x 2 x 1 lim g x 8
 x 2
 lim g x lim x 10 8
 x 2 x 2 
Chú ý: giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số tại điểm lấy giới hạn có thể 
bằng nhau, có thể khác nhau. Trong thí dụ trên:
câu a) có lim f x 2 1 13 , còn câu b) lim g x g 2 8
 x 1 x 2
 3x 1
 , khi x 0
Câu 9: Tìm giới hạn của hàm số g x x 1 tại x 0
 x 10, khi x 0
 LỜI GIẢI
 3x 2
 lim g x lim 2
Ta có x 0 x 0 x 1
 lim g x lim(x 10) 10
 x 0 x 0 
Ta thấy lim g x lim g x nên hàm số không có giới hạn tại x 0 .
 x 0 x 0 
 x3 1
 , khi x 1
Câu 10: Tìm m để hàm số h x x 1 có giới hạn tại 
 2 2
 mx x m , khi x 1
x 1 .
 LỜI GIẢI
 x3 1
 lim h x lim lim x2 x 1 3
Ta có x 1 x 1 x 1 x 1
 lim h x lim mx2 x m2 m2 m 1
 x 1 x 1
Hàm số có giới hạn tại x 1 khi và chỉ khi lim h x lim h x 
 x 1 x 1 2 2 m 1
3 m m 1 m m 2 0 
 m 2